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La divisibilidad en los polinomios

De Wikillerato

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==Definición de polinomio DIVISIBLE por otro==
==Definición de polinomio DIVISIBLE por otro==
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x - 2
x - 2
</math>
</math>
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son divisores del polinomio
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&nbsp; son divisores del polinomio
&nbsp;
&nbsp;
<math>
<math>
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&nbsp; de grado
&nbsp; de grado
<math>
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n
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n > 0
</math>
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se dice que es irreducible cuando ningún polinomio de grado
se dice que es irreducible cuando ningún polinomio de grado
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Por '''''factorización de un polinomio''''' se entiende su descomposición en
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===Ejemplos===
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forma de producto de polinomios irreducibles.
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===Ejemplos de polinomios irreducibles===
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===Ejemplo de factorización de un polinomio===
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==Factorización de polinomios==
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Por '''''factorización de un polinomio''''' se entiende su descomposición en
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forma de producto de polinomios irreducibles.
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===Ejemplo===
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==Simplificación de fracciones algebraicas==
 
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Una '''''fracción algebraica''''' es el cociente de dos polinomios.
 
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Para simplificar una fracción algebraica se divide los polinomios en el
 
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numerador y en el denominador por su maximo común divisor.
 
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Para encontrar el maximo común divisor de ambos polinomios se ha de factorizar
 
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previamente ambos. El proceso es analogo al que se seguiria en el caso de
 
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calcular el maximo común divisor de dos números naturales.
 
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En el proceso de descomposición de ambos polinomios es conveniente que los
 
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polinomios irreducibles que se obtengan verifiquen lo siguiente:
 
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Si &nbsp;
 
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<math>
 
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\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
 
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</math>
 
-
&nbsp; es un polinomio irreducible de grado
 
-
<math>
 
-
n
 
-
</math> obtenido en la factorización de un polinomio,
 
-
entonces el coeficiente que multiplica a &nbsp;
 
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<math>
 
-
x^n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en &nbsp;
 
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<math>
 
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\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es 1.
 
-
 
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<br/>
 
-
 
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De esta manera se identifica mejor que polinomios irreducibles son divisores
 
-
comunes de ambos polinomios ( el polinomio del numerador y el polinomio del
 
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denominador ).
 
-
 
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-
 
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===Ejemplo===
 
-
 
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<center>
 
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<math>
 
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\frac{x^3 + x^2 + x}{x^2 - x} = \frac{x \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right)}{x
 
-
\cdot \left( \, x - 1 \, \right)} = \frac{x^2 + x + 1}{x - 1}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
El maximo común divisor de los polinomios en el denominador y en el numerador es,
 
-
en este caso,
 
-
<math>
 
-
x
 
-
</math>.
 
[[Category:Matemáticas]]
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Revisión actual


Tabla de contenidos

Definición de polinomio DIVISIBLE por otro


Un polinomio   \mathrm{P} \left( \, x \, \right)   es divisible por otro polinomio   \mathrm{Q} \left( \, x \, \right)   cuando existe otro polinomio   \mathrm{C} \left( \, x \, \right)   tal que

\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{C} \left( \, x \, \right)

Los polinomios   \mathrm{Q} \left( \, x \, \right)   y   \mathrm{C} \left( \, x \, \right)   se llaman divisores de   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, x \, </pre> <p>\right) .


Ejemplo


x^2 - 3x + 2 = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x - 2 \, \right)

Por lo tanto, el polinomio   x^2 - 3x + 2   es divisible por los polinomios   x - 1   y   x - 2 , o dicho de otra manera, los polinomios   x - 1   y   x - 2   son divisores del polinomio   x^2 - 3x + 2 .


Definición de polinomio IRREDUCIBLE


Un polinomio   \mathrm{P} \left( \, x \, \right)   de grado n > 0 se dice que es irreducible cuando ningún polinomio de grado menor que n y mayor que 0 es divisor de   \mathrm{P} \left( \, x \, \right) . 


Cualquier polinomio que no sea irreducible se puede descomponer en forma de producto de polinomios irreducibles.


Ejemplos


Los siguientes dos polinomios son irreducibles:

\begin{array}{l} </p> <pre>\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = x - 1 </pre> <p>\\ \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = x^2 + x + 1 \end{array}



Factorización de polinomios


Por factorización de un polinomio se entiende su descomposición en forma de producto de polinomios irreducibles.


Ejemplo


Una descomposición del polinomio  x^3 - 1   en producto de polinomios irreducibles es

x^3 - 1 = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right)

Otra posible descomposición del polinomio   x^3 - 1   en producto de polinomios irreducibles es

x^3 - 1 = \left( \, 2x - 2 \, \right) \cdot \left( \, \frac{1}{2} x^2 + </p> <pre> \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \, \right) </pre> <p>

De hecho, hay infinitas descomposiciones posibles. Para cualquier número real a distinto de 0, se tiene que

x^3 - 1 = \left( \, ax - a \, \right) \cdot \left( \, \frac{1}{a} x^2 + </p> <pre> \frac{1}{a} x + \frac{1}{a} \, \right) </pre> <p>


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