Ángulo entre dos rectas
De Wikillerato
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- | \cos \left( \, \widehat{r,s} \, | + | \cos \left( \, \widehat{r,s} \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|}} |
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+ | El ángulo que forman las rectas | ||
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+ | \mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| | ||
+ | \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|} = \mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \left( \, | ||
+ | 1, \, -1, \, 2 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right) \, | ||
+ | \right|}{\sqrt{1^2 + \left( \, -1 \, \right)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{3^2 + 6^2 + | ||
+ | 3^2}} = \mathrm{arc} \cos \frac{1}{6} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
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Revisión actual
Ángulo entre dos rectas
El ángulo entre dos rectas
y
del espacio es el menor angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar
y
en un mismo plano paralelo a ambas rectas.
Las rectas se proyectan en un mismo plano porque, en general,
no tienen porque encontrarse en un mismo plano ( no tienen porque ser
coplanarias ).
Dos rectas en el plano forman dos angulos, uno menor, llamemoslos, por ejemplo,
,
y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de
,
.
El ángulo entre dos rectas
y
cuyos vectores directores son, respectivamente,
y
,
se puede calcular con la siguiente fórmula:
Calculando el arcocoseno del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se
obtiene el ángulo que forman las retas
y
.
Ejemplo
Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones
y
La recta
viene dada como la intersección de dos planos ( el plano
de ecuación
y el plano
de ecuación
).
Un vector director
de la recta
es el vector que multiplica al parametro
en su ecuación, es decir:
Podemos obtener un vector director
de la recta
multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano
por un vector perpendicular al plano
.
Un vector
perpendicular al plano
lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación del plano
:
De la misma forma obtenemos un vector
perpendicular al plano
:
El producto vectorial de ambos vectores,
y
es
El ángulo que forman las rectas
y
es, por tanto