Parábola

De Wikillerato

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Tabla de contenidos

1 Definición
2 Ecuación
3 Ejemplo
4 Referencias

Definición

Llamamos lugar geometrico al conjunto de puntos que satisfacen una determinada propiedad.

Llamamos parábola al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo $F$ y de una recta fija $d$ .

Veamos cuales son los elementos de la parábola:

1. El punto $F$ se denomina foco y la recta $d$ es la directriz de la parábola.

2. La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se llama eje de la parábola. En la figura de arriba el eje de la parábola coincide con el eje $ <pre>Y </pre> $ .

3. El punto en el que el eje corta a la parábola recibe el nombre de vértice. ( $V$ en la figura de arriba )

4. Se denomina parámetro, $p$ , a la distancia del foco a la directriz.

Ecuación

La condición:

"los puntos de la parábola equidistan de $F$ y de $d$ ."

se puede expresar matematicamente de la siguiente forma:

$\sqrt { <pre> x^2 \, + \, \left( \, y \, - \, \frac{p}{2} \, \right) ^2 </pre> } \, = \, y \, + \, \frac{p}{2}$

donde el miembro de la izquierda es la distancia de un punto $P \, = \, \left( <pre> \, x, \, y \, </pre> \right)$ a $F$ y el miembro de la derecha es la distancia de $P$ a $d$ .

Elevando al cuadrado y agrupando terminos semejantes, obtenemos:

$x^ 2 \, = \, 4py\$

Así, podemos generalizar esta ecuación para parábolas no solo verticales sino también horizontales y cuyo vertice no se encuentre en el origen (0,0). La ecuación para una parábola vertical es $\left(\, x\, -\, h\, )\,^2 \, =\, 4p\, (\, y\, -\, k\,)$
Esta parábola tiene su vertice en el punto (h,k) y es concava hacia arriba si p>0 y es hacia abajo si p<0.
Para obtener la ecuación de una parabola horizontal, como es de esperarse, se intercambian en la ecuación anterior los lugares de "x" y de "y". Es como si giraramos el plano cartesiano 90º. De esta forma la parabola abre hacia la derecha si p>0 y hacia la izquierda si p<0.

Ejemplo

$y^2 \, = \, 4x$

es la ecuación de una parábola cuyo eje es el eje $X$ y cuya directriz es la recta de ecuación: $x \, = \, -1$ . Su foco es el punto $F \, = \, \left( <pre> \, 1, \, 0 \, </pre> \right)$ .