Triángulos

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Tabla de contenidos

1 Características generales
2 Teoremas relativos a los triángulos rectángulos
3 Teorema relativo al triángulo equilátero
4 Teoremas relativos a todos los triángulos
- 4.1 Teorema de Menelao
- 4.2 Teorema de Ceva
5 Propiedad relativa al perímetro de los triángulos

Características generales

Un triángulo $ABC$ es una figura plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos, determinando los segmentos $AB, AC \ y \ BC,$ que son los lados del triángulo. Para que tres segmentos formen un triángulo $ABC$ es necesario que cada uno de ellos sea menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

Nomenclatura de los triángulos

Los triángulos se nombran por sus vértices, $A, B$ y $C$ . El lado opuesto a cada vértice se llama como él, en minúscula: el vértice $A$ es opuesto al lado a, el $B$ al $b$ y el $C$ al $c$ . Los ángulos pueden llamarse como el vértice: $\hat{A}$ , con la letra griega $\alpha$ o indicando ordenadamente $B\hat{A}C$ , donde $A$ es el vértice.

Los triángulos que tienen los tres lados iguales se llaman equiláteros. Esto implica que tengan tres ángulos iguales y tres ejes de simetría.

Los triángulos que tienen dos lados iguales se llaman isósceles. En este caso los lados iguales se llaman lados y el lado desigual se llama base. Los ángulos que tienen a la base como lado son iguales. Los triángulos isósceles sólo tienen un eje de simetría.

Los triángulos que no tienen lados iguales se llaman escalenos, sus ángulos son desiguales y no tienen ningún eje de simetría.

Los triángulos que tienen los ángulos agudos se llaman acutángulos.

Los triángulos que tienen un ángulo recto de llaman rectángulos. Los lados del ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

Los triángulos que tienen un ángulo obtuso se llaman obtusángulos.

Recordamos que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de $180^\circ$ .

Concepto de identidad, igualdad y semejanza entre figuras

Dos figuras son idénticas cuando son iguales y ocupan el mismo lugar. El signo de identidad es $\equiv$ . En nuestro ejemplo $ABC \equiv \ MNP$ . Dos figuras son iguales cuando tienen los lados iguales y los ángulos correspondientes iguales. El signo de igualdad es $\ = \$ .

En nuestro ejemplo $ABC = MNP \$ .

Dos figuras son semejantes cuando tienen los lados directamente proporcionales y los ángulos correspondientes iguales. En nuestro ejemplo $ABC\$ y $MNP\$ son triángulos semejantes.

Concepto de equivalencia entre figuras

Dos figuras son equivalentes cuando tienen la misma superficie, aunque su forma sea distinta.

Teoremas relativos a los triángulos rectángulos

El teorema de Euclides

El teorema de Euclides tiene dos enunciados que conocemos con los nombres de teorema del cateto y teorema de la altura.

Teorema del cateto:”El cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella”.

Esto quiere decir que: $AB = \sqrt {(BH \cdot BC)}$ , lo que implica que: $AB^2 = BH \cdot BC$

Teorema de la altura: “La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional de las proyecciones de los catetos sobre ella”.

Esto quiere decir que: $AH = \sqrt {(BH \cdot HC)}$ , lo que implica que: $AH^2 = BH \cdot HC$

Vamos a demostrarlo.

El teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras: “El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

Esto quiere decir que: $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .

Una forma sencilla para entender el teorema de pitágoras es mediante el trazo de figuras, por lo que es necesario contar con una regla, compás, lápiz, papel y seguir éstos pasos. 1.- Traza una línea horizontal de 5cm de longitud. Ésta línea la llamaremos hipotenusa. 2.- Abre el compás 3cm, y traza un semicírculo por encima de la hipotenusa apoyándote en su extremo izquierdo. 3.- Abre el compás 4 cm y traza un semicírculo por encima de la hipotenusa apoyándote en su extremo derecho y buscando que cruce el semicírculo que trazamos en el punto 2. 4.- Une el punto de cruce de los semicírculos con cada uno de los extremos de la hipotenusa así formarás un triángulo rectángulo las dos líneas rectas trazadas les llamamos catetos. 5.- Sobre cada lado del trángulo le dibujamos un cuadrado usando las mismas dimensiones de los lados del triángulo. 6.- Cuadriculamos cada cuadrado en divisiones de 1 cm de lado. 7.- Observemos que el cuadrado de la hipotenusa tiene 25 cuadros, el cuadrado de un cateto tiene 9 cuadros, y el cuadrado del otro cateto tiene 16 cuadros.

Podemos concluir que el " El cuadrado de la hipotenusa (25) es igual a la suma de los cudarados de los catetos (16+9).

Demostraciones gráficas de los teoremas de Euclides y Pitágoras

Vamos a demostrar en primer lugar el teorema de Euclides referente al cateto.

Consideramos un triángulo $ABC$ rectángulo en $A$ . Dibujamos el cuadrado $ABDE$ como se ve en la figura. Dibujamos la altura correspondiente a $A$ , siendo su pie el punto $H$ . Construimos el rectángulo $BHIJ$ , siendo $BJ = BC$ .

Se trata de demostrar que el cuadrado $ABDE$ y el rectángulo $BHIJ$ son equivalentes, es decir: $AB^2 = BH \cdot BC$ , como indica el teorema.

Prolongamos los lados $DE, BJ$ y $HI \$ como indica la figura y obtenemos el paralelogramo $ABFG$ .

$BF=BC \$ porque $ABC=BDF$ , pues los dos triángulos tienen un lado y dos ángulos iguales: $AB=BD$ ; el ángulo $ABC = DBF$ y los ángulos en $A$ y en $D$ rectos. Recordamos que cuando se trazan perpendiculares a un ángulo se obtienen ángulos iguales o suplementarios.

Comprobamos que $ABDE$ es equivalente a $ABFG$ , porque los dos son paralelogramos con la misma base, $AB \$ y la misma altura, $AE$ .

Por otra parte el rectángulo $AHIJ$ es equivalente $ABFG$ , porque los dos son paralelogramos con la misma base, $BJ = BF$ y la misma altura, $BH$ . Por lo tanto, el cuadrado $ABDE$ es equivalente al rectángulo $BHIJ$ , como queríamos demostrar.

Demostramos a continuación el Teorema de Pitágoras. En el triángulo $ABC$ de la figura debemos demostrar que $BC^2 = AB^2 +AC^2$ .

Aplicamos el teorema del cateto. Recordamos su demostración y vemos que el cuadrado de lado $AB \$ es equivalente, es decir, es de la misma superficie que el rectángulo $BFEH$ . Por el mismo teorema, el cuadrado de lado $AC$ es equivalente al rectángulo $HEDC$ . Como la suma de dichos rectángulos es igual al cuadrado de lado igual a la hipotenusa, el teorema queda demostrado.

El teorema de Pitágoras se puede demostrar también haciendo equiparticiones de los cuadrados, es decir, dibujándolos y dividiéndolos en partes iguales entre sí. Hay muchos modos de hacerlo. En la figura vemos uno de ellos. Las partes iguales están rayadas del mismo modo.

Vamos a demostrar finalmente el teorema de Euclides referente a la altura.

Consideramos un triángulo $ABC$ rectángulo en $A$ . Dibujamos el cuadrado $ABDE$ como se ve en la figura. Dibujamos la altura correspondiente a $A$ , siendo su pie el punto $H$ .

Se trata de demostrar que $AH^2 = BH \cdot HC$ , como indica el teorema.

Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo $ABH$ . Dibujamos los cuadrados de lados $AB, BH$ y $AH$ .

Se cumplirá que $AB^2 = AH^2 + BH^2 \$ , luego: $AB^2 - BH^2 = AH^2$ .

Por el teorema del cateto sabemos que el cuadrado de lado $AB \$ es equivalente al rectángulo de lados $BH$ y $BJ$ en el que $BJ = BC$ . Si restamos de dicho rectángulo el cuadrado de lado $BH$ el teorema queda demostrado, pues $GJ = HC$ . En la figura vemos que las dos figuras equivalentes están rayadas.

Teorema relativo al triángulo equilátero

Teorema de Viviani:”En un triángulo equilátero la suma de las distancias desde un punto interior P a los lados del triángulo es igual a la altura del triángulo”.

Si el punto $P$ fuera exterior la relación se cumple siempre que se consideren negativas una o dos distancias.

Vamos a hacer una demostración gráfica de este teorema, trazando paralelas a los lados del equilátero por el punto $P$ . Definimos así tres equiláteros, como vemos en la figura. Recordando que en los paralelogramos los lados opuestos son iguales, es fácil comprobar que la suma de los lados de estos triángulos es igual al lado de $ABC$ . Por lo tanto, la suma de sus alturas será igual a la altura de $ABC$ .

Teoremas relativos a todos los triángulos

Estos dos teoremas pueden generalizarse a todos los polígonos equiláteros y equiangulares.

Teorema de Menelao

“Si $ABC$ es un triángulo y $D E F \$ una recta que corta sus tres lados en $\ D, E y F$ , se verifica que:

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = -1$ ”.

La razón es negativa porque uno de los tres puntos de intersección estará siempre en el exterior del triángulo y su distancia al vértice se considerará negativa. En nuestro ejemplo será negativo $DC \$ .

Vamos a demostrarlo. Trazamos por $A$ una paralela a $BC$ . Prolongamos la recta y hallamos el punto $X$ . Se forman dos pares de triángulos semejantes: $XFA$ y $FBD$ ; $AXE$ y $CDE$ .

Fijándonos en estos triángulos tenemos que:

$\frac{AX}{BD} = \frac{AF}{FB}$ y $\frac{AX}{-DC} = \frac{EA}{CE}$ , luego

$AX= \frac{AF}{FB} \cdot BD$ , por la otra igualdad:

$AX= \frac{EA}{CE} \cdot (-DC)$ ; luego:

$\frac{AF}{FB} \cdot BD = \frac{EA}{CE} \cdot (-DC)$ , lo que implica que:

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = -1$ , como afirma el teorema.

Teorema de Ceva

“La condición necesaria y suficiente para que sean concurrentes tres rectas trazadas desde los vértices $A, B \ y \ C \$ de un triángulo a los puntos $A', B' \ y \ C'$ de los respectivos lados opuestos es que:

$\frac{BA'}{A'C} \cdot \frac{CB'}{B'A} \cdot \frac{AC'}{C'B} = 1$ ”.

Este teorema está íntimamente ligado al de Menelao. Para demostrarlo se consideran los triángulos $ACA'$ y $ABA'$ cortados respectivamente por $BB'$ y $CC'$ .

Este teorema se utiliza para demostrar que las alturas, las medianas y las bisectrices de todo triángulo son concurrentes.

Toda recta que pasa por el vértice de un triángulo toma el nombre de ceviana de este teorema

Propiedad relativa al perímetro de los triángulos

Sea el triángulo $ABC$ . Si llevamos las magnitudes $AB \$ y $AC$ sobre la prolongación de $BC$ , trazando los arcos de centro $B$ y radio $AB \$ y centro $C$ y radio $AC$ , como indica la figura, obtenemos un triángulo $AA'A''$ que tiene como lado $A'A''$ el perímetro del triángulo, ángulo en $A' = \frac{\beta}{2}$ y ángulo en $A'' = \frac{\gamma}{2}$ , siendo $\beta$ y $\gamma$ los ángulos en $B$ y en $C$ del triángulo.

Esta propiedad es interesante cuando se debe resolver un problema cuyos datos sean o bien el perímetro o bien la suma de dos de los lados de un triángulo.