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Propiedades de la integral definida

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(Página nueva: Propiedades de la integral definida La integral definida cumple las siguientes propiedades: • Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. ...)
Revisión actual (03:19 16 ago 2012) (editar) (deshacer)
(→Ejemplo 2)
 
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Propiedades de la integral definida
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==Propiedades==
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La integral definida cumple las siguientes propiedades:
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• Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
+
<br/>
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• Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
+
 
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• La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
+
La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones:
-
• La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
+
 
-
• Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
+
<br/>
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• Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):
+
 
-
+
<center>
-
• Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x)  g (x), se verifica que:
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<math>
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\int_a^b
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\left(
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\, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, + \,
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\mathrm{g} \left( \, x \, \right)
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\right)
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\cdot \mathrm{d}x
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\, = \,
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\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, + \,
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\int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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La integral del producto de un número real &nbsp; <math> k </math> &nbsp; por una función es igual al producto de &nbsp; <math> k </math> &nbsp; por la integral de dicha función:
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\int_a^b k \cdot \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \,
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k \cdot \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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En una integral definida el limite superior de integración puede ser menor
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que el limite inferior de integración y
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\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \,
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- \int_b^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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Si hacemos &nbsp;
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a = b
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&nbsp; en la igualdad anterior se tiene que
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\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \,
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- \int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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como el único número que coincide con su opuesto es el cero, llegamos a la
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conclusión de que
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\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, 0
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para cualquier número real
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a
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Dados tres números reales cualesquiera, &nbsp;
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a, \, b, \, c
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&nbsp; se tiene que:
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\int_a^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
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\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x +
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\int_b^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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Si en el intervalo &nbsp;
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\left( \, a, \, b \, \right)
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&nbsp; la función
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\mathrm{f}
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es mayor o igual que la función&nbsp;
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\mathrm{g}
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&nbsp; entonces
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\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge
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\int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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En particular, si &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in
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\left(
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\, a, \, b \,
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&nbsp; entonces
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\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge 0
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Analogamente, si &nbsp;
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0 \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in
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\left(
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\, a, \, b \,
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\right)
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</math>,
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&nbsp; entonces
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0 \ge \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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Si en el intervalo &nbsp;
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\left( \, a, \, b \, \right)
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&nbsp; la función
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<math>
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\mathrm{f}
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</math>
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es mayor que la función&nbsp;
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\mathrm{g}
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</math>
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&nbsp; entonces
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\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x >
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\int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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En particular, si &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) > 0, \, \forall x \in
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\left(
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\, a, \, b \,
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\right)
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&nbsp; entonces
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\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 0
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Analogamente, si &nbsp;
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0 > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in
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\left(
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\, a, \, b \,
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\right)
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&nbsp; entonces
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0 > \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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===Ejemplo 1===
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\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
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\int_1^2 x \cdot \mathrm{d}x +
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\int_1^2 1 \cdot \mathrm{d}x
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===Ejemplo 2===
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<br/>
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\int_1^-1 5 \cdot \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
 +
15 \cdot \int_1^- \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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</math>
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</center>
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===Ejemplo 3===
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\int_3^3 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_2^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = 0
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</math>
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</center>
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===Ejemplo 4===
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\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
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-\int_2^1 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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===Ejemplo 5===
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Como &nbsp;
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x > x^2, \, \forall x \in \left( \, 0, \, 1 \, \right)
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&nbsp; se cumple que
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\int_0^1 x \cdot \mathrm{d}x > \int_0^1 x^2 \cdot \mathrm{d}x
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===Ejemplo 6===
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<br/>
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Como &nbsp;
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<math>
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x + 1 > 0, \, \forall x \in \left( \, 1, \, 2 \, \right)
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</math>,
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&nbsp; se cumple que
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<center>
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<math>
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\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 0
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</center>
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[[Category: Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Propiedades


La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones:


\int_a^b \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, + \, \mathrm{g} \left( \, x \, \right) </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, + \, \int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x 


La integral del producto de un número real    k    por una función es igual al producto de    k    por la integral de dicha función:


\int_a^b k \cdot \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, </p> <pre>k \cdot \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> <p>


En una integral definida el limite superior de integración puede ser menor que el limite inferior de integración y

\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, </p> <pre>- \int_b^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> <p>

Si hacemos   a = b   en la igualdad anterior se tiene que

</p> <pre>\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, - \int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> <p>

como el único número que coincide con su opuesto es el cero, llegamos a la conclusión de que

\int_a^a \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \, = \, 0

para cualquier número real a .


Dados tres números reales cualesquiera,   a, \, b, \, c   se tiene que:

\int_a^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x + \int_b^c \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


Si en el intervalo   \left( \, a, \, b \, \right)   la función \mathrm{f} es mayor o igual que la función  \mathrm{g}   entonces

\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge \int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


En particular, si   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right) ,   entonces

\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x \ge 0


Analogamente, si   0 \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right) ,   entonces

0 \ge \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


Si en el intervalo   \left( \, a, \, b \, \right)   la función \mathrm{f} es mayor que la función  \mathrm{g}   entonces

\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x > \int_a^b \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


En particular, si   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) > 0, \, \forall x \in \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right) ,   entonces

\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 0


Analogamente, si   0 > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right) ,   entonces

0 > \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


Ejemplo 1


\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_1^2 x \cdot \mathrm{d}x + \int_1^2 1 \cdot \mathrm{d}x


Ejemplo 2


\int_1^-1 5 \cdot \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = 15 \cdot \int_1^- \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x


Ejemplo 3


\int_3^3 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_2^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = 0


Ejemplo 4


\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x = -\int_2^1 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x


Ejemplo 5


Como   x > x^2, \, \forall x \in \left( \, 0, \, 1 \, \right) ,   se cumple que

\int_0^1 x \cdot \mathrm{d}x > \int_0^1 x^2 \cdot \mathrm{d}x


Ejemplo 6


Como   x + 1 > 0, \, \forall x \in \left( \, 1, \, 2 \, \right) ,   se cumple que

\int_1^2 \left( \, x + 1 \, \right) \cdot \mathrm{d}x > 0

Obtenido de "http://wikillerato.org/Propiedades_de_la_integral_definida.html"
   
 
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