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Métodos de integración

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (01:30 14 nov 2012) (editar) (deshacer)
(→Introducción)
 
(69 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
 +
==Introducción==
 +
 +
<br/>
 +
 +
No todos los '''métodos de integración''' son adecuados para todas las [[Integral indefinida|integrales]]. La
 +
habilidad de ver cuál es el método de integración más idóneo para calcular una integral se
 +
adquiere resolviendo muchas integrales.
 +
 +
<br/>
==Integración por partes==
==Integración por partes==
Línea 89: Línea 98:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = \int \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime \mathrm{d}x - \int
+
\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = u \cdot v - \int
u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x
u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x
</math>
</math>
Línea 141: Línea 150:
</math>
</math>
</center>
</center>
-
Ambos miembros de la igualdad anterior son dos formas distintas de denotar la
 
-
derivada de la función
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>.
 
-
 
-
<br/>
 
Despejando &nbsp;
Despejando &nbsp;
Línea 187: Línea 189:
<math>
<math>
\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot
\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot
-
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g} \left(
+
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g}^\prime \left(
t \right) \cdot \mathrm{d}t
t \right) \cdot \mathrm{d}t
</math>
</math>
</center>
</center>
-
Supongamos que &nbsp;
+
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Integrando obtenemos una primitiva &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{G} \left( x \right)
+
\mathrm{g} \left( x \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; es una primitiva de
+
&nbsp; de
&nbsp;
&nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{g} \left( x \right)
+
\mathrm{g}^\prime \left( x \right)
-
</math>,
+
</math>.
-
entonces
+
 
<center>
<center>
<math>
<math>
\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot
\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot
-
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g} \left(
+
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g}^\prime \left(
-
t \right) \cdot \mathrm{d}t = \mathrm{G} \left( t \right) + C= \mathrm{G} \left(
+
t \right) \cdot \mathrm{d}t = \mathrm{g} \left( t \right) + C= \mathrm{g} \left(
-
\mathrm{f} \left( x \right)\right) + C
+
\, \mathrm{f} \left( x \right)\right) + C
</math>
</math>
</center>
</center>
-
Las igualdades anteriores resumen en que consiste el metodo de sustitución. La
+
Las igualdades anteriores resumen en que consiste el metodo de sustitución. El
-
utilidad de este método reside en encontrar con relativa facilidad una primitiva
+
método de sustitución es util en tanto en cuanto sea relativamente facil encontrar una primitiva
<math>
<math>
-
\mathrm{G}
+
\mathrm{g}
</math>
</math>
de
de
<math>
<math>
-
\mathrm{g}
+
\mathrm{g}^\prime
</math>.
</math>.
Línea 235: Línea 240:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\begin{array}{ll}
+
\begin{array}{rl}
-
\mathrm{g} \left( x \right) & = \cos \left( x \right)
+
\mathrm{g}^\prime \left( x \right) & = \mathrm{cos} \left( x \right)
\\
\\
-
\mathrm{f} \left( x \right) & = e^x
+
t = \mathrm{f} \left( x \right) & = e^x
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
Línea 245: Línea 250:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\begin{array}{ll}
+
\begin{array}{rcl}
-
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) & = e^x
+
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) & = & e^x \left( \, \Rightarrow \mathrm{d}t =
 +
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = e^x \cdot \mathrm{dx} \, \right)
\\
\\
-
\int e^x \cdot \cos \left( \, e^x \, \right) \cdot \mathrm{d}x & = \int
+
\int e^x \cdot \cos \left( \, e^x \, \right) \cdot \mathrm{d}x & = & \int
-
\mathrm{g} \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x
+
\mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
Línea 255: Línea 261:
En este caso, una primitiva de &nbsp;
En este caso, una primitiva de &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{g} \left( x \right)
+
\mathrm{g}^\prime \left( x \right)
</math>
</math>
&nbsp; es
&nbsp; es
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{G} \left( \, x \, \right) = \mathrm{sen} \left( \, x \, \right)
+
\mathrm{g} \left( \, x \, \right) = \mathrm{sen} \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 267: Línea 273:
<math>
<math>
\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot
\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot
-
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \infty \mathrm{g} \left(
+
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g}^\prime \left(
-
t \right) \cdot \mathrm{d}t = \mathrm{G} \left( t \right) + C= \mathrm{G} \left(
+
t \right) \cdot \mathrm{d}t = \mathrm{g} \left( t \right) + C= \mathrm{g} \left(
\mathrm{f} \left( x \right)\right) + C = \mathrm{sen} \left( e^x \right) + C
\mathrm{f} \left( x \right)\right) + C = \mathrm{sen} \left( e^x \right) + C
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
<br/>
 +
 +
==Integración de cocientes de polinomios==
 +
 +
<br/>
 +
 +
Sean &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; dos polinomios, entonces:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\frac{\mathrm{P} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)} =
 +
\mathrm{C} \left( \, x \, \right) + \frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)}
 +
</math>
 +
</center>
 +
donde &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{C} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; es un polinomio ( el cociente ) y &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{R} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; es otro polinomio ( el resto ) de grado menor al grado de
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
 +
</math>.
 +
 +
<br/>
 +
 +
Si el grado de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; es menor que el grado de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
 +
</math>,
 +
&nbsp; entonces &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{C} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; es cero y &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{R} \left( \, x \, \right) = \mathrm{P} \left( \, x \, \right)
 +
</math>.
 +
 +
<br/>
 +
 +
Como
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int \frac{\mathrm{P} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \,
 +
\right)} \cdot \mathrm{d}x =
 +
\int \mathrm{C} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x + \int \frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \,
 +
\right)} \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
nos podemos restringir al caso en el que el grado del polinomio divisor, &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
 +
</math>,
 +
&nbsp; es mayor que grado del polinomio dividendo,
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
 +
</math>.
 +
 +
<br/>
 +
 +
Para resolver este tipo de integrales lo primero que hay que hacer es
 +
[[La divisibilidad en los polinomios#Factorización de polinomios|factorizar]]
 +
el polinomio divisor&nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
 +
</math>.
 +
 +
<br/>
 +
 +
Al factorizar &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; lo podemos poner como un producto de polinomios de grado
 +
uno y/o de grado dos:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = \left( \, x - r_1 \, \right)^{k_1} \cdot
 +
\left( \, x - r_2 \, \right)^{k_2} \cdot \ldots \cdot \left( \, x - r_m \, \right)^{k_m} \cdot
 +
\mathrm{Q}_1 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{Q}_2 \left( \, x \, \right)
 +
\cdot \ldots \cdot \mathrm{Q}_n \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
donde
 +
<center>
 +
<math>
 +
r_1, \, r_2, \, \ldots, \, r_m
 +
</math>
 +
</center>
 +
son todas las raices reales de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; y
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{Q}_1 \left( \, x \, \right), \, \mathrm{Q}_2 \left( \, x \, \right), \,
 +
\ldots, \, \mathrm{Q}_n \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
son polinomios de grado dos irreducibles ( sin raices reales ).
 +
 +
<br/>
 +
 +
De esta forma
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\frac{\mathrm{P} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q}\left( \, x \, \right)} =
 +
\frac{A_{1,1}}{\left( \, x - r_1 \, \right)} \cdot \mathrm{d}x +
 +
\frac{A_{1,2}}{\left( \, x - r_1 \, \right)^2} \cdot \mathrm{d}x +
 +
\ldots + \frac{A_{1,k_1}}{\left( \, x - r_1 \, \right)^{k_1}} \cdot
 +
\mathrm{d}x +
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
 +
+ \frac{A_{2,1}}{\left( \, x - r_2 \, \right)} \cdot \mathrm{d}x +
 +
\frac{A_{2,2} \cdot x}{\left( \, x - r_2 \, \right)^2} \cdot \mathrm{d}x +
 +
\ldots + \frac{A_{2,k_2}}{\left( \, x - r_2 \, \right)^{k_2}} \cdot
 +
\mathrm{d}x + \ldots +
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
 +
+ \frac{A_{m,1}}{\left( \, x - r_m \, \right)} \cdot \mathrm{d}x +
 +
\frac{A_{m,2} \cdot x}{\left( \, x - r_m \, \right)^2} \cdot \mathrm{d}x +
 +
\ldots + \frac{A_{m,k_m}}{\left( \, x - r_m \, \right)^{k_m}} \cdot
 +
\mathrm{d}x
 +
+
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
 +
\frac{B_1 \cdot x + C_1}{\mathrm{Q}_1 \left( \, x \, \right)} +
 +
\frac{B_2 \cdot x + C_2}{\mathrm{Q}_2 \left( \, x \, \right)} +
 +
\ldots
 +
+
 +
\frac{B_n \cdot x + C_n}{\mathrm{Q}_n \left( \, x \, \right)}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Donde hemos seguido la siguiente notación:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<span
 +
style = 'color:#00aa00'>
 +
1
 +
</span>.
 +
&nbsp; <math>
 +
A_{i,j}
 +
</math>
 +
&nbsp; es la constante a la que divide &nbsp;
 +
<math>
 +
\left( \, x - r_i \, \right)^j
 +
</math>.
 +
 +
<br/>
 +
 +
<span
 +
style = 'color:#00aa00'>
 +
2
 +
</span>.
 +
&nbsp; &nbsp; <math>
 +
B_i \cdot x + C_i
 +
</math>
 +
&nbsp; es el polinomio de grado uno al que divide
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)
 +
</math>.
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
B_i
 +
</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
C_i
 +
</math>
 +
&nbsp; son constantes ( números reales que no dependen de
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
).
 +
 +
<br/>
 +
 +
Por lo tanto, la integral de &nbsp;
 +
<math>
 +
\frac{\mathrm{P}\left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)}
 +
</math>
 +
&nbsp; es la suma de las integrales de las fracciones mas simples en las que
 +
hemos descompuesto &nbsp;
 +
<math>
 +
\frac{\mathrm{P}\left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)}
 +
</math>.
 +
 +
<br/>
 +
 +
Estas integrales mas simples son casi inmediatas. Así
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int \frac{A_{i,j}}{\left( \, x - r_i \, \right)^j} \cdot \mathrm{d}x =
 +
\frac{A_{i,j}}{\left( \, 1 - j \, \right) \cdot \left( \, x - r_i \,
 +
\right)^\left( \, j - 1 \, \right)}
 +
</math>
 +
</center>
 +
Esta integral se puede resolver utilizando el cambio de variable&nbsp;
 +
<math>
 +
x - r_i \longrightarrow t
 +
</math>
 +
&nbsp; y la integral inmediata
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int t^{-j} \cdot \mathrm{d}t = \frac{t^{1 - j}}{1 - j} + cte.
 +
</math>
 +
</center>
 +
Por otra parte, la integral
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int \frac{B_i \cdot x + C_i}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)} \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
se resuelve descomponiendola
 +
en otras dos:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int \frac{B_i \cdot x + C_i}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)} \cdot
 +
\mathrm{d}x =
 +
\int \frac{B_i \cdot x}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)}
 +
\cdot \mathrm{d}x
 +
+ \int \frac{C_i}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)} \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
La primera de ellas se resuelve mediante el cambio de variable &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right) \longrightarrow t
 +
</math>:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int \frac{B_i \cdot x}{Q_i
 +
\left( \, x \, \right)} \cdot \mathrm{d}x
 +
= G_i \cdot \log \left| \, \mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)\right| + \mathrm{cte.}
 +
</math>
 +
</center>
 +
donde &nbsp;
 +
<math>
 +
G_i
 +
</math>
 +
&nbsp; es una constante.
 +
 +
<br/>
 +
 +
Para resolver la segunda integral ponemos el polinomio &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; de la forma:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right) = D_i \cdot
 +
\left(
 +
\left(
 +
\, \frac{x + E_i}{F_i} \,
 +
\right)^2
 +
+ 1 \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
y hacemos el cambio de variable &nbsp;
 +
<math>
 +
\frac{x + E_i}{F_i} \longrightarrow t
 +
</math>:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int \frac{C_i}{Q_i\left( \, x \, \right)} \cdot \mathrm{d}x =
 +
\int \frac{C_i}{D_i \cdot
 +
\left(
 +
\left(
 +
\, \frac{x + E_i}{F_i} \,
 +
\right)^2
 +
+ 1 \,
 +
\right)} \cdot \mathrm{d}x
 +
= \frac{C_i \cdot F_i}{D_i} \cdot \mathrm{arctan} \left( \,
 +
\frac{x + E_i}{F_i} \, \right) + \mathrm{cte.}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Ejemplo===
 +
 +
<br/>
 +
 +
Utilicemos el metodo que se acaba de describir para resolver la siguiente
 +
integral:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int \frac{x^5}{x^4 - x^3 - x + 1} \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Como el polinomio dividendo ( el polinomio en el numerador, &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{D} \left( \, x \, \right) = x^5
 +
</math>
 +
&nbsp; ) es de grado mayor que el polinomio divisor ( el polinomio en el
 +
denominador, &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{d}\left( \, x \, \right) = x^4 - x^3 - x + 1
 +
</math>
 +
&nbsp; ), lo primero que hacemos es dividir ambos polinomios para obtener el
 +
cociente &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{C} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; y el resto &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{R} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; de la división.
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\frac{D \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} =
 +
\mathrm{C} \left( \, x \, \right) + \frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \,
 +
x \, \right)}
 +
</math>
 +
</center>
 +
Al hacer la división obtenemos que
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}{rl}
 +
\mathrm{C} \left( \, x \, \right) & = x + 1
 +
\\
 +
\mathrm{R} \left( \, x \, \right) & = x^3 + x^2 - 1
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
</center>
 +
Por lo tanto
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int \frac{\mathrm{D} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)}
 +
\cdot \mathrm{d}x
 +
=
 +
\int \mathrm{C}\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x + \int
 +
\frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)}
 +
\cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
con
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int \mathrm{C}\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int
 +
x \cdot \mathrm{d}x + \int 1 \cdot \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} + x + \mathrm{cte.}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
Pasemos ahora a resolver la integral&nbsp;
 +
<math>
 +
\int
 +
\frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)}
 +
\cdot \mathrm{d}x
 +
</math>.
 +
 +
<br/>
 +
 +
Para ello, lo primero que hacemos es factorizar el polinomio &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{d} \left( \, x \, \right)
 +
</math>:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{d} \left( \, x \, \right) =
 +
\left(
 +
\, x^2 + x + 1 \,
 +
\right)
 +
\cdot
 +
\left(
 +
\, x - 1 \,
 +
\right)
 +
^2
 +
</math>
 +
</center>
 +
Con lo cual existen números reales &nbsp;
 +
<math>
 +
A, \, B
 +
</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
C
 +
</math>
 +
&nbsp; tales que:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} =
 +
\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{\left( \, x - 1 \, \right)^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + x + 1}
 +
</math>
 +
</center>
 +
A continuación calculamos los valores de &nbsp;
 +
<math>
 +
A, \, B
 +
</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
C
 +
</math>
 +
&nbsp; para que la igualdad anterior sea cierta:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{\left( \, x - 1 \, \right)^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + x + 1} =
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
 +
= \frac{A \cdot \left( \, x - 1 \, \right)\cdot \left( \, x^2 + x + 1 \,
 +
\right) + B \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right) + \left( \, Cx + D \,
 +
\right) \cdot \left( \, x-1 \,
 +
\right)^2}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} = \frac{\mathrm{R} \left( \, x
 +
\, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} \Rightarrow
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
 +
\Rightarrow A \cdot \left( \, x - 1 \, \right)\cdot \left( \, x^2 + x + 1 \,
 +
\right) + B\cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right) + \left( \, Cx + D \,
 +
\right) \cdot \left( \, x-1 \,
 +
\right)^2 = \mathrm{R} \left( \, x \,
 +
\right) \Rightarrow
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
 +
\Rightarrow A \cdot \left( \, x^3 - 1 \, \right) + B \cdot
 +
\left(
 +
\, x^2 + x + 1 \,
 +
\right)
 +
+ \left( \, Cx + D \, \right) \cdot ( x^2 - 2x + 1 ) = x^3 + x^2 - 1 \Rightarrow
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
 +
\Rightarrow \left( \, A + C \, \right) \cdot x^3 + \left( \, B - 2C + D \, \right) \cdot x^2 + \left( \,
 +
B + C - 2D \, \right) \cdot x + \left( \, -A + B + D \, \right) =
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
 +
= x^3 + x^2 - 1
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Dos polinomios son iguales si, y solo si, sus coeficientes y terminos independientes
 +
son iguales ( ambos polinomios tienen el mismo grado, digamos
 +
<math>
 +
m
 +
</math>,
 +
y el coeficiente de &nbsp;
 +
<math>
 +
x^n
 +
</math>
 +
&nbsp; en uno de los polinomios es el coeficiente de &nbsp;
 +
<math>
 +
x^n
 +
</math>
 +
&nbsp; en el otro polinomio, para &nbsp;
 +
<math>
 +
n = 0, \, 1, \, \ldots, \, m
 +
</math>
 +
&nbsp; ). Así, se tiene que:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left\{
 +
\begin{array}{rl}
 +
A + C & = 1
 +
\\
 +
B + D - 2C & = 1
 +
\\
 +
B + C - 2D & = 0
 +
\\
 +
-A + B + D & = -1
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
</math>
 +
</center>
 +
La solución de este [[Sistemas de ecuaciones lineales|sistema de ecuaciones]]
 +
es:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left\{
 +
\begin{array}{rl}
 +
A & = \frac{4}{3}
 +
\\
 +
B & = \frac{1}{3}
 +
\\
 +
C & = -\frac{1}{3}
 +
\\
 +
D & = 0
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
De este modo:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int \frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)}
 +
\cdot \mathrm{d}x = \frac{4}{3} \cdot \int \frac{\mathrm{d}x}{x - 1} +
 +
\frac{1}{3} \int\frac{\mathrm{d}x}{\left( \, x - 1 \, \right)^2} -
 +
\frac{1}{3} \cdot \int \frac{x \cdot \mathrm{d}x}{x^2 + x + 1}
 +
</math>
 +
</center>
 +
Las primeras dos integrales en el miembro de la derecha las podemos resolver con
 +
el cambio de variable &nbsp;
 +
<math>
 +
t = x - 1
 +
</math>:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}{rl}
 +
\int \frac{\mathrm{d}x}{x - 1} & = \int \frac{\mathrm{d}t}{t} = \mathrm{Ln} \left|
 +
\, t \, \right| + \mathrm{cte.} = \mathrm{Ln} \left| \, x - 1 \, \right| +
 +
\mathrm{cte.}
 +
\\
 +
\int \frac{\mathrm{d}x}{\left( \, x - 1 \, \right)^2} & = \int
 +
\frac{\mathrm{d}t}{t^2} = -\frac{1}{t} +
 +
\mathrm{cte.} = -\frac{1}{x - 1} + \mathrm{cte.}
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
</center>
 +
Para finalizar el ejemplo calculamos la última integral:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int \frac{x \cdot \mathrm{d}x}{x^2 + x + 1} =
 +
\int \frac{x \cdot \mathrm{d}x}{\left( \, x + \frac{1}{2} \, \right)^2 + 3 / 4}
 +
=
 +
\int \frac{4}{3} \cdot \frac{x \cdot \mathrm{d}x}{\left( \, \frac{2}{\sqrt{3}}
 +
\left( \, x + \frac{1}{2} \, \right) \right)^2 + 1} =
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
 +
= \frac{4}{3} \cdot \int \frac{ \left( \, \frac{3u}{4} -\frac{\sqrt{3}}{4} \,
 +
\right) \cdot \mathrm{d}u}{u^2 + 1} =
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
 +
= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2u \cdot \mathrm{d}u}{u^2 + 1} - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \int \frac{\mathrm{d}u}{u^2 + 1}
 +
= \frac{1}{2} \cdot \mathrm{Ln} \left( \, u^2 + 1 \, \right) -
 +
\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \mathrm{arctan} \left( \, u \, \right) + \mathrm{cte.}
 +
=
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
 +
\frac{1}{2} \cdot \mathrm{Ln} \left( \frac{4}{3} \cdot \left( \, x + \frac{1}{2} \, \right)^2 + 1 \, \right) -
 +
\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \mathrm{arctan} \left( \, \frac{2}{\sqrt{3}}
 +
\left(
 +
\, x + \frac{1}{2} \,
 +
\right) \right) + \mathrm{cte.}
 +
</math>
 +
</center>
 +
donde se ha utilizado el cambio de variable:
 +
<center>
 +
<math>
 +
u = \frac{2}{\sqrt{3}}
 +
\left(
 +
\, x + \frac{1}{2} \,
 +
\right)
 +
\left(
 +
\, \Rightarrow x \cdot \mathrm{d}x = \left( \, \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot u -
 +
\frac{1}{2} \, \right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \mathrm{d}u \,
 +
= \left( \, \frac{3}{4} \cdot u -
 +
\frac{\sqrt{3}}{4} \, \right) \cdot \mathrm{d}u \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
==Integrales de funciones trigonométricas==
 +
 +
<br/>
 +
 +
Para resolver este tipo de integrales se utilizan amenudo las igualdades que se estudian
 +
en trigonometría. Tambien se utilizan los cambios de variables &nbsp;
 +
<math>
 +
t = \mathrm{cos} \left( \, x \, \right)
 +
</math>,
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
t = \mathrm{sen} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; o &nbsp;
 +
<math>
 +
t = \mathrm{tan} \left( \, x \, \right)
 +
</math>.
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Ejemplo 1===
 +
 +
<br/>
 +
 +
Resolvamos la integral
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int \mathrm{sen}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{cos}^2 \left( \, x \,
 +
\right) \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
Para ello tenemos en cuenta que
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{sen} \left( \, 2x \, \right) = 2 \cdot \mathrm{sen} \left( \, x \,
 +
\right) \cdot \mathrm{cos} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
con lo cual
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int \mathrm{sen}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{cos}^2 \left( \, x \,
 +
\right) \cdot \mathrm{d}x =
 +
\frac{1}{4} \cdot \int \mathrm{sen}^2 \left( \, 2x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
Como
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{cos} \left( \, 2x \, \right) = \mathrm{cos}^2 \left( \, x \, \right) -
 +
\mathrm{sen}^2
 +
\left( \,x \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
y como
 +
<center>
 +
<math>
 +
1 = \mathrm{cos}^2 \left( \, x \, \right) + \mathrm{sen}^2 \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
Despejando &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{cos}^2 \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; de esta última igualdad y sustituyendolo en la anterior, se tiene que
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{cos} \left( \, 2x \, \right) = 1 - 2 \cdot \mathrm{sen}^2 \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
Sustituyendo en esta igualdad &nbsp;
 +
<math>
 +
x
 +
</math>
 +
&nbsp; por &nbsp;
 +
<math>
 +
2x
 +
</math>
 +
&nbsp; y despejando &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{sen}^2 \left( \, 2x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; se llega a que
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{sen}^2 \left( \, 2x \, \right) = \frac{1 - \mathrm{cos} \left( \, 4x \, \right)}{2}
 +
</math>
 +
</center>
 +
Así
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int \mathrm{sen}^2 \left( \, 2x \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
 +
\int \frac{1 - \mathrm{cos} \left( \, 4x \, \right)}{2} \mathrm{d}x =
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
 +
= \int \frac{\mathrm{d}x}{2} - \frac{1}{2} \int \mathrm{cos} \left( \, 4x \, \right) \cdot \mathrm{d}x =
 +
\frac{x}{2} - \frac{\mathrm{sen} \left( \, 4x \, \right)}{8} + \mathrm{cte.}
 +
</math>
 +
</center>
 +
La última integral se calcula con el cambio de variable&nbsp;
 +
<math>
 +
u = 4x
 +
</math>.
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Ejemplo 2===
 +
 +
<br/>
 +
 +
Resolvamos ahora la siguiente integral:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{cos}^3 \left( \, x \,
 +
\right)} \cdot \mathrm{d}x
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
mediante el cambio de variable
 +
<center>
 +
<math>
 +
t = \mathrm{tan} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
Definiendo
 +
<math>
 +
t
 +
</math>
 +
de esta manera resulta que
 +
<center>
 +
<math>
 +
\int \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{cos}^3 \left( \, x \,
 +
\right)} \cdot \mathrm{d}x =
 +
\int t \cdot \mathrm{d}t = \frac{t^2}{2} + C = \frac{\mathrm{tan}^2 \left( \, x \, \right)}{2} + C
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
ya que
 +
<center>
 +
<math>
 +
t = \mathrm{tan} \left( \, x \, \right) \Rightarrow
 +
\left\{
 +
\begin{array}{l}
 +
t = \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{cos} \left( \, x \,
 +
\right)}
 +
\\
 +
\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{\mathrm{cos}^2 \left( \, x \, \right)}
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
[[Category: Matemáticas]]
[[Category: Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Introducción


No todos los métodos de integración son adecuados para todas las integrales. La habilidad de ver cuál es el método de integración más idóneo para calcular una integral se adquiere resolviendo muchas integrales.


Integración por partes


La fórmula para la derivada de un producto es:

\left( \, u \cdot v \, \right)^\prime = u^\prime \cdot v + u \cdot v^\prime

Despejando el último sumando, queda:

u \cdot v^\prime = \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime - u^\prime \cdot v

Si integramos en los dos miembros, se obtiene:

\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = \int \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime \mathrm{d}x - \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x = u \cdot v - \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x

La última igualdad es cierta porque una primitiva de la derivada de una función es esa misma función.


Esta fórmula permite calcular la integral   \int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x   a partir de la integral   \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x .


Para que sea de utilidad el utilizar este metodo es necesario que nos resulte mas sencilla de resolver la integral   \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x   que la integral de partida,   \int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x .


Ejemplo


Calculemos la integral

\int x \cdot e^x \cdot \mathrm{d}x

por partes.


Si hacemos

\begin{array}{ll} </p> <pre> u \left( \, x \, \right) & = x \\ v^\prime \left( \, x \, \right) & = e^x </pre> <p>\end{array}

se tiene que

\begin{array}{ll} </p> <pre> u^\prime \left( \, x \, \right) & = 1 \\ v \left( \, x \, \right) & = e^x </pre> <p>\end{array}

Utilizando la fórmula que hemos visto antes

\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = u \cdot v - \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x

se deduce que

\int x \cdot e^x \cdot \mathrm{d}x = x \cdot e^x - \int 1 \cdot e^x \cdot\mathrm{d}x = x \cdot e^x - e^x + C = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot e^x + C


Método de sustitución


Supongamos que queremos resolver una integral del tipo:

\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x

Una manera de resolver un problema de este tipo es haciendo el cambio de variable

t = \mathrm{f} \left( x \right)

La nueva variable t es una función de x , con lo cual podemos hablar de la derivada de t con respecto de x , que se puede escribir como un cociente de diferenciales:

\mathrm{f}^\prime \left( x \right) = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}

Despejando   \mathrm{d}t   en la igualdad anterior, se deduce que

\mathrm{d}t = \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x

Sustituyendo   \mathrm{d}t   por   \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x   y   \mathrm{f} \left( x \right)   por t en

\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x

se tiene que

\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g}^\prime \left( </p> <pre> t \right) \cdot \mathrm{d}t </pre> <p>


Integrando obtenemos una primitiva   \mathrm{g} \left( x \right)   de   \mathrm{g}^\prime \left( x \right) .

\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g}^\prime \left( </p> <pre> t \right) \cdot \mathrm{d}t = \mathrm{g} \left( t \right) + C= \mathrm{g} \left( \, \mathrm{f} \left( x \right)\right) + C </pre> <p>

Las igualdades anteriores resumen en que consiste el metodo de sustitución. El método de sustitución es util en tanto en cuanto sea relativamente facil encontrar una primitiva \mathrm{g} de \mathrm{g}^\prime .


Ejemplo


Calculemos mediante el método de sustitución la integral

\int e^x \cdot \cos \left( \, e^x \, \right) \cdot \mathrm{d}x

Para ello utilizamos las formulas dadas en la descripción del metodo de sustitución con

\begin{array}{rl} </p> <pre> \mathrm{g}^\prime \left( x \right) & = \mathrm{cos} \left( x \right) \\ t = \mathrm{f} \left( x \right) & = e^x </pre> <p>\end{array}

Observese que

\begin{array}{rcl} </p> <pre> \mathrm{f}^\prime \left( x \right) & = & e^x \left( \, \Rightarrow \mathrm{d}t = \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = e^x \cdot \mathrm{dx} \, \right) \\ \int e^x \cdot \cos \left( \, e^x \, \right) \cdot \mathrm{d}x & = & \int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> <p>\end{array}

En este caso, una primitiva de   \mathrm{g}^\prime \left( x \right)   es

\mathrm{g} \left( \, x \, \right) = \mathrm{sen} \left( \, x \, \right)

Por lo tanto

\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g}^\prime \left( </p> <pre> t \right) \cdot \mathrm{d}t = \mathrm{g} \left( t \right) + C= \mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( x \right)\right) + C = \mathrm{sen} \left( e^x \right) + C </pre> <p>


Integración de cocientes de polinomios


Sean   \mathrm{P} \left( \, x \, \right)   y   \mathrm{Q} \left( \, x \, \right)   dos polinomios, entonces:

\frac{\mathrm{P} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)} = \mathrm{C} \left( \, x \, \right) + \frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)}

donde   \mathrm{C} \left( \, x \, \right)   es un polinomio ( el cociente ) y   \mathrm{R} \left( \, x \, \right)   es otro polinomio ( el resto ) de grado menor al grado de   \mathrm{P} \left( \, x \, \right) .


Si el grado de   \mathrm{P} \left( \, x \, \right)   es menor que el grado de   \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) ,   entonces   \mathrm{C} \left( \, x \, \right)   es cero y   \mathrm{R} \left( \, x \, \right) = \mathrm{P} \left( \, x \, \right) .


Como

\int \frac{\mathrm{P} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, </p> <pre> \right)} \cdot \mathrm{d}x = </pre> <p>\int \mathrm{C} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x + \int \frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, </p> <pre> \right)} \cdot \mathrm{d}x </pre> <p>

nos podemos restringir al caso en el que el grado del polinomio divisor,   \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) ,   es mayor que grado del polinomio dividendo,   \mathrm{P} \left( \, x \, \right) .


Para resolver este tipo de integrales lo primero que hay que hacer es factorizar el polinomio divisor  \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) .


Al factorizar   \mathrm{Q} \left( \, x \, \right)   lo podemos poner como un producto de polinomios de grado uno y/o de grado dos:

\mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = \left( \, x - r_1 \, \right)^{k_1} \cdot \left( \, x - r_2 \, \right)^{k_2} \cdot \ldots \cdot \left( \, x - r_m \, \right)^{k_m} \cdot \mathrm{Q}_1 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{Q}_2 \left( \, x \, \right) \cdot \ldots \cdot \mathrm{Q}_n \left( \, x \, \right)

donde

r_1, \, r_2, \, \ldots, \, r_m

son todas las raices reales de   \mathrm{Q} \left( \, x \, \right)   y

\mathrm{Q}_1 \left( \, x \, \right), \, \mathrm{Q}_2 \left( \, x \, \right), \, \ldots, \, \mathrm{Q}_n \left( \, x \, \right)

son polinomios de grado dos irreducibles ( sin raices reales ).


De esta forma


\frac{\mathrm{P} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q}\left( \, x \, \right)} = \frac{A_{1,1}}{\left( \, x - r_1 \, \right)} \cdot \mathrm{d}x + \frac{A_{1,2}}{\left( \, x - r_1 \, \right)^2} \cdot \mathrm{d}x + \ldots + \frac{A_{1,k_1}}{\left( \, x - r_1 \, \right)^{k_1}} \cdot \mathrm{d}x +

+ \frac{A_{2,1}}{\left( \, x - r_2 \, \right)} \cdot \mathrm{d}x + \frac{A_{2,2} \cdot x}{\left( \, x - r_2 \, \right)^2} \cdot \mathrm{d}x + \ldots + \frac{A_{2,k_2}}{\left( \, x - r_2 \, \right)^{k_2}} \cdot \mathrm{d}x + \ldots +

+ \frac{A_{m,1}}{\left( \, x - r_m \, \right)} \cdot \mathrm{d}x + \frac{A_{m,2} \cdot x}{\left( \, x - r_m \, \right)^2} \cdot \mathrm{d}x + \ldots + \frac{A_{m,k_m}}{\left( \, x - r_m \, \right)^{k_m}} \cdot \mathrm{d}x +

\frac{B_1 \cdot x + C_1}{\mathrm{Q}_1 \left( \, x \, \right)} + \frac{B_2 \cdot x + C_2}{\mathrm{Q}_2 \left( \, x \, \right)} + \ldots + \frac{B_n \cdot x + C_n}{\mathrm{Q}_n \left( \, x \, \right)}


Donde hemos seguido la siguiente notación:


1 .   A_{i,j}   es la constante a la que divide   \left( \, x - r_i \, \right)^j .


2 .     B_i \cdot x + C_i   es el polinomio de grado uno al que divide   \mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right) .   B_i   y   C_i   son constantes ( números reales que no dependen de x ).


Por lo tanto, la integral de   \frac{\mathrm{P}\left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)}   es la suma de las integrales de las fracciones mas simples en las que hemos descompuesto   \frac{\mathrm{P}\left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)} .


Estas integrales mas simples son casi inmediatas. Así

\int \frac{A_{i,j}}{\left( \, x - r_i \, \right)^j} \cdot \mathrm{d}x = \frac{A_{i,j}}{\left( \, 1 - j \, \right) \cdot \left( \, x - r_i \, </p> <pre> \right)^\left( \, j - 1 \, \right)} </pre> <p>

Esta integral se puede resolver utilizando el cambio de variable  x - r_i \longrightarrow t   y la integral inmediata

\int t^{-j} \cdot \mathrm{d}t = \frac{t^{1 - j}}{1 - j} + cte.

Por otra parte, la integral

\int \frac{B_i \cdot x + C_i}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)} \cdot \mathrm{d}x

se resuelve descomponiendola en otras dos:

\int \frac{B_i \cdot x + C_i}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)} \cdot \mathrm{d}x = \int \frac{B_i \cdot x}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)} \cdot \mathrm{d}x + \int \frac{C_i}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)} \cdot \mathrm{d}x

La primera de ellas se resuelve mediante el cambio de variable   \mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right) \longrightarrow t :

\int \frac{B_i \cdot x}{Q_i </p> <pre> \left( \, x \, \right)} \cdot \mathrm{d}x </pre> <p>= G_i \cdot \log \left| \, \mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)\right| + \mathrm{cte.}

donde   G_i   es una constante.


Para resolver la segunda integral ponemos el polinomio   \mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)   de la forma:

\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right) = D_i \cdot \left( </p> <pre> \left( \, \frac{x + E_i}{F_i} \, \right)^2 + 1 \, </pre> <p>\right)

y hacemos el cambio de variable   \frac{x + E_i}{F_i} \longrightarrow t :

\int \frac{C_i}{Q_i\left( \, x \, \right)} \cdot \mathrm{d}x = \int \frac{C_i}{D_i \cdot </p> <pre> \left( \left( \, \frac{x + E_i}{F_i} \, \right)^2 + 1 \, \right)} \cdot \mathrm{d}x </pre> <p>= \frac{C_i \cdot F_i}{D_i} \cdot \mathrm{arctan} \left( \, </p> <pre> \frac{x + E_i}{F_i} \, \right) + \mathrm{cte.} </pre> <p>


Ejemplo


Utilicemos el metodo que se acaba de describir para resolver la siguiente integral:


\int \frac{x^5}{x^4 - x^3 - x + 1} \cdot \mathrm{d}x


Como el polinomio dividendo ( el polinomio en el numerador,   \mathrm{D} \left( \, x \, \right) = x^5   ) es de grado mayor que el polinomio divisor ( el polinomio en el denominador,   \mathrm{d}\left( \, x \, \right) = x^4 - x^3 - x + 1   ), lo primero que hacemos es dividir ambos polinomios para obtener el cociente   \mathrm{C} \left( \, x \, \right)   y el resto   \mathrm{R} \left( \, x \, \right)   de la división.


\frac{D \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} = \mathrm{C} \left( \, x \, \right) + \frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, </p> <pre> x \, \right)} </pre> <p>

Al hacer la división obtenemos que

\begin{array}{rl} </p> <pre> \mathrm{C} \left( \, x \, \right) & = x + 1 \\ \mathrm{R} \left( \, x \, \right) & = x^3 + x^2 - 1 </pre> <p>\end{array}

Por lo tanto

\int \frac{\mathrm{D} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{C}\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x + \int \frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} \cdot \mathrm{d}x

con

\int \mathrm{C}\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int x \cdot \mathrm{d}x + \int 1 \cdot \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} + x + \mathrm{cte.}

Pasemos ahora a resolver la integral  \int \frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} \cdot \mathrm{d}x .


Para ello, lo primero que hacemos es factorizar el polinomio   \mathrm{d} \left( \, x \, \right) :

\mathrm{d} \left( \, x \, \right) = \left( </p> <pre> \, x^2 + x + 1 \, </pre> <p>\right) \cdot \left( </p> <pre> \, x - 1 \, </pre> <p>\right) ^2

Con lo cual existen números reales   A, \, B   y   C   tales que:

\frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{\left( \, x - 1 \, \right)^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + x + 1}

A continuación calculamos los valores de   A, \, B   y   C   para que la igualdad anterior sea cierta:

\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{\left( \, x - 1 \, \right)^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + x + 1} =

</p> <pre>= \frac{A \cdot \left( \, x - 1 \, \right)\cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right) + B \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right) + \left( \, Cx + D \, \right) \cdot \left( \, x-1 \, \right)^2}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} = \frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} \Rightarrow </pre> <p>

\Rightarrow A \cdot \left( \, x - 1 \, \right)\cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, </p> <pre> \right) + B\cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right) + \left( \, Cx + D \, \right) \cdot \left( \, x-1 \, \right)^2 = \mathrm{R} \left( \, x \, \right) \Rightarrow </pre> <p>

\Rightarrow A \cdot \left( \, x^3 - 1 \, \right) + B \cdot \left( </p> <pre> \, x^2 + x + 1 \, </pre> <p>\right) </p> <pre>+ \left( \, Cx + D \, \right) \cdot ( x^2 - 2x + 1 ) = x^3 + x^2 - 1 \Rightarrow </pre> <p>

\Rightarrow \left( \, A + C \, \right) \cdot x^3 + \left( \, B - 2C + D \, \right) \cdot x^2 + \left( \, </p> <pre> B + C - 2D \, \right) \cdot x + \left( \, -A + B + D \, \right) = </pre> <p>

</p> <pre>= x^3 + x^2 - 1 </pre> <p>


Dos polinomios son iguales si, y solo si, sus coeficientes y terminos independientes son iguales ( ambos polinomios tienen el mismo grado, digamos m , y el coeficiente de   x^n   en uno de los polinomios es el coeficiente de   x^n   en el otro polinomio, para   n = 0, \, 1, \, \ldots, \, m   ). Así, se tiene que:

\left\{ </p> <pre> \begin{array}{rl} A + C & = 1 \\ B + D - 2C & = 1 \\ B + C - 2D & = 0 \\ -A + B + D & = -1 \end{array} </pre> <p>\right.

La solución de este sistema de ecuaciones es:

\left\{ </p> <pre> \begin{array}{rl} A & = \frac{4}{3} \\ B & = \frac{1}{3} \\ C & = -\frac{1}{3} \\ D & = 0 \end{array} </pre> <p>\right.


De este modo:

\int \frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} \cdot \mathrm{d}x = \frac{4}{3} \cdot \int \frac{\mathrm{d}x}{x - 1} + \frac{1}{3} \int\frac{\mathrm{d}x}{\left( \, x - 1 \, \right)^2} - \frac{1}{3} \cdot \int \frac{x \cdot \mathrm{d}x}{x^2 + x + 1}

Las primeras dos integrales en el miembro de la derecha las podemos resolver con el cambio de variable   t = x - 1 :

\begin{array}{rl} \int \frac{\mathrm{d}x}{x - 1} & = \int \frac{\mathrm{d}t}{t} = \mathrm{Ln} \left| </p> <pre> \, t \, \right| + \mathrm{cte.} = \mathrm{Ln} \left| \, x - 1 \, \right| + </pre> <p>\mathrm{cte.} \\ \int \frac{\mathrm{d}x}{\left( \, x - 1 \, \right)^2} & = \int \frac{\mathrm{d}t}{t^2} = -\frac{1}{t} + \mathrm{cte.} = -\frac{1}{x - 1} + \mathrm{cte.} \end{array}

Para finalizar el ejemplo calculamos la última integral:

\int \frac{x \cdot \mathrm{d}x}{x^2 + x + 1} = \int \frac{x \cdot \mathrm{d}x}{\left( \, x + \frac{1}{2} \, \right)^2 + 3 / 4} = \int \frac{4}{3} \cdot \frac{x \cdot \mathrm{d}x}{\left( \, \frac{2}{\sqrt{3}} </p> <pre> \left( \, x + \frac{1}{2} \, \right) \right)^2 + 1} = </pre> <p>

= \frac{4}{3} \cdot \int \frac{ \left( \, \frac{3u}{4} -\frac{\sqrt{3}}{4} \, \right) \cdot \mathrm{d}u}{u^2 + 1} =

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2u \cdot \mathrm{d}u}{u^2 + 1} - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \int \frac{\mathrm{d}u}{u^2 + 1} </p> <pre>= \frac{1}{2} \cdot \mathrm{Ln} \left( \, u^2 + 1 \, \right) - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \mathrm{arctan} \left( \, u \, \right) + \mathrm{cte.} = </pre> <p>

\frac{1}{2} \cdot \mathrm{Ln} \left( \frac{4}{3} \cdot \left( \, x + \frac{1}{2} \, \right)^2 + 1 \, \right) - </p> <pre>\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \mathrm{arctan} \left( \, \frac{2}{\sqrt{3}} </pre> <p>\left( </p> <pre> \, x + \frac{1}{2} \, </pre> <p>\right) \right) + \mathrm{cte.}

donde se ha utilizado el cambio de variable:

u = \frac{2}{\sqrt{3}} \left( </p> <pre> \, x + \frac{1}{2} \, </pre> <p>\right) \left( </p> <pre> \, \Rightarrow x \cdot \mathrm{d}x = \left( \, \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot u - \frac{1}{2} \, \right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \mathrm{d}u \, </pre> <p>= \left( \, \frac{3}{4} \cdot u - </p> <pre> \frac{\sqrt{3}}{4} \, \right) \cdot \mathrm{d}u \, </pre> <p>\right)


Integrales de funciones trigonométricas


Para resolver este tipo de integrales se utilizan amenudo las igualdades que se estudian en trigonometría. Tambien se utilizan los cambios de variables   t = \mathrm{cos} \left( \, x \, \right) ,   t = \mathrm{sen} \left( \, x \, \right)   o   t = \mathrm{tan} \left( \, x \, \right) .


Ejemplo 1


Resolvamos la integral

\int \mathrm{sen}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{cos}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x

Para ello tenemos en cuenta que

\mathrm{sen} \left( \, 2x \, \right) = 2 \cdot \mathrm{sen} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{cos} \left( \, x \, \right)

con lo cual

\int \mathrm{sen}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{cos}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \frac{1}{4} \cdot \int \mathrm{sen}^2 \left( \, 2x \, \right) \cdot \mathrm{d}x

Como

\mathrm{cos} \left( \, 2x \, \right) = \mathrm{cos}^2 \left( \, x \, \right) - \mathrm{sen}^2 \left( \,x \, \right)

y como

1 = \mathrm{cos}^2 \left( \, x \, \right) + \mathrm{sen}^2 \left( \, x \, \right)

Despejando   \mathrm{cos}^2 \left( \, x \, \right)   de esta última igualdad y sustituyendolo en la anterior, se tiene que

\mathrm{cos} \left( \, 2x \, \right) = 1 - 2 \cdot \mathrm{sen}^2 \left( \, x \, \right)

Sustituyendo en esta igualdad   x   por   2x   y despejando   \mathrm{sen}^2 \left( \, 2x \, \right)   se llega a que

\mathrm{sen}^2 \left( \, 2x \, \right) = \frac{1 - \mathrm{cos} \left( \, 4x \, \right)}{2}

Así

\int \mathrm{sen}^2 \left( \, 2x \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \frac{1 - \mathrm{cos} \left( \, 4x \, \right)}{2} \mathrm{d}x =

= \int \frac{\mathrm{d}x}{2} - \frac{1}{2} \int \mathrm{cos} \left( \, 4x \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \frac{x}{2} - \frac{\mathrm{sen} \left( \, 4x \, \right)}{8} + \mathrm{cte.}

La última integral se calcula con el cambio de variable  u = 4x .


Ejemplo 2


Resolvamos ahora la siguiente integral:

\int \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{cos}^3 \left( \, x \, </p> <pre> \right)} \cdot \mathrm{d}x </pre> <p>

mediante el cambio de variable

t = \mathrm{tan} \left( \, x \, \right)

Definiendo t de esta manera resulta que

\int \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{cos}^3 \left( \, x \, </p> <pre> \right)} \cdot \mathrm{d}x = </pre> <p>\int t \cdot \mathrm{d}t = \frac{t^2}{2} + C = \frac{\mathrm{tan}^2 \left( \, x \, \right)}{2} + C


ya que

t = \mathrm{tan} \left( \, x \, \right) \Rightarrow \left\{ </p> <pre> \begin{array}{l} t = \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{cos} \left( \, x \, \right)} \\ \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{\mathrm{cos}^2 \left( \, x \, \right)} \end{array} </pre> <p>\right.


Obtenido de "http://wikillerato.org/M%C3%A9todos_de_integraci%C3%B3n.html"
   
 
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