Métodos de integración
De Wikillerato
(→Introducción) |
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- | |||
==Introducción== | ==Introducción== | ||
<br/> | <br/> | ||
- | No todos los métodos de integración | + | No todos los '''métodos de integración''' son adecuados para todas las [[Integral indefinida|integrales]]. La |
- | habilidad de ver | + | habilidad de ver cuál es el método de integración más idóneo para calcular una integral se |
adquiere resolviendo muchas integrales. | adquiere resolviendo muchas integrales. | ||
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<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = | + | \int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = u \cdot v - \int |
u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x | u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x | ||
</math> | </math> | ||
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<math> | <math> | ||
\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot | \int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot | ||
- | \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g} \left( | + | \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g}^\prime \left( |
t \right) \cdot \mathrm{d}t | t \right) \cdot \mathrm{d}t | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
- | + | ||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Integrando obtenemos una primitiva | ||
<math> | <math> | ||
- | \mathrm{ | + | \mathrm{g} \left( x \right) |
</math> | </math> | ||
- | | + | de |
| | ||
<math> | <math> | ||
- | \mathrm{g} \left( x \right) | + | \mathrm{g}^\prime \left( x \right) |
- | </math> | + | </math>. |
- | + | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot | \int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot | ||
- | \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g} \left( | + | \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g}^\prime \left( |
- | t \right) \cdot \mathrm{d}t = \mathrm{ | + | t \right) \cdot \mathrm{d}t = \mathrm{g} \left( t \right) + C= \mathrm{g} \left( |
- | \mathrm{f} \left( x \right)\right) + C | + | \, \mathrm{f} \left( x \right)\right) + C |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 215: | Línea 217: | ||
método de sustitución es util en tanto en cuanto sea relativamente facil encontrar una primitiva | método de sustitución es util en tanto en cuanto sea relativamente facil encontrar una primitiva | ||
<math> | <math> | ||
- | \mathrm{ | + | \mathrm{g} |
</math> | </math> | ||
de | de | ||
<math> | <math> | ||
- | \mathrm{g} | + | \mathrm{g}^\prime |
</math>. | </math>. | ||
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<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \begin{array}{ | + | \begin{array}{rl} |
- | \mathrm{g} \left( x \right) & = \cos \left( x \right) | + | \mathrm{g}^\prime \left( x \right) & = \mathrm{cos} \left( x \right) |
\\ | \\ | ||
- | \mathrm{f} \left( x \right) & = e^x | + | t = \mathrm{f} \left( x \right) & = e^x |
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
Línea 248: | Línea 250: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \begin{array}{ | + | \begin{array}{rcl} |
- | \mathrm{f}^\prime \left( x \right) & = e^x | + | \mathrm{f}^\prime \left( x \right) & = & e^x \left( \, \Rightarrow \mathrm{d}t = |
+ | \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = e^x \cdot \mathrm{dx} \, \right) | ||
\\ | \\ | ||
- | \int e^x \cdot \cos \left( \, e^x \, \right) \cdot \mathrm{d}x & = | + | \int e^x \cdot \cos \left( \, e^x \, \right) \cdot \mathrm{d}x & = & \int |
- | \mathrm{g} \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x | + | \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x |
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
Línea 258: | Línea 261: | ||
En este caso, una primitiva de | En este caso, una primitiva de | ||
<math> | <math> | ||
- | \mathrm{g} \left( x \right) | + | \mathrm{g}^\prime \left( x \right) |
</math> | </math> | ||
es | es | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \mathrm{ | + | \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = \mathrm{sen} \left( \, x \, \right) |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 270: | Línea 273: | ||
<math> | <math> | ||
\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot | \int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot | ||
- | \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g} \left( | + | \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \int \mathrm{g}^\prime \left( |
- | t \right) \cdot \mathrm{d}t = \mathrm{ | + | t \right) \cdot \mathrm{d}t = \mathrm{g} \left( t \right) + C= \mathrm{g} \left( |
\mathrm{f} \left( x \right)\right) + C = \mathrm{sen} \left( e^x \right) + C | \mathrm{f} \left( x \right)\right) + C = \mathrm{sen} \left( e^x \right) + C | ||
</math> | </math> | ||
Línea 278: | Línea 281: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | ==Integración de cocientes de | + | ==Integración de cocientes de polinomios== |
<br/> | <br/> | ||
Línea 305: | Línea 308: | ||
\mathrm{R} \left( \, x \, \right) | \mathrm{R} \left( \, x \, \right) | ||
</math> | </math> | ||
- | es otro polinomio ( el resto ) de grado menor | + | es otro polinomio ( el resto ) de grado menor al grado de |
| | ||
<math> | <math> | ||
Línea 341: | Línea 344: | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
- | nos podemos restringir al caso en el que el grado del polinomio divisor | + | nos podemos restringir al caso en el que el grado del polinomio divisor, |
<math> | <math> | ||
- | + | \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) | |
- | </math> | + | </math>, |
- | es mayor que grado del polinomio | + | es mayor que grado del polinomio dividendo, |
| | ||
<math> | <math> | ||
- | + | \mathrm{P} \left( \, x \, \right) | |
</math>. | </math>. | ||
Línea 354: | Línea 357: | ||
Para resolver este tipo de integrales lo primero que hay que hacer es | Para resolver este tipo de integrales lo primero que hay que hacer es | ||
- | [[Factorización de polinomios|factorizar]] | + | [[La divisibilidad en los polinomios#Factorización de polinomios|factorizar]] |
el polinomio divisor | el polinomio divisor | ||
<math> | <math> | ||
Línea 362: | Línea 365: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | Al factorizar | |
<math> | <math> | ||
- | \mathrm{Q} | + | \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) |
</math> | </math> | ||
- | podemos | + | lo podemos poner como un producto de polinomios de grado |
- | uno y/o de grado dos | + | uno y/o de grado dos: |
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
Línea 397: | Línea 400: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | + | De esta forma | |
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) | + | \frac{\mathrm{P} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q}\left( \, x \, \right)} = |
+ | \frac{A_{1,1}}{\left( \, x - r_1 \, \right)} \cdot \mathrm{d}x + | ||
+ | \frac{A_{1,2}}{\left( \, x - r_1 \, \right)^2} \cdot \mathrm{d}x + | ||
+ | \ldots + \frac{A_{1,k_1}}{\left( \, x - r_1 \, \right)^{k_1}} \cdot | ||
+ | \mathrm{d}x + | ||
</math> | </math> | ||
- | + | </center> | |
+ | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \frac{\mathrm{ | + | + \frac{A_{2,1}}{\left( \, x - r_2 \, \right)} \cdot \mathrm{d}x + |
+ | \frac{A_{2,2} \cdot x}{\left( \, x - r_2 \, \right)^2} \cdot \mathrm{d}x + | ||
+ | \ldots + \frac{A_{2,k_2}}{\left( \, x - r_2 \, \right)^{k_2}} \cdot | ||
+ | \mathrm{d}x + \ldots + | ||
</math> | </math> | ||
- | + | </center> | |
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | |||
- | |||
- | |||
- | |||
- | |||
- | |||
- | |||
- | |||
- | |||
- | |||
+ \frac{A_{m,1}}{\left( \, x - r_m \, \right)} \cdot \mathrm{d}x + | + \frac{A_{m,1}}{\left( \, x - r_m \, \right)} \cdot \mathrm{d}x + | ||
- | + | \frac{A_{m,2} \cdot x}{\left( \, x - r_m \, \right)^2} \cdot \mathrm{d}x + | |
- | \ldots + \frac{A_{m,k_m}}{\left( \, x - | + | \ldots + \frac{A_{m,k_m}}{\left( \, x - r_m \, \right)^{k_m}} \cdot |
\mathrm{d}x | \mathrm{d}x | ||
- | + | + | + |
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
\frac{B_1 \cdot x + C_1}{\mathrm{Q}_1 \left( \, x \, \right)} + | \frac{B_1 \cdot x + C_1}{\mathrm{Q}_1 \left( \, x \, \right)} + | ||
\frac{B_2 \cdot x + C_2}{\mathrm{Q}_2 \left( \, x \, \right)} + | \frac{B_2 \cdot x + C_2}{\mathrm{Q}_2 \left( \, x \, \right)} + | ||
\ldots | \ldots | ||
- | + | + | |
\frac{B_n \cdot x + C_n}{\mathrm{Q}_n \left( \, x \, \right)} | \frac{B_n \cdot x + C_n}{\mathrm{Q}_n \left( \, x \, \right)} | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
Donde hemos seguido la siguiente notación: | Donde hemos seguido la siguiente notación: | ||
- | #1. | + | <br/> |
- | <math> | + | |
+ | <span | ||
+ | style = 'color:#00aa00'> | ||
+ | 1 | ||
+ | </span>. | ||
+ | <math> | ||
A_{i,j} | A_{i,j} | ||
</math> | </math> | ||
- | es | + | es la constante a la que divide |
<math> | <math> | ||
- | + | \left( \, x - r_i \, \right)^j | |
</math>. | </math>. | ||
<br/> | <br/> | ||
- | #2. | + | <span |
- | <math> | + | style = 'color:#00aa00'> |
+ | 2 | ||
+ | </span>. | ||
+ | <math> | ||
B_i \cdot x + C_i | B_i \cdot x + C_i | ||
</math> | </math> | ||
- | es | + | es el polinomio de grado uno al que divide |
| | ||
<math> | <math> | ||
- | + | \mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right) | |
</math>. | </math>. | ||
| | ||
Línea 461: | Línea 480: | ||
C_i | C_i | ||
</math> | </math> | ||
- | son constantes. | + | son constantes ( números reales que no dependen de |
+ | <math> | ||
+ | x | ||
+ | </math> | ||
+ | ). | ||
<br/> | <br/> | ||
Línea 470: | Línea 493: | ||
</math> | </math> | ||
es la suma de las integrales de las fracciones mas simples en las que | es la suma de las integrales de las fracciones mas simples en las que | ||
- | hemos | + | hemos descompuesto |
<math> | <math> | ||
\frac{\mathrm{P}\left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)} | \frac{\mathrm{P}\left( \, x \, \right)}{\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)} | ||
Línea 477: | Línea 500: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | Estas integrales mas simples son casi inmediatas | + | Estas integrales mas simples son casi inmediatas. Así |
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \int \frac{A_{i,j}}{\left( \, x - r_i \, \right)^j} = | + | \int \frac{A_{i,j}}{\left( \, x - r_i \, \right)^j} \cdot \mathrm{d}x = |
\frac{A_{i,j}}{\left( \, 1 - j \, \right) \cdot \left( \, x - r_i \, | \frac{A_{i,j}}{\left( \, 1 - j \, \right) \cdot \left( \, x - r_i \, | ||
\right)^\left( \, j - 1 \, \right)} | \right)^\left( \, j - 1 \, \right)} | ||
Línea 492: | Línea 515: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \int t^{-j} \cdot \mathrm{d}t = \frac{t^ | + | \int t^{-j} \cdot \mathrm{d}t = \frac{t^{1 - j}}{1 - j} + cte. |
- | + | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
- | + | Por otra parte, la integral | |
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \int \frac{B_i \cdot x + C_i}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)} | + | \int \frac{B_i \cdot x + C_i}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)} \cdot \mathrm{d}x |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
- | se resuelve | + | se resuelve descomponiendola |
+ | en otras dos: | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \int \frac{B_i \cdot x + C_i}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)} \cdot | ||
+ | \mathrm{d}x = | ||
+ | \int \frac{B_i \cdot x}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)} | ||
+ | \cdot \mathrm{d}x | ||
+ | + \int \frac{C_i}{\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)} \cdot \mathrm{d}x | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | La primera de ellas se resuelve mediante el cambio de variable | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right) \longrightarrow t | ||
+ | </math>: | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \int \frac{B_i \cdot x}{Q_i | ||
+ | \left( \, x \, \right)} \cdot \mathrm{d}x | ||
+ | = G_i \cdot \log \left| \, \mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right)\right| + \mathrm{cte.} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | donde | ||
+ | <math> | ||
+ | G_i | ||
+ | </math> | ||
+ | es una constante. | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Para resolver la segunda integral ponemos el polinomio | ||
<math> | <math> | ||
\mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right) | \mathrm{Q}_i \left( \, x \, \right) | ||
Línea 512: | Línea 564: | ||
\left( | \left( | ||
\left( | \left( | ||
- | \, x | + | \, \frac{x + E_i}{F_i} \, |
\right)^2 | \right)^2 | ||
- | + | + 1 \, | |
\right) | \right) | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
- | + | y hacemos el cambio de variable | |
+ | <math> | ||
+ | \frac{x + E_i}{F_i} \longrightarrow t | ||
+ | </math>: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \int \frac{ | + | \int \frac{C_i}{Q_i\left( \, x \, \right)} \cdot \mathrm{d}x = |
+ | \int \frac{C_i}{D_i \cdot | ||
+ | \left( | ||
+ | \left( | ||
+ | \, \frac{x + E_i}{F_i} \, | ||
+ | \right)^2 | ||
+ | + 1 \, | ||
+ | \right)} \cdot \mathrm{d}x | ||
+ | = \frac{C_i \cdot F_i}{D_i} \cdot \mathrm{arctan} \left( \, | ||
+ | \frac{x + E_i}{F_i} \, \right) + \mathrm{cte.} | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
- | se | + | |
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | ===Ejemplo=== | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Utilicemos el metodo que se acaba de describir para resolver la siguiente | ||
+ | integral: | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \int \frac{ | + | \int \frac{x^5}{x^4 - x^3 - x + 1} \cdot \mathrm{d}x |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
- | + | ||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Como el polinomio dividendo ( el polinomio en el numerador, | ||
<math> | <math> | ||
- | \mathrm{ | + | \mathrm{D} \left( \, x \, \right) = x^5 |
+ | </math> | ||
+ | ) es de grado mayor que el polinomio divisor ( el polinomio en el | ||
+ | denominador, | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{d}\left( \, x \, \right) = x^4 - x^3 - x + 1 | ||
+ | </math> | ||
+ | ), lo primero que hacemos es dividir ambos polinomios para obtener el | ||
+ | cociente | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{C} \left( \, x \, \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | y el resto | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{R} \left( \, x \, \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | de la división. | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \frac{D \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} = | ||
+ | \mathrm{C} \left( \, x \, \right) + \frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, | ||
+ | x \, \right)} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Al hacer la división obtenemos que | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \begin{array}{rl} | ||
+ | \mathrm{C} \left( \, x \, \right) & = x + 1 | ||
+ | \\ | ||
+ | \mathrm{R} \left( \, x \, \right) & = x^3 + x^2 - 1 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Por lo tanto | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \int \frac{\mathrm{D} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} | ||
+ | \cdot \mathrm{d}x | ||
+ | = | ||
+ | \int \mathrm{C}\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x + \int | ||
+ | \frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} | ||
+ | \cdot \mathrm{d}x | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | con | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \int \mathrm{C}\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int | ||
+ | x \cdot \mathrm{d}x + \int 1 \cdot \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} + x + \mathrm{cte.} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | Pasemos ahora a resolver la integral | ||
+ | <math> | ||
+ | \int | ||
+ | \frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} | ||
+ | \cdot \mathrm{d}x | ||
+ | </math>. | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Para ello, lo primero que hacemos es factorizar el polinomio | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{d} \left( \, x \, \right) | ||
</math>: | </math>: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \ | + | \mathrm{d} \left( \, x \, \right) = |
\left( | \left( | ||
- | + | \, x^2 + x + 1 \, | |
- | + | \right) | |
- | + | \cdot | |
- | + | \left( | |
- | \right) | + | \, x - 1 \, |
- | + | \right) | |
+ | ^2 | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
- | + | Con lo cual existen números reales | |
<math> | <math> | ||
- | + | A, \, B | |
</math> | </math> | ||
- | | + | y |
<math> | <math> | ||
- | + | C | |
</math> | </math> | ||
- | + | tales que: | |
+ | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \ | + | \frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} = |
+ | \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{\left( \, x - 1 \, \right)^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + x + 1} | ||
</math> | </math> | ||
- | ) | + | </center> |
+ | A continuación calculamos los valores de | ||
+ | <math> | ||
+ | A, \, B | ||
+ | </math> | ||
+ | y | ||
+ | <math> | ||
+ | C | ||
+ | </math> | ||
+ | para que la igualdad anterior sea cierta: | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{\left( \, x - 1 \, \right)^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + x + 1} = | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | = \frac{A \cdot \left( \, x - 1 \, \right)\cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, | ||
+ | \right) + B \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right) + \left( \, Cx + D \, | ||
+ | \right) \cdot \left( \, x-1 \, | ||
+ | \right)^2}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} = \frac{\mathrm{R} \left( \, x | ||
+ | \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} \Rightarrow | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \Rightarrow A \cdot \left( \, x - 1 \, \right)\cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, | ||
+ | \right) + B\cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right) + \left( \, Cx + D \, | ||
+ | \right) \cdot \left( \, x-1 \, | ||
+ | \right)^2 = \mathrm{R} \left( \, x \, | ||
+ | \right) \Rightarrow | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \Rightarrow A \cdot \left( \, x^3 - 1 \, \right) + B \cdot | ||
+ | \left( | ||
+ | \, x^2 + x + 1 \, | ||
+ | \right) | ||
+ | + \left( \, Cx + D \, \right) \cdot ( x^2 - 2x + 1 ) = x^3 + x^2 - 1 \Rightarrow | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \Rightarrow \left( \, A + C \, \right) \cdot x^3 + \left( \, B - 2C + D \, \right) \cdot x^2 + \left( \, | ||
+ | B + C - 2D \, \right) \cdot x + \left( \, -A + B + D \, \right) = | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | = x^3 + x^2 - 1 | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
<br/> | <br/> | ||
+ | Dos polinomios son iguales si, y solo si, sus coeficientes y terminos independientes | ||
+ | son iguales ( ambos polinomios tienen el mismo grado, digamos | ||
+ | <math> | ||
+ | m | ||
+ | </math>, | ||
+ | y el coeficiente de | ||
+ | <math> | ||
+ | x^n | ||
+ | </math> | ||
+ | en uno de los polinomios es el coeficiente de | ||
+ | <math> | ||
+ | x^n | ||
+ | </math> | ||
+ | en el otro polinomio, para | ||
+ | <math> | ||
+ | n = 0, \, 1, \, \ldots, \, m | ||
+ | </math> | ||
+ | ). Así, se tiene que: | ||
<center> | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \left\{ | ||
+ | \begin{array}{rl} | ||
+ | A + C & = 1 | ||
+ | \\ | ||
+ | B + D - 2C & = 1 | ||
+ | \\ | ||
+ | B + C - 2D & = 0 | ||
+ | \\ | ||
+ | -A + B + D & = -1 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right. | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | La solución de este [[Sistemas de ecuaciones lineales|sistema de ecuaciones]] | ||
+ | es: | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \left\{ | ||
+ | \begin{array}{rl} | ||
+ | A & = \frac{4}{3} | ||
+ | \\ | ||
+ | B & = \frac{1}{3} | ||
+ | \\ | ||
+ | C & = -\frac{1}{3} | ||
+ | \\ | ||
+ | D & = 0 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right. | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
- | + | <br/> | |
+ | |||
+ | De este modo: | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \int \frac{\mathrm{R} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{d} \left( \, x \, \right)} | ||
+ | \cdot \mathrm{d}x = \frac{4}{3} \cdot \int \frac{\mathrm{d}x}{x - 1} + | ||
+ | \frac{1}{3} \int\frac{\mathrm{d}x}{\left( \, x - 1 \, \right)^2} - | ||
+ | \frac{1}{3} \cdot \int \frac{x \cdot \mathrm{d}x}{x^2 + x + 1} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Las primeras dos integrales en el miembro de la derecha las podemos resolver con | ||
+ | el cambio de variable | ||
<math> | <math> | ||
- | x - | + | t = x - 1 |
</math>: | </math>: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \int \frac{ | + | \begin{array}{rl} |
+ | \int \frac{\mathrm{d}x}{x - 1} & = \int \frac{\mathrm{d}t}{t} = \mathrm{Ln} \left| | ||
+ | \, t \, \right| + \mathrm{cte.} = \mathrm{Ln} \left| \, x - 1 \, \right| + | ||
+ | \mathrm{cte.} | ||
+ | \\ | ||
+ | \int \frac{\mathrm{d}x}{\left( \, x - 1 \, \right)^2} & = \int | ||
+ | \frac{\mathrm{d}t}{t^2} = -\frac{1}{t} + | ||
+ | \mathrm{cte.} = -\frac{1}{x - 1} + \mathrm{cte.} | ||
+ | \end{array} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Para finalizar el ejemplo calculamos la última integral: | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \int \frac{x \cdot \mathrm{d}x}{x^2 + x + 1} = | ||
+ | \int \frac{x \cdot \mathrm{d}x}{\left( \, x + \frac{1}{2} \, \right)^2 + 3 / 4} | ||
+ | = | ||
+ | \int \frac{4}{3} \cdot \frac{x \cdot \mathrm{d}x}{\left( \, \frac{2}{\sqrt{3}} | ||
+ | \left( \, x + \frac{1}{2} \, \right) \right)^2 + 1} = | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | = \frac{4}{3} \cdot \int \frac{ \left( \, \frac{3u}{4} -\frac{\sqrt{3}}{4} \, | ||
+ | \right) \cdot \mathrm{d}u}{u^2 + 1} = | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2u \cdot \mathrm{d}u}{u^2 + 1} - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \int \frac{\mathrm{d}u}{u^2 + 1} | ||
+ | = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{Ln} \left( \, u^2 + 1 \, \right) - | ||
+ | \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \mathrm{arctan} \left( \, u \, \right) + \mathrm{cte.} | ||
+ | = | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \frac{1}{2} \cdot \mathrm{Ln} \left( \frac{4}{3} \cdot \left( \, x + \frac{1}{2} \, \right)^2 + 1 \, \right) - | ||
+ | \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \mathrm{arctan} \left( \, \frac{2}{\sqrt{3}} | ||
\left( | \left( | ||
- | \left( | + | \, x + \frac{1}{2} \, |
- | + | \right) \right) + \mathrm{cte.} | |
- | + | </math> | |
- | + | </center> | |
- | \right) | + | donde se ha utilizado el cambio de variable: |
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | u = \frac{2}{\sqrt{3}} | ||
+ | \left( | ||
+ | \, x + \frac{1}{2} \, | ||
+ | \right) | ||
+ | \left( | ||
+ | \, \Rightarrow x \cdot \mathrm{d}x = \left( \, \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot u - | ||
+ | \frac{1}{2} \, \right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \mathrm{d}u \, | ||
+ | = \left( \, \frac{3}{4} \cdot u - | ||
+ | \frac{\sqrt{3}}{4} \, \right) \cdot \mathrm{d}u \, | ||
+ | \right) | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 590: | Línea 893: | ||
<br/> | <br/> | ||
- | == | + | ==Integrales de funciones trigonométricas== |
<br/> | <br/> | ||
- | Para | + | Para resolver este tipo de integrales se utilizan amenudo las igualdades que se estudian |
+ | en trigonometría. Tambien se utilizan los cambios de variables | ||
+ | <math> | ||
+ | t = \mathrm{cos} \left( \, x \, \right) | ||
+ | </math>, | ||
+ | | ||
+ | <math> | ||
+ | t = \mathrm{sen} \left( \, x \, \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | o | ||
+ | <math> | ||
+ | t = \mathrm{tan} \left( \, x \, \right) | ||
+ | </math>. | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | ===Ejemplo 1=== | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | Resolvamos la integral | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \int | + | \int \mathrm{sen}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{cos}^2 \left( \, x \, |
+ | \right) \cdot \mathrm{d}x | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
+ | Para ello tenemos en cuenta que | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{sen} \left( \, 2x \, \right) = 2 \cdot \mathrm{sen} \left( \, x \, | ||
+ | \right) \cdot \mathrm{cos} \left( \, x \, \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | con lo cual | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \int \mathrm{sen}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{cos}^2 \left( \, x \, | ||
+ | \right) \cdot \mathrm{d}x = | ||
+ | \frac{1}{4} \cdot \int \mathrm{sen}^2 \left( \, 2x \, \right) \cdot \mathrm{d}x | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Como | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{cos} \left( \, 2x \, \right) = \mathrm{cos}^2 \left( \, x \, \right) - | ||
+ | \mathrm{sen}^2 | ||
+ | \left( \,x \, \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | y como | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | 1 = \mathrm{cos}^2 \left( \, x \, \right) + \mathrm{sen}^2 \left( \, x \, \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Despejando | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{cos}^2 \left( \, x \, \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | de esta última igualdad y sustituyendolo en la anterior, se tiene que | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{cos} \left( \, 2x \, \right) = 1 - 2 \cdot \mathrm{sen}^2 \left( \, x \, \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Sustituyendo en esta igualdad | ||
+ | <math> | ||
+ | x | ||
+ | </math> | ||
+ | por | ||
+ | <math> | ||
+ | 2x | ||
+ | </math> | ||
+ | y despejando | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{sen}^2 \left( \, 2x \, \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | se llega a que | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{sen}^2 \left( \, 2x \, \right) = \frac{1 - \mathrm{cos} \left( \, 4x \, \right)}{2} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Así | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \int \mathrm{sen}^2 \left( \, 2x \, \right) \cdot \mathrm{d}x = | ||
+ | \int \frac{1 - \mathrm{cos} \left( \, 4x \, \right)}{2} \mathrm{d}x = | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | = \int \frac{\mathrm{d}x}{2} - \frac{1}{2} \int \mathrm{cos} \left( \, 4x \, \right) \cdot \mathrm{d}x = | ||
+ | \frac{x}{2} - \frac{\mathrm{sen} \left( \, 4x \, \right)}{8} + \mathrm{cte.} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | La última integral se calcula con el cambio de variable | ||
+ | <math> | ||
+ | u = 4x | ||
+ | </math>. | ||
<br/> | <br/> | ||
- | ==Ejemplo== | + | ===Ejemplo 2=== |
<br/> | <br/> | ||
+ | Resolvamos ahora la siguiente integral: | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \int \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{cos}^3 \left( \, x \, | ||
+ | \right)} \cdot \mathrm{d}x | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | mediante el cambio de variable | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | t = \mathrm{tan} \left( \, x \, \right) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Definiendo | ||
+ | <math> | ||
+ | t | ||
+ | </math> | ||
+ | de esta manera resulta que | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \int \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{cos}^3 \left( \, x \, | ||
+ | \right)} \cdot \mathrm{d}x = | ||
+ | \int t \cdot \mathrm{d}t = \frac{t^2}{2} + C = \frac{\mathrm{tan}^2 \left( \, x \, \right)}{2} + C | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | <br/> | ||
+ | |||
+ | ya que | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | t = \mathrm{tan} \left( \, x \, \right) \Rightarrow | ||
+ | \left\{ | ||
+ | \begin{array}{l} | ||
+ | t = \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{cos} \left( \, x \, | ||
+ | \right)} | ||
+ | \\ | ||
+ | \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{\mathrm{cos}^2 \left( \, x \, \right)} | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right. | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | <br/> | ||
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Revisión actual
Tabla de contenidos |
Introducción
No todos los métodos de integración son adecuados para todas las integrales. La habilidad de ver cuál es el método de integración más idóneo para calcular una integral se adquiere resolviendo muchas integrales.
Integración por partes
La fórmula para la derivada de un producto es:
Despejando el último sumando, queda:
Si integramos en los dos miembros, se obtiene:
La última igualdad es cierta porque una primitiva de la derivada de una función es esa misma función.
Esta fórmula permite calcular la integral a partir de la integral .
Para que sea de utilidad el utilizar este metodo es necesario que nos resulte mas sencilla de resolver la integral que la integral de partida, .
Ejemplo
Calculemos la integral
por partes.
Si hacemos
se tiene que
Utilizando la fórmula que hemos visto antes
se deduce que
Método de sustitución
Supongamos que queremos resolver una integral del tipo:
Una manera de resolver un problema de este tipo es haciendo el cambio de variable
La nueva variable es una función de , con lo cual podemos hablar de la derivada de con respecto de , que se puede escribir como un cociente de diferenciales:
Despejando en la igualdad anterior, se deduce que
Sustituyendo por y por en
se tiene que
Integrando obtenemos una primitiva de .
Las igualdades anteriores resumen en que consiste el metodo de sustitución. El método de sustitución es util en tanto en cuanto sea relativamente facil encontrar una primitiva de .
Ejemplo
Calculemos mediante el método de sustitución la integral
Para ello utilizamos las formulas dadas en la descripción del metodo de sustitución con
Observese que
En este caso, una primitiva de es
Por lo tanto
Integración de cocientes de polinomios
Sean y dos polinomios, entonces:
donde es un polinomio ( el cociente ) y es otro polinomio ( el resto ) de grado menor al grado de .
Si el grado de es menor que el grado de , entonces es cero y .
Como
nos podemos restringir al caso en el que el grado del polinomio divisor, , es mayor que grado del polinomio dividendo, .
Para resolver este tipo de integrales lo primero que hay que hacer es factorizar el polinomio divisor .
Al factorizar lo podemos poner como un producto de polinomios de grado uno y/o de grado dos:
donde
son todas las raices reales de y
son polinomios de grado dos irreducibles ( sin raices reales ).
De esta forma
Donde hemos seguido la siguiente notación:
1 . es la constante a la que divide .
2 . es el polinomio de grado uno al que divide . y son constantes ( números reales que no dependen de ).
Por lo tanto, la integral de es la suma de las integrales de las fracciones mas simples en las que hemos descompuesto .
Estas integrales mas simples son casi inmediatas. Así
Esta integral se puede resolver utilizando el cambio de variable y la integral inmediata
Por otra parte, la integral
se resuelve descomponiendola en otras dos:
La primera de ellas se resuelve mediante el cambio de variable :
donde es una constante.
Para resolver la segunda integral ponemos el polinomio de la forma:
y hacemos el cambio de variable :
Ejemplo
Utilicemos el metodo que se acaba de describir para resolver la siguiente integral:
Como el polinomio dividendo ( el polinomio en el numerador, ) es de grado mayor que el polinomio divisor ( el polinomio en el denominador, ), lo primero que hacemos es dividir ambos polinomios para obtener el cociente y el resto de la división.
Al hacer la división obtenemos que
Por lo tanto
con
Pasemos ahora a resolver la integral .
Para ello, lo primero que hacemos es factorizar el polinomio :
Con lo cual existen números reales y tales que:
A continuación calculamos los valores de y para que la igualdad anterior sea cierta:
Dos polinomios son iguales si, y solo si, sus coeficientes y terminos independientes son iguales ( ambos polinomios tienen el mismo grado, digamos , y el coeficiente de en uno de los polinomios es el coeficiente de en el otro polinomio, para ). Así, se tiene que:
La solución de este sistema de ecuaciones es:
De este modo:
Las primeras dos integrales en el miembro de la derecha las podemos resolver con el cambio de variable :
Para finalizar el ejemplo calculamos la última integral:
donde se ha utilizado el cambio de variable:
Integrales de funciones trigonométricas
Para resolver este tipo de integrales se utilizan amenudo las igualdades que se estudian en trigonometría. Tambien se utilizan los cambios de variables , o .
Ejemplo 1
Resolvamos la integral
Para ello tenemos en cuenta que
con lo cual
Como
y como
Despejando de esta última igualdad y sustituyendolo en la anterior, se tiene que
Sustituyendo en esta igualdad por y despejando se llega a que
Así
La última integral se calcula con el cambio de variable .
Ejemplo 2
Resolvamos ahora la siguiente integral:
mediante el cambio de variable
Definiendo de esta manera resulta que
ya que