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Límite de una función

De Wikillerato

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L \in \mathbb{R}
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&nbsp; entonces la gráfica de la función
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\mathrm{f}
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tiene una [[Asintotas#Asintotas horizontales|asintota horizontal]] por la
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izquierda de ecuación &nbsp;
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y = L
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Revisión actual

Tabla de contenidos


Nota sobre terminología


Utilizamos la palabra pequeño ( grande) de la siguiente manera:


a es mas pequeño ( grande ) que b si y solo si   b > a \left( \, a > b \, \right) .


Es decir, a es mas pequeño ( grande ) que b si a es menor ( mayor ) que b .


La distancia entre dos puntos a y b de la recta real \left( </p> <pre> \, a, \, b \in \mathbb{R} \, </pre> <p>\right) es   \left| \, a - b \, \right| .   Cuanto mas pequeña sea esta distancia mas proximos o cercanos diremos que estan los puntos a y b .


Por ejemplo, -1 esta mas cerca de 2 que el 7 ya que

\left| \, 2 - 7 \, \right| > \left| \, 2 - \left( -1 \right) \right|


Limite de f(x) cuando x tiende a un número real


Limite finito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   x_0 \in\mathbb{R}   existe y es igual a   L \in \mathbb{R} si ambos límites laterales existen y son iguales a   L , es decir


\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan cercano a   L   como queramos eligiendo   x   lo suficientemente proximo a   x_0 ,   por la derecha o por la izquierda.


Limite infinito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   x_0 \in\mathbb{R}   por la izquierda existe y es igual a   \infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan grande como queramos, eligiendo x lo suficientemente cercano a   x_0   por la izquierda   \left( \, x_0 > x \, \right) .


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Analogamente, el límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   x_0 \in\mathbb{R}   por la derecha existe y es igual a   \infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan grande como queramos, eligiendo x lo suficientemente cercano a   x_0   por la derecha   \left( \, x > x_0 \, \right) .


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Ejemplo


Demostremos que

\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty

Para ello seleccionamos un   y \in \mathbb{R}   cualquiera e intentamos encontrar un   \delta > 0   de manera que

x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y

Si y no es positivo, entonces cualquier   \delta > 0   verifica

x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y

Si y es positivo, entonces

\frac{1}{x} > y \Leftrightarrow \frac{1}{y} > x > 0

Por lo tanto, si elegimos

\delta = \frac{1}{y}

se verifica que

x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y


Limite menos infinito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   x_0 \in\mathbb{R}   por la izquierda existe y es igual a   -\infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan pequeño como queramos, eligiendo x lo suficientemente cercano a   x_0   por la izquierda \left( \, x_0 > x \, \right) .


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / \left( </p> <pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right) </pre> <p>\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


Analogamente, el límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   x_0 \in\mathbb{R}   por la derecha existe y es igual a   -\infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan pequeño como queramos, eligiendo x lo suficientemente cercano a   x_0   por la derecha   \left( </p> <pre> \, x > x_0 \, </pre> <p>\right) .


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta > 0 / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right) </pre> <p>\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


Cuando alguno de los limites laterales de \mathrm{f} cuando x tiende a   x_0   es infinito o menos infinito, la grafica de \mathrm{f} tiene una asintota vertical de ecuación   x = x_0 .


Limite de f(x) cuando x tiende a infinito


Limite finito


Se dice que el límite de la funcion   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   \infty es   L \in \mathbb{R}   si cualquier sucesión   \left( \, x_n \, \right) _{n \in N}   que tiende a   \infty   verifica que   \lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L .


Lo expresamos como:


\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan cercano a   L   como queramos eligiendo   x   lo suficientemente grande.


Es decir

\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, a, \, \infty \, \right) \right)


Si el límite de la funcion   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   \infty es   L \in \mathbb{R} ,   entonces la gráfica de la función \mathrm{f} tiene una asintota horizontal por la derecha de ecuación   y = L .


Limite infinito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   \infty   existe y es igual a   \infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan grande como queramos, eligiendo x lo suficientemente grande.


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, a, \infty \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Limite menos infinito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   \infty   existe y es igual a   -\infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan pequeño como queramos, eligiendo x lo suficientemente pequeño.


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right), \, \quad \forall x \in \left( \, a, \, \infty \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


Limite de f(x) cuando x tiende a menos infinito


Limite finito


Se dice que el límite de la funcion   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   -\infty es   L \in \mathbb{R}   si cualquier sucesión   \left( \, x_n \, \right) _{n \in N}   que tiende a   -\infty   verifica que   \lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L .


Lo expresamos como:


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan cercano a   L   como queramos eligiendo   x   lo suficientemente pequeño.


Es decir

\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right) \right)


Si el límite de la funcion   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   -\infty es   L \in \mathbb{R} ,   entonces la gráfica de la función \mathrm{f} tiene una asintota horizontal por la izquierda de ecuación   y = L .


Limite infinito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   -\infty   existe y es igual a   \infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan grande como queramos, eligiendo x lo suficientemente pequeño.


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Limite menos infinito


El límite de la función   \mathrm{f} cuando   x   tiende a   -\infty   existe y es igual a   -\infty si podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan pequeño como queramos, eligiendo x lo suficientemente pequeño.


Es decir

\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} / \left( </p> <pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \, </pre> <p>\right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right) \right)

Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


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