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Área bajo la grafica de una función continua

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(Diferencias entre revisiones)
(Página nueva: <br/> ==Ejemplo== <br/> Sea <math> \mathrm{f} </math> una función continua en todo su dominio <math> D </math> y sea &nbsp; <math> \left( \, a, \, b \, \right) </math> &nbsp; ...)
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una función continua en todo su dominio
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una función continua en el intervalo &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in \left[ \, a, \, b \, \right]
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Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida
Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida
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entre las rectas verticales de ecuacione &nbsp;
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entre las rectas verticales de ecuaciones &nbsp;
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x = a
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y el eje X?
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Se trata de una integral definida. Una [[Integral definida|integral definida]] es, por tanto, un
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Esta integral se trata de una '''''integral definida'''''. Una integral definida es, por tanto, un
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número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el
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número, mientras que una [[Integral indefinida|integral indefinida]] es una familia de funciones ( el
conjunto de primitivas de la función que se integra ).
conjunto de primitivas de la función que se integra ).
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Una manera de dar una solución aproximada a esta pregunta es la siguiente:
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Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos
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&nbsp; contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo &nbsp;
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&nbsp; y cuya altura es de longitud &nbsp;
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rectangulos. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica
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S_n \flecha{n \to \infty }{\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}
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y el eje X?
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Casi todo lo dicho con anterioridad para el caso &nbsp;
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y el area sobre la grafica de la función es
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NO positiva porque &nbsp;
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[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Sea \mathrm{f} una función continua en el intervalo   \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right) ,   tal que \mathrm{f} toma solo valores NO negativos en dicho intervalo   ( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge 0, \, \forall x \in \left( \, a, \, b \, \right) ).


Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones   x = a   y   x = b ,   la grafica de la función \mathrm{f} y el eje X? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:


Imagen:areaBajoGrafica.png


Este area es el valor de la integral entre a y b de \mathrm{f} y la denotamos por:

\int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x

Esta integral se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).


Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos ( el calculo de dicha area ).


Dividimos el intervalo   \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right)   en n intervalos de la misma longitud (   \frac{b - a}{n}   ). Los limites de estos intervalos mas pequeños son:

x_0 = a, \, x_1 = a + \frac{b - a}{n}, \, \ldots, \, x_n = b

donde  x_i = a + \frac{b - a}{n} \cdot i .


Para   i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n   contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo   \left( \, x_{i-1}, \, x_i \, \right)   y cuya altura es de longitud   \mathrm{f} \left( \, x_{i-1} \, \right) .


Haciendo esto para   i = 1, \, 2, \, \ldots, \, n ,   terminamos con n rectangulos. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica de \mathrm{f} que queremos calcular.


En general, cuanto mayor sea n mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a   \int_a^b \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x .


Así, cuando  n = 2 :


Imagen:areaRectangulos2.png


uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo   n = 4 :


Imagen:areaRectangulos4.png


Llamemos   S_n   a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:

S_n \longrightarrow \int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}


Es decir,   S_n   tiende a  </p> <pre>\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x </pre> <p>   cuando el número de rectangulos, n , tiende a infinito.


En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función \mathrm{f} toma valores NO negativos en el intervalo   \left( \, a, \, b \, \right) .   ¿Que pasaría si \mathrm{f} tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso, ¿como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones   x = a   y   x = b ,   la grafica de la función \mathrm{f} y el eje X?


Imagen:areaSobreGrafica.png


Casi todo lo dicho con anterioridad para el caso   \mathrm{f} \ge 0   seria aplicable al caso   0 \ge \mathrm{f}   , pero ahora:

S_n \longrightarrow -\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}

y el area sobre la grafica de la función es

-\int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}

siendo la integral definida   \int_a^b \mathrm{f }\left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x}   NO positiva porque   0 \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left( \, a, \, b \, \right) .

Obtenido de "http://wikillerato.org/%C3%81rea_bajo_la_grafica_de_una_funci%C3%B3n_continua.html"
   
 
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