Matriz inversa
De Wikillerato
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+ | La matriz inversa de una [[¿Qué es una matriz?#Matrices cuadradas|matriz cuadrada]] | ||
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- | A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I | + | \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = I |
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+ | [[¿Qué es una matriz?#Matrices unidad o identidad|matriz identidad]] de orden | ||
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- | Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa: | + | ==Existencia de la matriz inversa== |
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+ | Las matrices que tienen inversa se llaman '''''regulares''''' y las que NO | ||
+ | tienen inversa, '''''singulares'''''. | ||
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+ | Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su [[Rango de una matriz|rango]] es n. | ||
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+ | Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su [[Definición de determinante|determinante]] es cero. | ||
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+ | <br/> | ||
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+ | ==Propiedades== | ||
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+ | Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes: | ||
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1. Si existe, | 1. Si existe, | ||
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- | A^{-1} | + | \mathbf{A}^{-1} |
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es única. | es única. | ||
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+ | es el inverso del determinante de su matriz inversa: | ||
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- | A = | + | \mathbf{A} = |
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- | I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow | + | I = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \Rightarrow |
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\right) | \right) | ||
\cdot | \cdot | ||
\left( | \left( | ||
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\left( | \left( | ||
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\right) | \right) | ||
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<math> | <math> | ||
\left( | \left( | ||
- | + | \begin{array}[c]{cc} | |
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- | + | \\ | |
- | + | 3a + 7c & 3b + 7d | |
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\right) | \right) | ||
= | = | ||
\left( | \left( | ||
- | + | \begin{array}[c]{cc} | |
- | + | 1 & 0 | |
- | + | \\ | |
- | + | 0 & 1 | |
- | + | \end{array} | |
\right) | \right) | ||
\Leftrightarrow | \Leftrightarrow | ||
\left\{ | \left\{ | ||
- | + | \begin{array}[c]{ccc} | |
- | + | a + 2c & = & 1 | |
- | + | \\ | |
- | + | 3a + 7c & = & 0 | |
- | + | \\ | |
- | + | b + 2d & = & 0 | |
- | + | \\ | |
- | + | 3b + 7d & = & 1 | |
- | + | \\ | |
- | + | \end{array} | |
\right. | \right. | ||
</math> | </math> | ||
Línea 186: | Línea 242: | ||
<math> | <math> | ||
\Rightarrow \left\{ | \Rightarrow \left\{ | ||
- | + | \begin{array}[c]{ccc} | |
- | + | a & = & 7 | |
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- | + | b & = & -2 | |
- | + | \\ | |
- | + | c & = & -3 | |
- | + | \\ | |
- | + | d & = & 1 | |
- | + | \\ | |
- | + | \end{array} | |
\right. | \right. | ||
</math> | </math> | ||
Línea 202: | Línea 258: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | === | + | ===Por el método de Gauss=== |
<br/> | <br/> | ||
Línea 208: | Línea 264: | ||
La inversa de una matriz regular | La inversa de una matriz regular | ||
<math> | <math> | ||
- | A | + | \mathbf{A} |
</math> | </math> | ||
- | se calcular transformando la matriz | + | se puede calcular transformando la matriz |
<math> | <math> | ||
\left( | \left( | ||
- | \, A \, \left| \, I \, \right. | + | \, \mathbf{A} \, \left| \, \mathbf{I} \, \right. |
\right) | \right) | ||
</math> | </math> | ||
- | mediante operaciones elementales | + | mediante operaciones elementales con las filas de la matriz |
<math> | <math> | ||
\left( | \left( | ||
- | \, I \, \left| \, A^{-1} \, \right. | + | \, \mathbf{I} \, \left| \, \mathbf{A}^{-1} \, \right. |
\right) | \right) | ||
</math> | </math> | ||
- | Las operaciones elementales | + | <br/> |
+ | |||
+ | ====Operaciones elementales con las filas de una matriz==== | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en | ||
+ | el metodo de Gauss son las siguientes: | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
1. Intercambiar las filas | 1. Intercambiar las filas | ||
<math> | <math> | ||
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y | y | ||
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- | | + | Esta operación la representaremos así |
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2. Multiplicar la fila | 2. Multiplicar la fila | ||
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+ | Esta operación la representamos de la | ||
+ | siguiente forma: | ||
- | + | <br/> | |
+ | |||
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+ | |||
+ | 3. Sumar las filas | ||
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+ | </math> | ||
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+ | </math>, | ||
+ | y sustituir | ||
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</math> | </math> | ||
+ | por el resultado de esta suma. Lo representamos así: | ||
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+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Notese que el segundo tipo de operación, | ||
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- | + | s \cdot F_i \longrightarrow F_i | |
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+ | | ||
+ | es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando | ||
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+ | <br/> | ||
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+ | ===Mediante la matriz adjunta=== | ||
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+ | La matriz inversa de una matriz regular | ||
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- | , | + | se puede calcular mediante la expresión: |
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- | | + | es la [[Matriz inversa#Mediante la matriz adjunta| matriz adjunta]] de |
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+ | La matriz cuyos elementos son los correspondientes [[Desarrollo de un determinante#Menores complementarios y adjuntos|adjuntos]] de los elementos de una matriz cuadrada | ||
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- | | + | se llama '''''matriz adjunta''''' de |
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+ | El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de la matriz adjunta de | ||
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+ | Los [[Desarrollo de un determinante#Menores complementarios y adjuntos|menores | ||
+ | complementarios]] de los elementos de la matriz | ||
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+ | El determinante de | ||
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+ | Por lo tanto, la matriz inversa de | ||
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+ | es | ||
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+ | <math> | ||
+ | \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left| \mathbf{A} \right|} \cdot | ||
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+ | \left( | ||
+ | \, \mathbf{A} \, | ||
+ | \right) | ||
+ | \right] | ||
+ | ^t = | ||
+ | \frac{1}{25} \cdot | ||
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+ | </center> | ||
+ | |||
+ | ==Ejercicios resueltos== | ||
+ | |||
+ | {{problemas}}* [http://www.selectividad.tv/S_M_4_1_2_S_producto_e_invertibilidad_de_matrices.html Producto e invertibilidad de matrices] | ||
+ | |||
+ | [[Category:Matemáticas]] |
Revisión actual
Tabla de contenidos |
Definición
La matriz inversa de una matriz cuadrada de orden es la matriz cuadrada tambien de orden que verifica:
donde es la matriz identidad de orden .
Existencia de la matriz inversa
Las matrices que tienen inversa se llaman regulares y las que NO tienen inversa, singulares.
Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su rango es n.
Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su determinante es cero.
Propiedades
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes:
1. Si existe, es única.
2.
3.
4. El determinante de una matriz regular es el inverso del determinante de su matriz inversa:
Cálculo de la matriz inversa
La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras:
Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales
Ejemplo
hacemos
como
Operando:
Por el método de Gauss
La inversa de una matriz regular se puede calcular transformando la matriz mediante operaciones elementales con las filas de la matriz
Operaciones elementales con las filas de una matriz
Las operaciones elementales con las filas de una matriz que podemos realizar en el metodo de Gauss son las siguientes:
1. Intercambiar las filas y . Esta operación la representaremos así
2. Multiplicar la fila por el número y sustituir por . Esta operación la representamos de la siguiente forma:
3. Sumar las filas y , multiplicadas por sendos números, y , y sustituir por el resultado de esta suma. Lo representamos así:
Notese que el segundo tipo de operación, , es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando .
Mediante la matriz adjunta
La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular mediante la expresión:
donde es la matriz adjunta de .
Definición de matriz adjunta
La matriz cuyos elementos son los correspondientes adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada se llama matriz adjunta de y se denota por . El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de la matriz adjunta de es , el adjunto del elemento de en su fila i-esima y columna j-esima .
Ejemplo
Los menores complementarios de los elementos de la matriz
son
Los adjuntos de los elementos de son:
La matriz adjunta de es
El determinante de lo podemos calcular desarrollando por la primera fila:
Por lo tanto, la matriz inversa de es
Ejercicios resueltos
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