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Cálculo de áreas y volúmenes

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (17:24 27 dic 2010) (editar) (deshacer)
 
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Línea 1: Línea 1:
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==Cálculo de áreas mediante integrales==
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==Área entre las graficas de dos funciones==
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Línea 13: Línea 13:
\mathrm{g} \left( \, x \, \right)
\mathrm{g} \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; y nos preguntan calcular el área comprendida entre las graficas de ambas
+
&nbsp; y nos piden calcular el área comprendida entre las graficas de ambas
funciones.
funciones.
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[[Imagen:areaEntreGraficas.png|right|frame]]
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Línea 35: Línea 41:
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#1. En primer lugar resolvemos la ecuación:
+
En primer lugar resolvemos la ecuación:
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Línea 47: Línea 53:
n
n
</math>
</math>
-
soluciones &nbsp;
+
soluciones &nbsp; <math>
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+
x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n
x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n
</math>
</math>
Línea 58: Línea 63:
</center>
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#2 Buscamos una primitiva &nbsp;
+
A continuacion, buscamos una primitiva &nbsp; <math> \mathrm{H} \left( \, x \,
-
<math>
+
\right) </math> &nbsp; de &nbsp; <math> \mathrm{h} \left( \, x \, \right)
-
\mathrm{H} \left( \, x \, \right)
+
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</math>
+
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&nbsp; de &nbsp;
+
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<math>
+
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\mathrm{h} \left( \, x \, \right)
+
</math>.
</math>.
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#3. Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden con la
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Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden con la
fórmula:
fórmula:
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Línea 78: Línea 83:
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donde
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donde &nbsp;
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+
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<math>
\left| \, \mathrm{H} \left( \, x_{i-1} \, \right) - \mathrm{H} \left(
\left| \, \mathrm{H} \left( \, x_{i-1} \, \right) - \mathrm{H} \left(
\, x_i \, \right) \, \right|
\, x_i \, \right) \, \right|
</math>
</math>
-
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+
&nbsp; es el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones &nbsp;
-
es el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones &nbsp;
+
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<math>
x = x_{i-1}
x = x_{i-1}
Línea 93: Línea 96:
x = x_i
x = x_i
</math>,
</math>,
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&nbsp; el eje X y la grafica de la función
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&nbsp; la grafica de la función
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\mathrm{h}
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\mathrm{f}
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y la grafica de la función
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\mathrm{g}
</math>.
</math>.
Línea 132: Línea 139:
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#1. En primer lugar resolvemos la ecuación:
+
En primer lugar resolvemos la ecuación:
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<math>
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\mathrm{h} \left( \, x \, \right) = x^3 - x
+
\mathrm{h} \left( \, x \, \right) = x^3 - x = 0
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</math>
</center>
</center>
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para obtener 3 soluciones
+
para obtener 3 soluciones &nbsp;
-
soluciones &nbsp;
+
<math>
<math>
x_1 = -1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 1
x_1 = -1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 1
</math>.
</math>.
-
#2 Una primitiva &nbsp;
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<math>
+
 
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\mathrm{H} \left( \, x \, \right)
+
Integramos <math>
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\mathrm{h}
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</math>
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&nbsp; de &nbsp;
+
para obtener una primitiva <math>
-
<math>
+
\mathrm{H}
-
\mathrm{h} \left( \, x \, \right)
+
</math>
</math>
-
&nbsp; es
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\mathrm{h}
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Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden:
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#3. Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden:
 
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Línea 169: Línea 184:
\left| \, \mathrm{H} \left( \, x_2 \, \right) - \mathrm{H} \left(
\left| \, \mathrm{H} \left( \, x_2 \, \right) - \mathrm{H} \left(
\, x_3 \, \right) \, \right| =
\, x_3 \, \right) \, \right| =
 +
</math>
 +
</center>
 +
<center>
 +
<math>
\left| \, \mathrm{H} \left( \, -1 \, \right) - \mathrm{H} \left(
\left| \, \mathrm{H} \left( \, -1 \, \right) - \mathrm{H} \left(
\, 0 \, \right) \, \right| +
\, 0 \, \right) \, \right| +
\left| \, \mathrm{H} \left( \, 0 \, \right) - \mathrm{H} \left(
\left| \, \mathrm{H} \left( \, 0 \, \right) - \mathrm{H} \left(
\, 1 \, \right) \, \right| =
\, 1 \, \right) \, \right| =
-
\left| \, \frac{\left( \, -1 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, -1 \,
 
-
\right)^3}{2} - \frac{\left( \, 0 \, \right)^4}{4} + \frac{\left( \, 0 \,
 
-
\right)^3}{2} \, \right| +
 
-
\left| \, \frac{\left( \, 0 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, 0 \,
 
-
\right)^3}{2} - \frac{\left( \, 1 \, \right)^4}{4} + \frac{\left( \, 1 \,
 
-
\right)^3}{2} \, \right|
 
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
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 +
<math>
 +
= \left| \, \frac{\left( \, -1 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, -1 \right)^2}{2} - \left( \, \frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2} \, \right) \right| +
 +
\left| \, \frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2} - \left( \, \frac{1^4}{4} - \frac{1^2}{2} \, \right) \right| = \frac{1}{2}
 +
</math>
 +
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<br/>
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==Volumen de un cuerpo de revolución==
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 +
Al girar un trozo de la grafica de una función &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left[ \, a, \, b \, \right]
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&nbsp; alrdedor del eje X se genera un cuerpo de revolución cuyo volumen
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queremos calcular.
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[[Imagen:volumenSolidoRevolucion.png]]
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Si dividimos el intervalo &nbsp;
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\left[ \, a, \, b \, \right]
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n
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subintervalos de la misma longitud &nbsp;
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\Delta x
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</math>, &nbsp; entonces podemos aproximar el volumen del cuerpo de revolución
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por
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\sum_{i=1}^n \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x_i \, \right) \cdot \left( \, x_i - x_{i-1} \, \right)
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donde &nbsp;
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x_i
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&nbsp; es el limite superior y&nbsp;
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x_{i-1}
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&nbsp; es el limite inferior del i-esimo subintervalo.
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[[Imagen:volumenSolidoRevolucion2.gif|right|frame]]
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El producto
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\pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x_i \, \right) \cdot \left( \, x_i - x_{i-1} \, \right)
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es el volumen de un cilindro cuyo eje de simetria ( eje central ) es el eje X,
 +
cuyas bases estan en los planos de ecuación&nbsp;
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x = x_{i-1}
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&nbsp; y &nbsp;
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 +
x = x_i
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</math>,&nbsp;
 +
respectivamente, y cuya altura es &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x_i \, \right)
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</math>.
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<br/>
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Notese que &nbsp;
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x_i - x_{i-1} = \Delta x = \frac{b - a}{n}
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&nbsp; y que &nbsp;
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x_n = b, \, x_0 = a
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<br/>
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Para cada &nbsp;
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i = 1, \, 2, \, \ldots n
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&nbsp; tenemos un cilindro, de tal manera que la suma de los volumenes de estos
 +
cilindros es una aproximación al volumen del cuerpo de revolución que queremos
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calcular. Cuando hacemos tender
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n
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 +
obtenemos el volumen del cuerpo de revolución que coicide con la siguiente integral
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<center>.
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<math>
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\text{Volumen} = \int_a^b \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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</center>
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<br/>
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===Ejemplo===
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<br/>
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Consideremos la función constante &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 5
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 +
. &nbsp; Al hacer girar el trozo de la grafica de
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<math>
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\mathrm{f}
 +
</math>
 +
entre &nbsp;
 +
<math>
 +
x = 0
 +
</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
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<math>
 +
x = 7
 +
</math>
 +
&nbsp; obtenemos un cuerpo de revolución ( un cilindro de radio 5 y altura 7
 +
).
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<br/>
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 +
Utilizando la formula anterior se llega a que
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<center>
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<math>
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\text{Volumen} = \int_a^b \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x \, \right) \cdot
 +
\mathrm{d}x = \int_0^7 \pi \cdot 5^2 \cdot \mathrm{d}x = \pi \cdot 5^2 \cdot
 +
\left[ \, x \, \right]_0^7 = \pi \cdot 5^2 \cdot 7
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</math>
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que coincide con el resultado que se obtiene con la fórmula del volumen de un
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cilindro:
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\text{Volumen} = \pi \cdot \text{Radio}^2 \cdot \text{Altura}
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 +
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual


Tabla de contenidos

Área entre las graficas de dos funciones


Supongamos que nos dan dos funciones   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   y   \mathrm{g} \left( \, x \, \right)   y nos piden calcular el área comprendida entre las graficas de ambas funciones.



El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función   \mathrm{h} \left( \, x \, \right) := \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - \mathrm{g} \left( \, x \, \right)   y el eje X.


Para calcular el área comprendida entre la función \mathrm{h}   y el eje X, procedemos de la siguiente manera:


En primer lugar resolvemos la ecuación:

\mathrm{h} \left( \, x \, \right) = 0

para obtener n soluciones   x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n   con

x_1 < x_2 < \ldots < x_n

A continuacion, buscamos una primitiva   \mathrm{H} \left( \, x \, \right)   de   \mathrm{h} \left( \, x \, \right) .


Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden con la fórmula:


\text{Area} = \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_1 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, x_2 \, \right) \, \right| + </pre> <p>\left| \, \mathrm{H} \left( \, x_2 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, x_3 \, \right) \, \right| + \ldots + \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_{n-1} \, \right) - \mathrm{H} \left( \, x_n \, \right) \, \right| </pre> <p>

donde   \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_{i-1} \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, x_i \, \right) \, \right| </pre> <p>   es el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones   x = x_{i-1} ,   x = x_i ,   la grafica de la función \mathrm{f} y la grafica de la función \mathrm{g} .


Ejemplo


Calculemos el área comprendida entre las graficas de   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^3   y   \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x .


El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función   \mathrm{h} \left( \, x \, \right) := \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x^3 - x   y el eje X.


Para calcular el área comprendida entre la función \mathrm{h}   y el eje X, procedemos de la siguiente manera:


En primer lugar resolvemos la ecuación:

\mathrm{h} \left( \, x \, \right) = x^3 - x = 0

para obtener 3 soluciones   x_1 = -1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 1 .


Integramos \mathrm{h} para obtener una primitiva \mathrm{H} de \mathrm{h} :


\mathrm{H} \left( \, x \, \right) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}


Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden:


\text{Area} = \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_1 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, x_2 \, \right) \, \right| + </pre> <p>\left| \, \mathrm{H} \left( \, x_2 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, x_3 \, \right) \, \right| = </pre> <p>

\left| \, \mathrm{H} \left( \, -1 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, 0 \, \right) \, \right| + </pre> <p>\left| \, \mathrm{H} \left( \, 0 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, 1 \, \right) \, \right| = </pre> <p>

</p> <pre>= \left| \, \frac{\left( \, -1 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, -1 \right)^2}{2} - \left( \, \frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2} \, \right) \right| + </pre> <p>\left| \, \frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2} - \left( \, \frac{1^4}{4} - \frac{1^2}{2} \, \right) \right| = \frac{1}{2}


Volumen de un cuerpo de revolución


Al girar un trozo de la grafica de una función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in \left[ \, a, \, b \, \right]   alrdedor del eje X se genera un cuerpo de revolución cuyo volumen queremos calcular.


Imagen:volumenSolidoRevolucion.png


Si dividimos el intervalo   \left[ \, a, \, b \, \right]   en n subintervalos de la misma longitud   \Delta x ,   entonces podemos aproximar el volumen del cuerpo de revolución por

\sum_{i=1}^n \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x_i \, \right) \cdot \left( \, x_i - x_{i-1} \, \right)

donde   x_i   es el limite superior y  x_{i-1}   es el limite inferior del i-esimo subintervalo.



El producto

\pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x_i \, \right) \cdot \left( \, x_i - x_{i-1} \, \right)

es el volumen de un cilindro cuyo eje de simetria ( eje central ) es el eje X, cuyas bases estan en los planos de ecuación  x = x_{i-1}   y   x = x_i ,  respectivamente, y cuya altura es   \mathrm{f} \left( \, x_i \, \right) .


Notese que   x_i - x_{i-1} = \Delta x = \frac{b - a}{n}   y que   x_n = b, \, x_0 = a .


Para cada   i = 1, \, 2, \, \ldots n   tenemos un cilindro, de tal manera que la suma de los volumenes de estos cilindros es una aproximación al volumen del cuerpo de revolución que queremos calcular. Cuando hacemos tender n a \infty obtenemos el volumen del cuerpo de revolución que coicide con la siguiente integral

.

\text{Volumen} = \int_a^b \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x


Ejemplo


Consideremos la función constante   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 5 .   Al hacer girar el trozo de la grafica de \mathrm{f} entre   x = 0   y   x = 7   obtenemos un cuerpo de revolución ( un cilindro de radio 5 y altura 7 ).


Utilizando la formula anterior se llega a que

\text{Volumen} = \int_a^b \pi \cdot \mathrm{f}^2 \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int_0^7 \pi \cdot 5^2 \cdot \mathrm{d}x = \pi \cdot 5^2 \cdot \left[ \, x \, \right]_0^7 = \pi \cdot 5^2 \cdot 7

que coincide con el resultado que se obtiene con la fórmula del volumen de un cilindro:

\text{Volumen} = \pi \cdot \text{Radio}^2 \cdot \text{Altura}


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