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Cálculo del rango de una matriz

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Se llama '''menor de orden k''' de una matriz  
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Se llama '''''menor de orden k''''' de una matriz
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&nbsp; al determinante de orden k que está formado por los elementos que pertenecen a k
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al determinante de orden k que está formado por los elementos que pertenecen a k
filas y a k columnas de la matriz &nbsp;
filas y a k columnas de la matriz &nbsp;
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tiene 9 menores de orden 2. Calculamos uno por uno para comprobar si alguno de
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Supongamos que calculamos estos menores en el siguiente orden:
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derecha ) de
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#3 el tercer menor que calculamos es el que se obtiene seleccionando las ultimas dos
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derecha ) de
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Procediendo asi, hubiesemos obtenido que los dos primeros menores son cero, pero
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como el tercer menor es distinto de cero, concluimos que algún menor de orden 2
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es distinto de cero y por el teorema anterior, el rango de &nbsp;
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&nbsp; tiene que ser mayor que 2.
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Como ya habiamos averiguado antes que el rango de
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tiene que ser menor que 3, deducimos que el rango de
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[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Definición de menor de una matriz


Se llama menor de orden k de una matriz \mathbf{A} al determinante de orden k que está formado por los elementos que pertenecen a k filas y a k columnas de la matriz   \mathbf{A} .


En este determinante los elementos de \mathbf{A} conservan las posiciones relativas que tienen en la matriz \mathbf{A} .


Es decir, si la fila de \mathbf{A} en la que se encuentra a esta por encima de la fila de   \mathbf{A}   en la que se encuentra b , entonces, en los menores de \mathbf{A} en los que aparezcan a y b , la fila en la que se encuentra a va a estar por encima de la fila en la que se encuentra b .


Analogamente, si la columna de \mathbf{A} en la que se encuentra a esta a la derecha de la columna de   \mathbf{A}   en la que se encuentra b , entonces, en los menores de \mathbf{A} en los que aparezcan a y b , la columna en la que se encuentra a va a estar a la derecha de la columna en la que se encuentra b .


Teorema


 El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que podemos obtener de esta matriz.


Es decir, si el rango de una matriz es k, entonces todos los menores de orden superior a k son nulos.


Siendo esto así, el procedimiento que describimos a continuacion nos permite calcular el rango de una matriz \mathbf{A} independientemente de como sea la matriz \mathbf{A} .


Calculo del rango de una matriz por menores


Sea   k_{max}   el orden de los menores de mayor orden de la matriz \mathbf{A} .


k_{max}   es el número de filas o el número de columnas de   \mathrm{A} ,   lo que sea mayor.


Empezando por   k = k_{max}   y continuando con   k = k_{max} - 1, \, \ldots, \, k = 2, \, k = 1 ,   para cada valor de k se comprueba si algún menor de orden k es cero o no.


Si considerando distintos valores de j en este orden, encontramos que algún menor de orden k es distinto de cero, entonces el rango de \mathbf{A} seria k , en caso contrario el rango de \mathbf{A} seria menor de k y habria que considerar un valor k una unidad menor   \left( \, k - 1 \rightarrow k \, \right) .


Si no encontramos ningun valor de k entero positivo y menor que k_{max} ,   tal que todos los menores de orden k de \mathbf{A} sean cero, entonces el rango de \mathbf{A} es cero.


Ejemplo


Calculemos el determinante de la matriz \mathbf{A} = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ -1 & 0 & 5 \end{array} </pre> <p>\right)


En este caso   k_{max} = 3 .   Comprobamos primero si todos los menores de orden   k_{max}   son nulos.


En este caso, solo hay un menor de orden 3, \left| \, \mathbf{A} \, \right| , por lo tanto, solo tenemos que calcular un determinante de orden 3.


Como \, \left| \, \mathbf{A} \, \right| = 0 \, todos los menores de orden 3 de \mathbf{A} son cero, y por lo tanto pasamos a los menores de orden 3 - 1 = 2, y comprobamos si todos ellos son nulos, o no.


\mathbf{A} tiene 9 menores de orden 2. Calculamos uno por uno para comprobar si alguno de ellos es distinto de cero.


Supongamos que calculamos estos menores en el siguiente orden:

  1. 1. primero calculamos el menor que se obtiene seleccionando las primeras dos

filas ( las de mas arriba ) y las primeras dos columnas ( las de mas a la izquierda ) de A ,

  1. 2 a continuación calculamos el menor que se obtiene seleccionando las primeras dos

filas ( las de mas arriba ) y las ultimas dos columnas ( las de mas a la derecha ) de \mathbf{A} ,

  1. 3 el tercer menor que calculamos es el que se obtiene seleccionando las ultimas dos

filas ( las de mas arriba ) y las ultimas dos columnas ( las de mas a la derecha ) de \mathbf{A} ,

Procediendo asi, hubiesemos obtenido que los dos primeros menores son cero, pero como el tercer menor es distinto de cero, concluimos que algún menor de orden 2 es distinto de cero y por el teorema anterior, el rango de   \mathbf{A}   tiene que ser mayor que 2.


Como ya habiamos averiguado antes que el rango de \mathbf{A} tiene que ser menor que 3, deducimos que el rango de \mathbf{A} es 2.


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