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De Wikillerato

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Se dice que una función &nbsp;
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T \neq 0
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T > 0
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, + \, T \, \right)
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Para determinar completamente una función periódica de periodo
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es suficiente con especificar
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Un función periódica de periodo
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&nbsp; es el menor número real que cumple esta condición.
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es invariante bajo aquellas traslaciones horizontales cuyo desplazamiento, &nbsp;
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Tipicas funciones periódicas son las funciones trigonometricas: el coseno, el
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Son funciones periódicas
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+
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<p><a href="http://parahi5.com/"><img src="http://src.parahi5.com/graficos/friends/tu_amistad_es_bella.gif" border ="0" title="imagenes para hi5" alt="imagenes para hi5"></a><p><a href="http://parahi5.com/">imagenes para hi5</a><a href="http://src.parahi5.com/"><img src="http://src.parahi5.com/parahi5.gif" title="hi5"></a></p>
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Como el dividendo es igual al divisor por el cociente mas el resto, se tiene que
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Por la propiedad 2,
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[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Definición


Se dice que una función   \mathrm{f}   es periódica, de periodo   T ,   con   T > 0 , si y solo si verifica las siguientes dos condiciones:


1.   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, + \, T \, \right)   para todo número real   x , y


2.   T   es el menor número positivo que cumple la anterior condición.


Propiedades


Propiedad 1


Para determinar completamente una función periódica de periodo T es suficiente con especificar

\mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left[ \, a, \, a + T \, \right)

y para cualquier a \in \mathbb{R} .


El simbolo \forall significa ``para todo`` y   \left[ </p> <pre> \, a, \, a + T \, </pre> <p>\right)   representa el conjunto de números reales que son mayores o iguales que a y menores que a + T .


Propiedad 2


Si \mathrm{f} es una función periódica de periodo T , entonces \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, + \, n \cdot T \, \right)   para todo número real x y cualquier número entero n .


Si definimos una función \mathrm{g} , a partir de otra función \mathrm{f} , mediante la igualdad   \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = \mathrm{f} \left( \, x - a \, \right) ,   donde a es un número real cualquiera, entonces decimos que se ha obtenido \mathrm{g} trasladando \mathrm{f} horizontalmente.


Si a es positiva, la grafica de \mathrm{g} coincide con la que obtendriamos trasladando la grafica de \mathrm{f} a unidades a la derecha.


Si a es negativa, la grafica de \mathrm{g} coincide con la que obtendriamos trasladando la grafica de \mathrm{f} una distancia -a a la izquierda.


Un función periódica de periodo T es invariante bajo aquellas traslaciones horizontales cuyo desplazamiento,   a ,   es un número entero por el periodo ( a = n \cdot T   con   n \in \mathbb{Z} ).


Ejemplo


Tipicas funciones periódicas son las funciones trigonometricas: el coseno, el seno y la tangente.


Son funciones periódicas

\left\{ </p> <pre> \begin{array}{l} f \left( \, x \, \right) = a \cdot cos ( b \cdot x + c ) \\ g \left( \, x \, \right) = a \cdot sen ( b \cdot x + c ) \\ h \left( \, x \, \right) = a \cdot tan ( b \cdot x + c ) \end{array} </pre> <p>\right.

donde   a , b y c   son números reales cualesquiera y   b \neq 0 .


El periodo de todas estas funciones es   \frac{2 \cdot \pi}{b} .


Ejemplo


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 1'2 \cdot \cos \left( \, 5x \, \right)

En este ejemplo, el periodo es   T = \frac{2 \pi}{5}


Imagen:coseno.png


Ejercicio


Sea \mathrm{f} una función periódica de periodo 5, tal que

\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x, \, \forall x \in \left[ \, 0, \, 5 \, \right)

Calculese \mathrm{f} \left( \, 13 \, \right)


Solución

El ejercicio se resuelve buscando un número entero n tal que

13 + n \cdot T = 13 + 5n

se encuentre en el intervalo \left[ \, 0, \, 5 \, \right) .


Para encontrar n dividimos 13 entre 5. La división nos da 2, de cociente, y 3, de resto. Como el dividendo es igual al divisor por el cociente mas el resto, se tiene que

13 = 2 \cdot 5 + 3

y por lo tanto

3 = 13 + \left( \, -2 \, \right) \cdot 5

que se encuentra en el intervalo   \left[ \, 0, \, 5 \, \right) .


Por la propiedad 2,   \mathrm{f} \left( \, 13 \, \right) = \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) .   Como, por otra parte,   \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) = 3 ,   se tiene que

\mathrm{f} \left( \, 13 \, \right) = 3

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