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Matriz inversa

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (11:42 4 sep 2012) (editar) (deshacer)
 
(151 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
-
Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension
+
__TOC__
-
 
+
-
<math>
+
-
m \times n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; a un conjunto de números reales dispuestos en &nbsp;
+
-
<math>
+
-
m
+
-
</math>
+
-
&nbsp; filas y &nbsp;
+
-
<math>
+
-
n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; columnas de la siguiente forma &nbsp;
+
-
<br/>
+
==Definición==
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cccc}
+
-
a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}
+
-
\\
+
-
a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}
+
-
\\
+
-
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
+
-
\\
+
-
a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
La matriz &nbsp;
+
La matriz inversa de una [[¿Qué es una matriz?#Matrices cuadradas|matriz cuadrada]] &nbsp;
<math>
<math>
-
A
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; se puede designar tambien como &nbsp;
+
&nbsp; de orden &nbsp;
<math>
<math>
-
\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad
+
n,
</math>
</math>
-
&nbsp; donde
+
&nbsp; es la matriz cuadrada &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\left\{
+
\mathbf{A}^{-1}
-
\begin{array}[c]{l}
+
-
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
+
-
\\
+
-
j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; tambien de orden &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Un elemento generico de la matriz se designa por &nbsp;
+
<math>
<math>
-
a_{ij}
+
n
</math>
</math>
-
&nbsp; en el cual el subindice &nbsp;
+
&nbsp; que verifica:
-
<math>
+
-
i
+
-
</math>
+
-
&nbsp; representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice &nbsp;
+
-
<math>
+
-
j
+
-
</math>
+
-
&nbsp; el numero de columna.
+
-
 
+
-
El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
+
-
<math>
+
-
m \times n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; se denota por:
+
<br/>
<br/>
Línea 84: Línea 27:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
M_{m \times n}
+
\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = I
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 90: Línea 33:
<br/>
<br/>
-
El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
+
donde &nbsp;
<math>
<math>
-
n \times n
+
\mathbf{I}
</math>
</math>
-
, &nbsp; tambien llamadas de orden &nbsp;
+
&nbsp; es la
 +
[[¿Qué es una matriz?#Matrices unidad o identidad|matriz identidad]] de orden &nbsp;
<math>
<math>
n
n
</math>
</math>
-
, &nbsp; se denota por:
+
.
<br/>
<br/>
-
<center>
+
==Existencia de la matriz inversa==
-
<math>
+
-
M_n
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:
+
Las matrices que tienen inversa se llaman '''''regulares''''' y las que NO
-
 
+
tienen inversa, '''''singulares'''''.
-
* la diagonal principal formada por los elementos de la forma &nbsp;
+
-
<math>
+
-
a_{ii}
+
-
</math>
+
-
&nbsp;
+
-
 
+
-
*la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma &nbsp;
+
-
<math>
+
-
a_{ij}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; tales que &nbsp;
+
-
<math>
+
-
i + j = n + 1
+
-
</math>
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su [[Rango de una matriz|rango]] es n.
-
<math>
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cccc}
+
-
\mathbf{a_{11}} & a_{12} & a_{13} & a_{14}
+
-
\\
+
-
a_{21} & \mathbf{a_{22}} & a_{23} & a_{24}
+
-
\\
+
-
a_{31} & a_{32} & \mathbf{a_{33}} & a_{34}
+
-
\\
+
-
a_{41} & a_{42} & a_{43} & \mathbf{a_{44}}
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
&
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cccc}
+
-
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \mathbf{a_{14}}
+
-
\\
+
-
a_{21} & a_{22} & \mathbf{a_{23}} & a_{24}
+
-
\\
+
-
a_{31} & \mathbf{a_{32}} & a_{33} & a_{34}
+
-
\\
+
-
\mathbf{a_{41}} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
\\
+
-
&
+
-
\\
+
-
\makebox{Diagonal principal} & \makebox{Diagonal secundaria}
+
-
\end{array}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas
+
Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su [[Definición de determinante|determinante]] es cero.
-
&nbsp;
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
m \neq n
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
 
+
-
Ejemplo:
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
==Propiedades==
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
1 & -1 & ~~0
+
-
\\
+
-
2 & ~~3 & -1
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension &nbsp;
+
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes:
-
<math>
+
-
1 \times n
+
-
</math>
+
-
Ejemplo:
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
1. &nbsp; Si existe,
-
<math>
+
&nbsp; <math>
-
\left(
+
\mathbf{A}^{-1}
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
-1 & 3 & 5
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; es única.
<br/>
<br/>
-
Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension &nbsp;
+
2. &nbsp;
<math>
<math>
-
m \times 1
+
\left(
 +
\mathbf{A}^{-1}
 +
\right)
 +
^{-1} = \mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp;
 
-
Ejemplo:
 
<br/>
<br/>
-
<center>
+
3. &nbsp;
<math>
<math>
-
\left(
+
\left(
-
\begin{array}[c]{c}
+
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}
-
-1
+
\right)
-
\\
+
^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \cdot \mathbf{A}^{-1}
-
~~3
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
</math>
</math>
-
</center>
 
<br/>
<br/>
-
Una matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por
+
4. El determinante de una matriz regular
-
&nbsp;
+
<math>
<math>
-
0
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
.
+
es el inverso del determinante de su matriz inversa:
-
Ejemplo:
+
<br/>
<br/>
Línea 246: Línea 109:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left(
+
\left| \mathbf{A}^{-1} \right| = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|}
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
0 & 0 & 0
+
-
\\
+
-
0 & 0 & 0
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 258: Línea 115:
<br/>
<br/>
-
Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
+
==Cálculo de la matriz inversa==
-
situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
+
-
Ejemplo:
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras:
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
1 & -1 & ~~0
+
-
\\
+
-
0 & ~~3 & -1
+
-
\\
+
-
0 & ~~0 & ~~2
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
+
===Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales===
-
situados por encima de la diagonal principal son ceros
+
-
Ejemplo:
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
====Ejemplo====
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
2 & ~~0 & 0
+
-
\\
+
-
3 & -1 & 0
+
-
\\
+
-
1 & -1 & 3
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
+
-
no situados en la diagonal principal son ceros.
+
-
Ejemplo:
+
<br/>
<br/>
Línea 310: Línea 133:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left(
+
\mathbf{A} =
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
\left(
-
~~2 & ~~0 & ~~0
+
\begin{array}[c]{cc}
-
\\
+
1 & 2
-
~~0 & -1 & ~~0
+
\\
-
\\
+
3 & 7
-
~~0 & ~~0 & ~~3
+
\end{array}
-
\end{array}
+
\right)
-
\right)
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 324: Línea 146:
<br/>
<br/>
-
Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los terminos
+
hacemos
-
de la diagonal principal son iguales.
+
-
Ejemplo:
+
<br/>
<br/>
Línea 332: Línea 152:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left(
+
\mathbf{A}^{-1} =
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
\left(
-
2 & {0} & {0}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
\\
+
a & b
-
{0} & 2 & {0}
+
\\
-
\\
+
c & d
-
{0} & {0} & 2
+
\end{array}
-
\end{array}
+
\right)
-
\right)
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 346: Línea 165:
<br/>
<br/>
-
Matriz unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos
+
como
-
&nbsp;
+
-
<math>
+
-
1
+
-
</math>
+
-
&nbsp; .
+
-
Ejemplo:
+
<br/>
<br/>
Línea 358: Línea 171:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left(
+
I = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \Rightarrow
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
\left(
-
1 & {0} & {0}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
\\
+
1 & 2
-
{0} & 1 & {0}
+
\\
-
\\
+
3 & 7
-
{0} & {0} & 1
+
\end{array}
-
\end{array}
+
\right)
-
\right)
+
\cdot
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
a & b
 +
\\
 +
c & d
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
=
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 0
 +
\\
 +
0 & 1
 +
\end{array}
 +
\right)
</math>
</math>
</center>
</center>
-
 
-
%% }}}
 
-
%% {{{ =Operaciones elementales con matrices
 
-
 
-
Dos matrices son iguales si tienen la misma dimension y si los elementos que ocupan el
 
-
mismo lugar en ambas, son iguales.
 
-
 
-
Para dos matrices &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A = \left( a_{ij} \right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
B = \left( b_{ij} \right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; de la misma dimension &nbsp;
 
-
<math>
 
-
m \times n
 
-
</math>
 
-
, &nbsp; la suma de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
B
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es la matriz de la misma dimension &nbsp;
 
-
<math>
 
-
m \times n
 
-
</math>
 
-
, &nbsp; dada por
 
<br/>
<br/>
-
<center>
+
Operando:
-
<math>
+
-
A + B = \left( a_{ij} \right) + \left( b_{ij} \right) = \left( a_{ij} + b_{ij} \right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Ejemplo:
+
<br/>
<br/>
Línea 418: Línea 206:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
A + B =
 
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
a_{11 }& a_{12} & a_{13}
+
a + 2c & b + 2d
-
\\
+
\\
-
a_{21 }& a_{22} & a_{23}
+
3a + 7c & 3b + 7d
-
\\
+
\end{array}
-
a_{31 }& a_{32} & a_{33}
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
+
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
b_{11 }& b_{12} & b_{13}
+
-
\\
+
-
b_{21 }& b_{22} & b_{23}
+
-
\\
+
-
b_{31 }& b_{32} & b_{33}
+
-
\end{array}
+
\right)
\right)
=
=
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
a_{11 } + b_{11 } & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13}
+
1 & 0
-
\\
+
\\
-
a_{21 } + b_{21 } & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23}
+
0 & 1
-
\\
+
\end{array}
-
a_{31 } + b_{31 } & a_{32} + b_{32} & a_{33} + b_{33}
+
-
\end{array}
+
\right)
\right)
 +
\Leftrightarrow
 +
\left\{
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
a + 2c & = & 1
 +
\\
 +
3a + 7c & = & 0
 +
\\
 +
b + 2d & = & 0
 +
\\
 +
3b + 7d & = & 1
 +
\\
 +
\end{array}
 +
\right.
</math>
</math>
</center>
</center>
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Para un número real &nbsp;
 
-
<math>
 
-
k
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y una matriz &nbsp;
 
-
<math>
 
-
A = \left( a_{ij} \right)}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; de dimension &nbsp;
 
-
<math>
 
-
m \times n
 
-
</math>
 
-
, &nbsp; el producto de un número real por una matriz es la matriz de la misma dimension
 
-
&nbsp;
 
-
<math>
 
-
m \times n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; dada por
 
<br/>
<br/>
Línea 476: Línea 241:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
k \cdot A = k \cdot \left( a_{ij} \right) = \left( k \cdot a_{ij} \right)
+
\Rightarrow \left\{
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
a & = & 7
 +
\\
 +
b & = & -2
 +
\\
 +
c & = & -3
 +
\\
 +
d & = & 1
 +
\\
 +
\end{array}
 +
\right.
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 482: Línea 258:
<br/>
<br/>
-
Es decir, el producto &nbsp;
+
===Por el método de Gauss===
-
<math>
+
-
k \cdot A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; se obtiene multiplicando el numero real por cada uno de los elementos de la
+
-
matriz.
+
-
Ejemplo:
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
La inversa de una matriz regular &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
&nbsp; se puede calcular transformando la matriz &nbsp;
<math>
<math>
-
k \cdot A = k \cdot
 
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\, \mathbf{A} \, \left| \, \mathbf{I} \, \right.
-
a_{11 }& a_{12}
+
-
\\
+
-
a_{21 }& a_{22}
+
-
\\
+
-
a_{31 }& a_{32}
+
-
\end{array}
+
\right)
\right)
-
=
+
</math>
 +
&nbsp; mediante operaciones elementales con las filas de la matriz &nbsp;
 +
<math>
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\, \mathbf{I} \, \left| \, \mathbf{A}^{-1} \, \right.
-
k \cdot a_{11 }& k \cdot a_{12}
+
-
\\
+
-
k \cdot a_{21 }& k \cdot a_{22}
+
-
\\
+
-
k \cdot a_{31 }& k \cdot a_{32}
+
-
\end{array}
+
\right)
\right)
</math>
</math>
-
</center>
 
<br/>
<br/>
-
El producto de dos matrices &nbsp;
+
====Operaciones elementales con las filas de una matriz====
-
<math>
+
-
A = \left( a_{ij} \right)
+
-
</math>
+
-
&nbsp; de dimension &nbsp;
+
-
<math>
+
-
m \times n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y &nbsp;
+
-
<math>
+
-
B = \left( b_{ij} \right)
+
-
</math>
+
-
&nbsp; de dimension &nbsp;
+
-
<math>
+
-
n \times p
+
-
</math>
+
-
, &nbsp; es la matriz &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A \cdot B
+
-
</math>
+
-
&nbsp; dada por:
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en
-
<math>
+
el metodo de Gauss son las siguientes:
-
A \cdot B = \left( c_{ij} \right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
con
+
1. Intercambiar las filas &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
c_{ij} = \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot b_{jk}
+
F_i
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; y &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Es decir, cada elemento &nbsp;
+
<math>
<math>
-
c_{ik}
+
F_j
-
</math>
+
</math>.
-
&nbsp; se obtiene multiplicando la fila i-ésima de la primera matriz por la columna
+
&nbsp; Esta operación la representaremos así
-
k-ésima de la segunda matriz.
+
-
Ejemplo:
+
<br/>
<br/>
Línea 575: Línea 304:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left(
+
F_i \longleftrightarrow F_j
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
1 & 2 & 3
+
-
\\
+
-
4 & 5 & 6
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
\cdot
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
~~7 & ~~8
+
-
\\
+
-
~~9 & ~~0
+
-
\\
+
-
-1 & -2
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
=
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot \left( -1 \right) & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot \left( -2 \right)
+
-
\\
+
-
4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot \left( -1 \right) & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot \left( -2 \right)
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 605: Línea 310:
<br/>
<br/>
-
*El producto de matrices cuadradas es asociativo:
+
2. Multiplicar la fila &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
A \cdot
+
F_i
-
\left(
+
-
B \cdot C
+
-
\right)
+
-
=
+
-
\left(
+
-
A \cdot B
+
-
\right)
+
-
\cdot C
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; por el número &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
*El producto de matrices cuadradas de orden &nbsp;
+
<math>
<math>
-
n
+
s \neq 0
</math>
</math>
-
&nbsp; posee como elemento neutro la matriz unidad o identidad &nbsp;
+
&nbsp; y sustituir &nbsp;
<math>
<math>
-
I
+
F_i
</math>
</math>
-
&nbsp; de orden &nbsp;
+
&nbsp; por &nbsp;
<math>
<math>
-
n
+
s \cdot F_i
-
</math>
+
</math>.
-
&nbsp; ya que:
+
&nbsp; Esta operación la representamos de la
 +
siguiente forma:
<br/>
<br/>
Línea 643: Línea 333:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
A \cdot I = I \cdot A = A
+
s \cdot F_i \longrightarrow F_i
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 649: Línea 339:
<br/>
<br/>
-
* El producto de matrices cuadradas es distributivo respecto de la suma de matrices:
+
3. Sumar las filas &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
A \cdot
+
F_i
-
\left(
+
-
B + C
+
-
\right)
+
-
= A \cdot B + A \cdot C
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; y &nbsp;
-
 
+
-
%% }}}
+
-
%% {{{ =Matriz transpuesta
+
-
Se llama matriz traspuesta de una matriz &nbsp;
+
<math>
<math>
-
A
+
F_j
-
</math>
+
</math>,
-
&nbsp; de dimension &nbsp;
+
&nbsp; multiplicadas por sendos números,
<math>
<math>
-
m \times n
+
s
</math>
</math>
-
, &nbsp; a la matriz que se obtiene al cambiar en &nbsp;
+
y
<math>
<math>
-
A
+
t
-
</math>
+
</math>,
-
&nbsp; las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por &nbsp;
+
y sustituir &nbsp;
<math>
<math>
-
A^t
+
F_i
-
</math>
+
-
&nbsp; y su dimension es &nbsp;
+
-
<math>
+
-
n \times m
+
</math>
</math>
 +
&nbsp; por el resultado de esta suma. Lo representamos así:
<br/>
<br/>
-
==Propiedades:==
+
<center>
 +
<math>
 +
s \cdot F_i + t \cdot F_j \longrightarrow F_i
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
-
* <math>
+
Notese que el segundo tipo de operación, &nbsp;
-
\left( \, A^t \, \right)^t = A
+
<math>
-
</math>
+
s \cdot F_i \longrightarrow F_i
-
 
+
</math>,
-
* <math>
+
&nbsp;
-
\left( \, A + B \, \right)^t = A^t + B^t
+
es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando &nbsp;
-
</math>
+
<math>
-
&nbsp;
+
t = 0
-
 
+
</math>.
-
* <math>
+
-
\left( \, k \cdot A \, \right)^t = k \cdot A^t
+
-
</math>
+
-
&nbsp;
+
-
 
+
-
* <math>
+
-
\left( \, A \cdot B \, \right)^t = B^t \cdot A^t
+
-
</math>
+
-
&nbsp;
+
<br/>
<br/>
-
----
+
===Mediante la matriz adjunta===
<br/>
<br/>
-
Se llama matriz simetrica a toda matriz cuadrada &nbsp;
+
La matriz inversa de una matriz regular &nbsp;
<math>
<math>
-
A
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; que coincide con su transpuesta: &nbsp;
+
&nbsp; se puede calcular mediante la expresión:
-
<math>
+
-
A = A^t
+
-
</math>.
+
-
&nbsp; En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la
+
-
diagonal principal son iguales.
+
-
 
+
-
====Ejemplo:====
+
<br/>
<br/>
<center>
<center>
-
<math>
+
<math>
-
\left(
+
\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
\left[
-
1 & 2 & 3
+
\makebox{Adj}
-
\\
+
\left(
-
2 & 4 & 5
+
\, \mathbf{A} \,
-
\\
+
\right)
-
3 & 5 & 7
+
\right]
-
\end{array}
+
^t
-
\right)
+
</math>
-
</math>
+
</center>
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
Se llama matriz antisimetrica a toda matriz cuadrada &nbsp;
+
donde &nbsp;
<math>
<math>
-
A
+
\makebox{Adj}
 +
\left(
 +
\, \mathbf{A} \,
 +
\right)
</math>
</math>
-
&nbsp; que coincide con la opuesta de su transpuesta: &nbsp;
+
&nbsp; es la [[Matriz inversa#Mediante la matriz adjunta| matriz adjunta]] de &nbsp;
<math>
<math>
-
A = -A^t
+
\mathbf{A}
</math>.
</math>.
-
&nbsp; En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la
 
-
diagonal principal son opuestos.
 
-
====Ejemplo:====
+
<br/>
 +
 
 +
====Definición de matriz adjunta====
<br/>
<br/>
-
<center>
+
La matriz cuyos elementos son los correspondientes [[Desarrollo de un determinante#Menores complementarios y adjuntos|adjuntos]] de los elementos de una matriz cuadrada
 +
&nbsp;
<math>
<math>
-
\left(
+
\mathbf{A}
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
-
~~ 0 & ~~2 & -3
+
-
\\
+
-
-2 & ~~0 & ~~5
+
-
\\
+
-
~~ 3 & -5 & ~~0
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; se llama '''''matriz adjunta''''' de &nbsp;
-
%% }}}
+
-
%% {{{ =Matriz inversa
+
-
 
+
-
La matriz inversa de una matriz cuadrada &nbsp;
+
<math>
<math>
-
A
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; de orden &nbsp;
+
&nbsp; y se denota por &nbsp;
<math>
<math>
-
n,
+
\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right)
-
</math>
+
</math>.
-
&nbsp; es la matriz &nbsp;
+
&nbsp; El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de la matriz adjunta de
<math>
<math>
-
, A^{-1},
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; de orden &nbsp;
+
es &nbsp;
<math>
<math>
-
n
+
A_{ij}
-
</math>
+
</math>,
-
&nbsp; que verifica:
+
&nbsp; el adjunto del elemento de
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
</center>
+
en su fila i-esima y columna j-esima
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices
+
-
singulares.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:
+
-
 
+
-
1. &nbsp; Si existe,
+
-
&nbsp; <math>
+
-
A^{-1}
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es única.
+
-
 
+
-
2. &nbsp;
+
<math>
<math>
-
\left(
+
\left( \, a_{ij} \, \right)}
-
A^{-1}
+
</math>.
-
\right)
+
-
^{-1} = A
+
-
</math>
+
-
 
+
-
3. &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
A \cdot B
+
-
\right)
+
-
^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}
+
-
</math>
+
<br/>
<br/>
-
==Calculo de la matriz inversa==
+
====Ejemplo====
<br/>
<br/>
-
Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos
+
Los [[Desarrollo de un determinante#Menores complementarios y adjuntos|menores
-
procedimientos:
+
complementarios]] de los elementos de la matriz
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
===Mediante la definicion===
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
====Ejemplo:====
+
<br/>
<br/>
Línea 857: Línea 471:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
A =
+
\mathbf{A} =
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cc}
+
\begin{array}{ccc}
-
1 & 2
+
1 & 2 & 3
\\
\\
-
3 & 7
+
4 & 5 & 6
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
hacemos
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
A^{-1} =
+
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
a & b
+
\\
\\
-
c & d
+
7 & 8 & 0
\end{array}
\end{array}
\right)
\right)
Línea 889: Línea 486:
<br/>
<br/>
-
como
+
son
<br/>
<br/>
Línea 895: Línea 492:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow
+
\begin{array}{ccc}
-
\left(
+
\alpha_{11} =
 +
\left|
\begin{array}[c]{cc}
\begin{array}[c]{cc}
-
1 & 2
+
5 & 6
\\
\\
-
3 & 7
+
8 & 0
\end{array}
\end{array}
-
\right)
+
\right|
-
\cdot
+
&
-
\left(
+
\qquad \alpha_{12} =
 +
\left|
\begin{array}[c]{cc}
\begin{array}[c]{cc}
-
a & b
+
4 & 6
\\
\\
-
c & d
+
7 & 0
\end{array}
\end{array}
-
\right)
+
\right|
-
=
+
&
-
\left(
+
\qquad \alpha_{13} =
 +
\left|
\begin{array}[c]{cc}
\begin{array}[c]{cc}
-
1 & 0
+
4 & 5
\\
\\
-
0 & 1
+
7 & 8
\end{array}
\end{array}
-
\right)
+
\right|
 +
\end{array}
</math>
</math>
</center>
</center>
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Operando:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left(
+
\begin{array}{ccc}
 +
\alpha_{21} =
 +
\left|
\begin{array}[c]{cc}
\begin{array}[c]{cc}
-
a + 2c & b + 2d
+
2 & 3
\\
\\
-
3a + 7c & 3b + 7d
+
8 & 0
\end{array}
\end{array}
-
\right)
+
\right|
-
=
+
&
-
\left(
+
\qquad \alpha_{22} =
 +
\left|
\begin{array}[c]{cc}
\begin{array}[c]{cc}
-
1 & 0
+
1 & 3
\\
\\
-
0 & 1
+
7 & 0
\end{array}
\end{array}
-
\right)
+
\right|
-
\Leftrightarrow
+
&
-
\left\{
+
\qquad \alpha_{23} =
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
\left|
-
a + 2c & = & 1
+
\begin{array}[c]{cc}
-
\\
+
1 & 2
-
3a + 7c & = & 0
+
-
\\
+
-
b + 2d & = & 0
+
-
\\
+
-
3b + 7d & = & 1
+
\\
\\
 +
7 & 8
\end{array}
\end{array}
-
\right.
+
\right|
 +
\end{array}
</math>
</math>
</center>
</center>
-
 
-
<br/>
 
-
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\Rightarrow \left\{
+
\begin{array}{ccc}
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
\alpha_{31} =
-
a & = & 7
+
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
2 & 3
\\
\\
-
b & = & -2
+
5 & 6
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
&
 +
\qquad \alpha_{32} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 3
\\
\\
-
c & = & -3
+
4 & 6
-
\\
+
\end{array}
-
d & = & 1
+
\right|
 +
&
 +
\qquad \alpha_{33} =
 +
\left|
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 & 2
\\
\\
 +
4 & 5
\end{array}
\end{array}
-
\right.
+
\right|
 +
\end{array}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 982: Línea 589:
<br/>
<br/>
-
===Método de Gauss-Jordan===
+
Los adjuntos de los elementos de &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
La inversa de una matriz regular &nbsp;
+
<math>
<math>
-
A
+
\mathbf{A}
-
</math>
+
-
&nbsp; se calcular transformando la matriz &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\, A \, \left| \, I \, \right.
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
&nbsp; mediante operaciones elementales por filas en la matriz &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\left(
+
-
\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right.
+
-
\right)
+
</math>
</math>
 +
&nbsp; son:
-
Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:
+
<br/>
-
1. Intercambiar las filas &nbsp;
+
<center>
<math>
<math>
-
i
+
\begin{array}{ccccccccccc}
 +
A_{11} & = & -48 & \qquad & A_{12} & = & ~42 & \qquad & A_{13} & = & -3
 +
\\
 +
A_{21} & = & ~24 & \qquad & A_{22} & = & -21 & \qquad & A_{23} & = & ~6
 +
\\
 +
A_{31} & = & ~-3 & \qquad & A_{32} & = & ~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3
 +
&\end{array}
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
</center>
-
<math>
+
-
j,
+
-
</math>
+
-
&nbsp; que designaremos por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
F_i \longrightarrow F_j
+
-
</math>
+
-
&nbsp;
+
-
2. Multiplicar la fila &nbsp;
+
<br/>
-
<math>
+
-
i
+
-
</math>
+
-
&nbsp; por el numero &nbsp;
+
-
<math>
+
-
k \neq 0
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
F_i \to k \cdot F_i
+
-
</math>
+
-
3. Multiplicar la fila &nbsp;
+
La matriz adjunta de &nbsp;
<math>
<math>
-
i
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; por el numero &nbsp;
+
&nbsp; es
-
<math>
+
-
k \neq 0
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y sustituirla por el resultado; lo designamos por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
F_i \to k \cdot F_i
+
-
</math>
+
-
 
+
-
4. Sumar las filas &nbsp;
+
-
<math>
+
-
i
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y &nbsp;
+
-
<math>
+
-
j,
+
-
</math>
+
-
&nbsp;, multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila &nbsp;
+
-
<math>
+
-
i
+
-
</math>
+
-
&nbsp; o &nbsp;
+
-
<math>
+
-
j
+
-
</math>
+
-
&nbsp;. Lo designamos por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
F_i
+
-
</math>
+
-
&nbsp; o &nbsp;
+
-
<math>
+
-
F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j
+
-
</math>
+
-
 
+
-
%% }}}
+
-
%% {{{ =Rango de una matriz
+
-
 
+
-
En la matriz
+
<br/>
<br/>
Línea 1.079: Línea 621:
<center>
<center>
<math>
<math>
 +
\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) =
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cccc}
+
\begin{array}{ccc}
-
a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}
+
-48 & ~42 & -3
-
\\
+
\\
-
a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}
+
~24 & -21 & ~6
-
\\
+
\\
-
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
+
~-3 & ~~6 & -3
-
\\
+
\end{array}
-
a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
+
-
\end{array}
+
\right)
\right)
</math>
</math>
Línea 1.095: Línea 636:
<br/>
<br/>
-
Se dice que las filas &nbsp;
+
El determinante de
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
F_i, \, F_j, \, F_k, \, \ldots, \, F_t
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
</center>
+
lo podemos calcular [[Desarrollo de un determinante#Desarrollo de un determinante|desarrollando]] por la primera fila:
<br/>
<br/>
-
+
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left(
+
\left| \mathbf{A} \right| = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13}
-
\, F_i =
+
\cdot A_{13} = 1 \cdot \left( \, -48 \, \right) + 2 \cdot 42 + 3 \cdot \left( \,
-
\left(
+
-3 \, \right) = 25
-
\, a_{i1 }, \, a_{i2}, \, \ldots, \, a_{in} \,
+
-
\right)
+
-
\right)
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 1.120: Línea 654:
<br/>
<br/>
-
son dependientes si existen números &nbsp;
+
Por lo tanto, la matriz inversa de
<math>
<math>
-
\alpha_j, \, \alpha_k, \, \ldots, \, \alpha_t \in R
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; tales que
+
es
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
<center>
<center>
<math>
<math>
-
F_i = \alpha_j \cdot F_j + \alpha_k \cdot F_k + \, \ldots \, + \alpha_t \cdot F_t
+
\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
 +
\left[
 +
\makebox{Adj}
 +
\left(
 +
\, \mathbf{A} \,
 +
\right)
 +
\right]
 +
^t =
 +
\frac{1}{25} \cdot
 +
\left(
 +
\begin{array}{ccc}
 +
-48 & ~24 & -3
 +
\\
 +
~42 & -21 & ~6
 +
\\
 +
~-3 & ~~6 & -3
 +
\end{array}
 +
\right)
</math>
</math>
</center>
</center>
-
<br/>
+
==Ejercicios resueltos==
-
En caso contrario, se dice que las filas &nbsp;
+
{{problemas}}* [http://www.selectividad.tv/S_M_4_1_2_S_producto_e_invertibilidad_de_matrices.html Producto e invertibilidad de matrices]
-
<math>
+
-
F_i, \, F_j, \, F_k, \, \ldots, \, F_t
+
-
</math>
+
-
&nbsp; son linealmente independientes.
+
-
El '''rango''' de una matriz es el número de filas o de columnas linealmente independientes
+
[[Category:Matemáticas]]
-
que tiene esa matriz.
+

Revisión actual

Tabla de contenidos


Definición


La matriz inversa de una matriz cuadrada   
\mathbf{A}
  de orden   
n,
  es la matriz cuadrada   
\mathbf{A}^{-1}
  tambien de orden   
n
  que verifica:



\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = I


donde   
\mathbf{I}
  es la matriz identidad de orden   
n
.


Existencia de la matriz inversa


Las matrices que tienen inversa se llaman regulares y las que NO tienen inversa, singulares.


Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su rango es n.


Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su determinante es cero.


Propiedades


Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes:


1.   Si existe,   
\mathbf{A}^{-1} 
  es única.


2.   
\left(
</p>
<pre>\mathbf{A}^{-1} 
</pre>
<p>\right)
^{-1} = \mathbf{A}


3.   
\left(
</p>
<pre>\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}
</pre>
<p>\right)
^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \cdot \mathbf{A}^{-1}


4. El determinante de una matriz regular 
\mathbf{A}
es el inverso del determinante de su matriz inversa:



\left| \mathbf{A}^{-1} \right| = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|}


Cálculo de la matriz inversa


La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras:


Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales


Ejemplo



\mathbf{A} =
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
3 & 7
\end{array}
</pre>
<p>\right)


hacemos



\mathbf{A}^{-1} =
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
a & b
\\
c & d
\end{array}
</pre>
<p>\right)


como



I = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \Rightarrow
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
3 & 7
\end{array}
</pre>
<p>\right)
\cdot
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
a & b
\\
c & d
\end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
1 & 0
\\
0 & 1
\end{array}
</pre>
<p>\right)


Operando:



\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
a + 2c & b + 2d
\\
3a + 7c & 3b + 7d
\end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre>\begin{array}[c]{cc}
1 & 0
\\
0 & 1
\end{array}
</pre>
<p>\right)
\Leftrightarrow
\left\{
</p>
<pre>\begin{array}[c]{ccc}
a + 2c & = & 1
\\
3a + 7c & = & 0
\\
b + 2d & = & 0
\\
3b + 7d & = & 1
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right.



\Rightarrow \left\{
</p>
<pre>\begin{array}[c]{ccc}
a & = & 7
\\
b & = & -2
\\
c & = & -3
\\
d & = & 1
\\
\end{array}
</pre>
<p>\right.


Por el método de Gauss


La inversa de una matriz regular   
\mathbf{A}
  se puede calcular transformando la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, \mathbf{A} \, \left| \, \mathbf{I} \, \right.
</pre>
<p>\right)
  mediante operaciones elementales con las filas de la matriz   
\left(
</p>
<pre>\, \mathbf{I} \, \left| \, \mathbf{A}^{-1} \, \right.
</pre>
<p>\right)


Operaciones elementales con las filas de una matriz


Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en el metodo de Gauss son las siguientes:


1. Intercambiar las filas   
F_i
  y   
F_j
.   Esta operación la representaremos así



F_i \longleftrightarrow F_j


2. Multiplicar la fila   
F_i
  por el número   
s \neq 0
  y sustituir   
F_i
  por   
s \cdot F_i
.   Esta operación la representamos de la siguiente forma:



s \cdot F_i \longrightarrow F_i


3. Sumar las filas   
F_i
  y   
F_j
,   multiplicadas por sendos números, 
s
y 
t
, y sustituir   
F_i
  por el resultado de esta suma. Lo representamos así:



s \cdot F_i + t \cdot F_j \longrightarrow F_i


Notese que el segundo tipo de operación,   
s \cdot F_i \longrightarrow F_i
,   es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando   
t = 0
.


Mediante la matriz adjunta


La matriz inversa de una matriz regular   
\mathbf{A}
  se puede calcular mediante la expresión:



\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
\left[
 \makebox{Adj}
 \left(
   \, \mathbf{A} \, 
 \right)
\right]
^t


donde   
</p>
<pre>\makebox{Adj}
\left(
  \, \mathbf{A} \, 
\right)
</pre>
<p>   es la matriz adjunta de   
\mathbf{A}
.


Definición de matriz adjunta


La matriz cuyos elementos son los correspondientes adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada   
\mathbf{A}
  se llama matriz adjunta de   
\mathbf{A}
  y se denota por   
\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right)
.   El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de la matriz adjunta de 
\mathbf{A}
es   
A_{ij}
,   el adjunto del elemento de 
\mathbf{A}
en su fila i-esima y columna j-esima 
\left( \, a_{ij} \, \right)}
.


Ejemplo


Los menores complementarios de los elementos de la matriz



\mathbf{A} =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   1 & 2 & 3
   \\
   4 & 5 & 6 
   \\
   7 & 8 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


son



\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   5 & 6
   \\
   8 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{12} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   4 & 6
   \\
   7 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{13} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   4 & 5
   \\
   7 & 8
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\end{array}


\begin{array}{ccc}
\alpha_{21} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   2 & 3
   \\
   8 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{22} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 3
   \\
   7 & 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{23} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   7 & 8
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\end{array}


\begin{array}{ccc}
\alpha_{31} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   2 & 3
   \\
   5 & 6
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{32} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 3
   \\
   4 & 6
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
& 
\qquad \alpha_{33} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   4 & 5
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
\end{array}


Los adjuntos de los elementos de   
\mathbf{A}
  son:



\begin{array}{ccccccccccc}
A_{11} & = & -48 & \qquad & A_{12} & = & ~42 & \qquad & A_{13} & = & -3
\\
A_{21} & = & ~24 & \qquad & A_{22} & = & -21 & \qquad & A_{23} & = & ~6
\\
A_{31} & = & ~-3 & \qquad & A_{32} & = & ~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3
&\end{array}


La matriz adjunta de   
\mathbf{A}
  es



\makebox{Adj} \left( \mathbf{A} \right) =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
</pre>
<p>-48 & ~42 & -3
\\
~24 & -21 & ~6
\\
~-3 & ~~6 & -3
\end{array}
\right)


El determinante de 
\mathbf{A}
lo podemos calcular desarrollando por la primera fila:



\left| \mathbf{A} \right|  = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12}  \cdot A_{12} + a_{13}
\cdot A_{13} = 1 \cdot  \left( \, -48 \, \right) + 2 \cdot 42  + 3 \cdot \left( \,
</p>
<pre> -3 \, \right) = 25
</pre>
<p>


Por lo tanto, la matriz inversa de 
\mathbf{A}
es


\mathbf{A}^{-1} =  \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot
</p>
<pre>\left[
 \makebox{Adj}
 \left(
   \, \mathbf{A} \, 
 \right)
\right]
^t =
\frac{1}{25} \cdot
\left(
 \begin{array}{ccc}
</pre>
<p>-48 & ~24 & -3
\\
~42 & -21 & ~6
\\
~-3 & ~~6 & -3
\end{array}
\right)

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