Teorema de Bayes

De Wikillerato

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Tabla de contenidos

1 Enunciado
2 Demostración
3 Ejemplo

Enunciado

Sean $A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \,$ sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos, y sea $B$ un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales $\mathrm{P} \left( <pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right. </pre> \right)$ Entonces las probabilidades $\mathrm{P} \left( <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> \right)$ vienen dadas por la expresión:

$\mathrm{P} \left( <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> \right) \, = \, \frac { <pre> \mathrm{P} \left( \, A_i \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_i \, \right. \right) </pre> } { <pre> \mathrm{P} \left( \, A_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_2 \, \right. \right) \, + \, \ldots \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_n \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_n \, \right. \right) </pre> }$

Bayes

Demostración

Por definición de probabilidad condicionada

$\mathrm{P} \left( <pre> \, A_i \, \cap \, B \, </pre> \right) \, = \, \mathrm{P} \left( <pre> \, A_i \, </pre> \right) \cdot \mathrm{P} \left( <pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right. </pre> \right) \, = \, \mathrm{P} \left( <pre> \, B \, </pre> \right) \cdot \mathrm{P} \left( <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> \right)$

despejando $\mathrm{P} \left( <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> \right)$ , se tiene:

$\mathrm{P} \left( <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> \right) \, = \, \frac { <pre> \mathrm{P} \left( \, A_i \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_i \, \right. \right) </pre> } { <pre> \mathrm{P} \left( \, B \, \right) </pre> }$

La probabilidad $\mathrm{P} \left( <pre> \, B \, </pre> \right)$ , por el teorema de la probabilidad total, es igual a

$ <pre> \mathrm{P} \left( \, A_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_2 \, \right. \right) \, + \, \ldots \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_n \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_n \, \right. \right) </pre> $

Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.

Ejemplo

Tenemos tres urnas: $U_1$ con tres bolas rojas y cinco negras, $U_2$ con dos bolas rojas y una negra y $U_3$ con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna $U_1$ ?

Llamamos $R$ al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es $\mathrm{P} \left( <pre> \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right. </pre> \right)$ . Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

$\mathrm{P} \left( <pre> \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right. </pre> \right) \, = \,$

$\, = \, \frac { <pre> \mathrm{P} \left( \, U_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_1 \, \right. \right) </pre> } { <pre> \mathrm{P} \left( \, U_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, U_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_2 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, U_3 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_3 \, \right. \right) </pre> } }$

$\, = \, \frac { <pre> \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} </pre> } { <pre> \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \, + \, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \, + \, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} </pre> }$