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Ángulo entre dos rectas

De Wikillerato

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en un mismo plano paralelo a las dos rectas.
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en un mismo plano paralelo a ambas rectas.
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Las proyecciones de ambas rectas se encuentran en un mismo plano, mientras que
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Las rectas se proyectan en un mismo plano porque, en general,
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no tienen porque encontrarse en un mismo plano ( no tienen porque ser
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\alpha
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y otro mayor, que seria el suplementario de
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y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de
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180 - \alpha
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\mathbf{v}
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&nbsp; se puede calcular con la siguiente fórmula:
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\cos \left( \, \widehat{r,s} \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{u}, \,
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\cos \left( \, \widehat{r,s} \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|}}
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\mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|}}
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Calculando el arccos del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se
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obtiene el ángulo que forman las retas
obtiene el ángulo que forman las retas
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Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones
Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones
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La recta
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r
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viene dada como la intersección de dos planos ( el plano de ecuación &nbsp;
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0 = x - 2y + 3z
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Un vector director de la recta
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Podemos obtener un vector director de la recta
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multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano:
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multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano
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lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación del plano
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Un vector perpendicular al plano
 
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\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)
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lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuacion anterior:
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De la misma forma obtenemos un vector
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De la misma forma obtenemos un vector perpendicular al otro plano
 
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\mathbf{n^\prime} = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)
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\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)
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El producto vectorial de ambos vectores,
El producto vectorial de ambos vectores,
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\mathbf{n}
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\mathbf{n}_1
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y
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\mathbf{n}^\prime
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\mathbf{v} =
\left|
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\begin{array}{ccc}
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2 & -1 & 0
2 & -1 & 0
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-
\right| = \left( \, 3, \, -6, \, 3 \, \right)
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\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)
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donde la segunda fila es
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El ángulo que forman las rectas
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\mathbf{n}
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y la tercera es
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\mathbf{n}^\prime
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es, por tanto
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\mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right|
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\cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|} = \mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \left( \,
 +
1, \, -1, \, 2 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right) \,
 +
\right|}{\sqrt{1^2 + \left( \, -1 \, \right)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{3^2 + 6^2 +
 +
3^2}} = \mathrm{arc} \cos \frac{1}{6}
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[[Category:Matemáticas]]
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Revisión actual

Ángulo entre dos rectas


El ángulo entre dos rectas r y s del espacio es el menor angulo entre las rectas que se obtienen al proyectar r y s en un mismo plano paralelo a ambas rectas. Las rectas se proyectan en un mismo plano porque, en general, no tienen porque encontrarse en un mismo plano ( no tienen porque ser coplanarias ).


Dos rectas en el plano forman dos angulos, uno menor, llamemoslos, por ejemplo, \alpha , y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de \alpha ,   180 - \alpha .


Imagen:anguloRectas.png


El ángulo entre dos rectas r y s cuyos vectores directores son, respectivamente, \mathbf{u}   y   \mathbf{v} ,   se puede calcular con la siguiente fórmula:

\cos \left( \, \widehat{r,s} \, \right) = \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|}}

Calculando el arcocoseno del resultado obtenido aplicando la fórmula anterior se obtiene el ángulo que forman las retas r y s .


Ejemplo


Calculemos el ángulo entre las rectas de ecuaciones


r: \left\{ </p> <pre> \begin{array}{ll} 0 = & x - 2y + 3z \\ 0 = & 2x - y + 4 \end{array} </pre> <p>\right.

y

s: \left( \, x, \, y, \, z \, \right) = \left( \, 3, \, 2, \, -5 \, \right) + t \cdot \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)


La recta r viene dada como la intersección de dos planos ( el plano \pi_1 de ecuación   </p> <pre> 0 = x - 2y + 3z </pre> <p>   y el plano \pi_2 de ecuación   0 = 2x - y + 4 ).


Un vector director \mathbf{u} de la recta s es el vector que multiplica al parametro t en su ecuación, es decir:

\mathbf{u} = \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right)

Podemos obtener un vector director \mathbf{v} de la recta r multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano \pi_1 por un vector perpendicular al plano \pi_2 .

Un vector \mathbf{n}_1 perpendicular al plano \pi_1 lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación del plano \pi_1 :

\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)

De la misma forma obtenemos un vector \mathbf{n}_2 perpendicular al plano \pi_2 :

\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)

El producto vectorial de ambos vectores, \mathbf{n}_1 y \mathbf{n}_2 es

\mathbf{v} = \left| </p> <pre> \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)

El ángulo que forman las rectas r y s es, por tanto

\mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \, \right|}{\left| \, \mathbf{u} \, \right| </p> <pre> \cdot \left| \, \mathbf{v} \, \right|} = \mathrm{arc} \cos \frac{\left| \, \left( \, 1, \, -1, \, 2 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right) \, \right|}{\sqrt{1^2 + \left( \, -1 \, \right)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{3^2 + 6^2 + 3^2}} = \mathrm{arc} \cos \frac{1}{6} </pre> <p>

Obtenido de "http://wikillerato.org/%C3%81ngulo_entre_dos_rectas.html"
   
 
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