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La divisibilidad en los polinomios

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(Página nueva: ==Definición de polinomio DIVISIBLE por otro== <br/> Un polinomio &nbsp; <math> \mathrm{P} \left( \, x \, \right) </math> &nbsp; es '''''divisible''''' por otro polinomio &nbsp; <...)
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\mathrm{P} \left( \, x \, \right) & = & x - 3
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\mathrm{Q} \left( \, x \, \right) & = & x^2 + x + 1
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[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual


Tabla de contenidos

Definición de polinomio DIVISIBLE por otro


Un polinomio   \mathrm{P} \left( \, x \, \right)   es divisible por otro polinomio   \mathrm{Q} \left( \, x \, \right)   cuando existe otro polinomio   \mathrm{C} \left( \, x \, \right)   tal que

\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{C} \left( \, x \, \right)

Los polinomios   \mathrm{Q} \left( \, x \, \right)   y   \mathrm{C} \left( \, x \, \right)   se llaman divisores de   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, x \, </pre> <p>\right) .


Ejemplo


x^2 - 3x + 2 = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x - 2 \, \right)

Por lo tanto, el polinomio   x^2 - 3x + 2   es divisible por los polinomios   x - 1   y   x - 2 , o dicho de otra manera, los polinomios   x - 1   y   x - 2   son divisores del polinomio   x^2 - 3x + 2 .


Definición de polinomio IRREDUCIBLE


Un polinomio   \mathrm{P} \left( \, x \, \right)   de grado n > 0 se dice que es irreducible cuando ningún polinomio de grado menor que n y mayor que 0 es divisor de   \mathrm{P} \left( \, x \, \right) . 


Cualquier polinomio que no sea irreducible se puede descomponer en forma de producto de polinomios irreducibles.


Ejemplos


Los siguientes dos polinomios son irreducibles:

\begin{array}{l} </p> <pre>\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = x - 1 </pre> <p>\\ \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = x^2 + x + 1 \end{array}



Factorización de polinomios


Por factorización de un polinomio se entiende su descomposición en forma de producto de polinomios irreducibles.


Ejemplo


Una descomposición del polinomio  x^3 - 1   en producto de polinomios irreducibles es

x^3 - 1 = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right)

Otra posible descomposición del polinomio   x^3 - 1   en producto de polinomios irreducibles es

x^3 - 1 = \left( \, 2x - 2 \, \right) \cdot \left( \, \frac{1}{2} x^2 + </p> <pre> \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \, \right) </pre> <p>

De hecho, hay infinitas descomposiciones posibles. Para cualquier número real a distinto de 0, se tiene que

x^3 - 1 = \left( \, ax - a \, \right) \cdot \left( \, \frac{1}{a} x^2 + </p> <pre> \frac{1}{a} x + \frac{1}{a} \, \right) </pre> <p>


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