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El teorema de Euclides

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Las aplicaciones del teorema de Tales son muchas y muy importantes: la división de un segmento en partes proporcionales, la división de un segmento en partes iguales, la tercera proporcional de dos segmentos dados, la segmentación áurea, la cuarta proporcional de tres segmentos dados, el cálculo gráfico de productos y razones de segmentos dados, el cálculo de razones simples, razones dobles y cuaternas armónicas, la semejanza y el estudio de las escalas. Todas estas construcciones son de gran interés para la resolución de problemas y para el estudio de las transformaciones.
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Ya vimos el '''teorema de Euclides''', considerando su enunciados como teoremas de la '''altura''' y del '''cateto''', en el capítulo de triángulos y realizamos sus demostraciones gráficas.
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===División de un segmento en partes proporcionales===
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Ahora vamos a ver su relación con la '''tercera proporcional'''. Si consideramos que:
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Para dividir un segmento '''AD ''' en partes proporcionales a las partes '''A’B’, B’C’ y C’D’ ''' dadas, trazamos una recta que pase por '''A''' definiendo así un haz de dos rectas. Sobre ella llevamos las magnitudes dadas. Por el extremo '''D’ ''' trazamos la recta '''DD’ '''. Trazamos paralelas a '''DD’ ''' por los puntos '''B’''' y '''C’ '''.
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<math>\frac{a}{x}=\frac{x}{b}</math>
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Estas paralelas cortan al segmento dado en los puntos '''B''' y '''C'''.
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vemos que el término intermedio, '''x''', es media proporcional entre '''a''' y '''b''', pues:
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Por el teorema de Tales, se cumplirá que <math>\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'}</math>.
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<math>x^2 = ab</math>
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 3.gif]]
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Las construcciones de la media proporcional de dos segmentos, basadas directamente en '''Euclides''', tienen muchas aplicaciones en la resolución de problemas gráficos.
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===División de un segmento en partes iguales. ===
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==Aplicando el teorema de la altura==
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Dibujamos el segmento '''BC= a+b''', como vemos en la figura. Trazamos la semicircunferencia de diámetro '''BC'''. Por el extremo común de los segmentos, '''H''', dibujamos la perpendicular a '''BC''' que corta al arco en '''A'''.
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'''AH''' es la '''altura''' de '''ABC''' y es media proporcional de los segmentos en que divide a la hipotenusa: '''a y b''', como ya vimos en el capítulo 2.
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Para dividir un segmento '''AB''' dado en '''n''' partes iguales, trazamos una recta que pase por '''A'''.
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<math>AH = \sqrt{ab}</math>
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Situamos sobre ella '''n''' partes iguales, que numeramos. En este caso '''n=9'''. Dibujamos la recta '''9B''' y trazamos paralelas a ella por los puntos restantes, ordenadamente.
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Por ser equidistantes las paralelas los segmentos definidos sobre '''AB''' son iguales.
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 14.gif]]
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 4.gif]]
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==Aplicando el teorema del cateto==
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===Demostración del teorema de la bisectriz===
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Dibujamos el segmento '''BC=b''' y '''BH=a''', superpuestos, como vemos en la figura. Trazamos la semicircunferencia de diámetro '''BC'''. La perpendicular a '''BC''' desde '''H''' corta al arco en '''A'''.
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La bisectriz del ángulo '''BAC''' de un triángulo '''ABC''' divide a su lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados del triángulo.
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El '''cateto AB''' es media proporcional su proyección sobre la hipotenusa, '''a''' , y de la hipotenusa, '''b''', como ya vimos en el capítulo 2.
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Consideramos el triángulo '''ABC''' y su bisectriz '''AD'''.
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<math>AB = \sqrt{ab}</math>
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Según el teorema: \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 13.gif]]
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Vamos a comprobarlo:
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==Aplicaciones al cálculo gráfico==
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Trazamos por '''C''' una paralela a '''AD''', que corta a la prolongación de '''AB''' en '''E'''.
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Con el teorema de Euclides se puede hallar la raíz cuadrada de un producto de dos segmentos.
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Por el teorema de Tales, se cumple que: \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AE'''}
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<h3>Enlaces externos</h3>
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Los ángulos '''BAD=AEC''' por tener un lado común y los otros paralelos entre sí y '''DAC=ACE''' por ser alternos internos.
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:[http://trazoide.com/proporcionalidad.html TRAZOIDE. Teoría y ejercicios resueltos de PROPORCIONALIDAD en Dibujo Técnico]
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Como '''BAD = DAC''' tenemos que '''AEC = ACE''', lo que indica que el triángulo '''ACE''' es isósceles con base '''EC''', luego '''AC = AE'''.
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[[Categoría:Dibujo]]
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Lo aplicamos a la igualdad anterior y resulta que '''\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC'''}
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 5.gif]]
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El mismo razonamiento vale si consideramos la bisectriz del ángulo exterior '''MAC. '''
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 6.gif]]
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===Cuarta proporcional de tres segmentos===
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Dados tres segmentos '''a, b y c''', se llama magnitud '''cuarta proporcional''' de ellos a un segmento '''d''' que verifica: '''a/b=c/d'''.
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Para hallarlo aplicamos el teorema de Tales: dibujamos un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas situamos los segmentos '''a''' y '''c''' y sobre la otra el segmento '''b''', como se ve en la figura.
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Trazamos la recta que une los extremos de '''a''' y '''b''' y trazamos una paralela por el extremo de '''c'''. Esta paralela define el segmento d solución del problema, pues: '''a/b=c/d'''
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 7.gif]]
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===Tercera proporcional de dos segmentos===
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Dados dos segmentos '''a''' y '''b''', se llama magnitud '''tercera proporcional''' de ellos a un segmento c que verifica: '''a/b=b/c'''.
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Vemos que es un caso particular de cuarta proporcional, con los términos intermedios iguales.
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Para hallarlo aplicamos el teorema de Tales: dibujamos un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas situamos los segmentos '''a''' y '''b''' y sobre la otra el segmento '''b''', como se ve en la figura.
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Trazamos la recta que une los extremos de '''a''' y '''b''' y trazamos una paralela por el extremo de '''b'''. Esta paralela define el segmento c solución del problema, pues: '''a/b=b/c'''
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 8.gif]]
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===La proporción áurea===
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Cuando en una tercera proporcional el término mayor es igual a la suma de los otros dos se verifica que:
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<math>a + \frac{b}{a} = \frac{a}{b} = \Phi = \frac{(1 + \sqrt 5)}{2}</math>
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<math>\Phi = 1,...........= \frac{(1 + \sqrt 5)}{2}</math> es el número de oro.
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Cuando un rectángulo tiene los lados con esta proporción recibe el nombre de '''rectángulo de oro'''. En el capítulo dedicado a las relaciones del arte con la geometría veremos la importancia de <math>\Phi</math> en el estudio de las proporciones armónicas. Más adelante estudiaremos las espirales relacionadas con el rectángulo de oro.
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También es fundamental para la construcción del pentágono regular, pues la proporción áurea se cumple entre su diagonal y su lado:
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<math>\frac{d}{l} = \Phi</math>
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Vamos a comprobar que
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<math>a + \frac{b}{a} = \frac{a}{b} = \Phi = \frac{(1+ \sqrt{5})}{2}</math>
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Operamos:
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<math>(a+b) \cdot b = a^2</math>
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<math>ab + b2 = a^2</math>
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<math>a^2 – ab – b^2 = 0</math>
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Resulta una ecuación de segundo grado donde la incógnita es a. Vamos a despejarla. Nos interesa sólo la raíz positiva:
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<math>a = \frac{b + \sqrt{(b^2 + 4b^2)} }{2} = b \frac{ (1 + \sqrt{5})}{2}</math>
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<math> \frac{a}{b} = \Phi = \frac{1+ \sqrt{5}}{2}</math>
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Vamos a construir segmentaciones áureas a partir de diferentes datos:
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====Cuando el dato es a====
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Dibujamos un cuadrado de lado '''a''' y la mediatriz de dicho lado. Con centro en '''N''', punto medio de '''a''', y radio '''NM''', diagonal de medio cuadrado, trazamos un arco que corta en '''P''' a la prolongación de '''a''', definiendo el segmento '''b'''. Se cumple que <math>\frac{a}{b} = \Phi</math>
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Vamos a comprobarlo:
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Como <math>MN = NP</math>, pues son radios de la misma circunferencia, resulta que:
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Consideramos el triángulo '''MNQ''', por Pitágoras:
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<math>MN = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = {\frac{a\sqrt{5}}{2}</math>
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En nuestro dibujo:
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<math>NP = \frac{a}{2} +b</math>
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Lo aplicamos en la igualdad anterior:
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<math>\frac{a}{2} + b = \frac{a \sqrt {5}}{2}</math>
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<math>b = \frac{a \sqrt{5}}{2} - \frac{a}{2} = a \frac{\sqrt {5} -1}{2}</math>
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luego:
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<math>a = \frac{2b}{\sqrt {5} -1}</math>
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<math>\frac{a}{b} = \frac{2}{\sqrt {5} -1} = \frac{2 (\sqrt {5} +1)}{(\sqrt {5} +1) (\sqrt {5} - 1)} = \frac{2 (1+\sqrt{5})}{4} = \frac{(1+\sqrt{5})}{2} = \Phi</math>
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 9.gif]]
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====Cuando el dato es a+b====
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Ésta es otra construcción de la segmentación áurea. Sea '''MN= a+b'''. Trazamos un segmento perpendicular de magnitud '''MN/2''' y dibujamos el triángulo rectángulo '''MNP'''. Con centro en '''P''' y radio '''PN''' trazamos un arco que corta a la hipotenusa en el punto '''Q'''. Con centro en A trazamos un arco de radio '''AQ''' que corta a '''MN''' en el punto '''R''', definiendo los segmentos '''a''' y '''b'''.
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Se verifica que: <math>\frac{a}{b} = \Phi</math>
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Vamos a comprobarlo:
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<math>MP = a + \frac{a+b}{2}</math>, ya que
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<math>MQ =a</math> y <math>PQ = \frac{a+b}{2}</math>
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Considerando el triángulo '''MNP''', por Pitágoras:
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<math>MP^2 = (a+b)^2 + \left (\frac{a+b}{2} \right )^2 = \frac{5 (a+b)^2} {4}</math>, luego:
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<math>MP = \frac{(a+b)\sqrt{5}}{2}</math>
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<math>MP = a + \frac{a+b}{2} = \frac{(a+b)\sqrt{5}}{2}</math>
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<math>a = (a+b) \frac{\sqrt{5} -1}{2}</math>
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<math>\frac{(a+b)}{a} = \frac{2}{\sqrt{5}-1} = \frac{2 (\sqrt{5}+1) }{ (\sqrt{5}+1) (\sqrt{5}-1)} = \frac{2(1+\sqrt{5})}{4} = \frac{(1+\sqrt{5})}{2}= \Phi</math>
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 10.gif]]
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====Los rectángulos de oro====
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Si el dato es el lado menor '''a''' usamos la primera construcción de segmentación áurea.
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 11.gif]]
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Si el dato es el lado mayor, '''a+b''', utilizamos la segunda.
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[[Imagen:DibujoTecnico I-5 12.gif]]
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Revisión actual

Ya vimos el teorema de Euclides, considerando su enunciados como teoremas de la altura y del cateto, en el capítulo de triángulos y realizamos sus demostraciones gráficas.

Ahora vamos a ver su relación con la tercera proporcional. Si consideramos que:

\frac{a}{x}=\frac{x}{b}

vemos que el término intermedio, x, es media proporcional entre a y b, pues:

x^2 = ab

Las construcciones de la media proporcional de dos segmentos, basadas directamente en Euclides, tienen muchas aplicaciones en la resolución de problemas gráficos.

Tabla de contenidos

Aplicando el teorema de la altura

Dibujamos el segmento BC= a+b, como vemos en la figura. Trazamos la semicircunferencia de diámetro BC. Por el extremo común de los segmentos, H, dibujamos la perpendicular a BC que corta al arco en A. AH es la altura de ABC y es media proporcional de los segmentos en que divide a la hipotenusa: a y b, como ya vimos en el capítulo 2.

AH = \sqrt{ab}

Imagen:DibujoTecnico I-5 14.gif

Aplicando el teorema del cateto

Dibujamos el segmento BC=b y BH=a, superpuestos, como vemos en la figura. Trazamos la semicircunferencia de diámetro BC. La perpendicular a BC desde H corta al arco en A.

El cateto AB es media proporcional su proyección sobre la hipotenusa, a , y de la hipotenusa, b, como ya vimos en el capítulo 2.

AB = \sqrt{ab}

Imagen:DibujoTecnico I-5 13.gif

Aplicaciones al cálculo gráfico

Con el teorema de Euclides se puede hallar la raíz cuadrada de un producto de dos segmentos.

Enlaces externos

TRAZOIDE. Teoría y ejercicios resueltos de PROPORCIONALIDAD en Dibujo Técnico
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