Cálculo de áreas y volúmenes
De Wikillerato
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- | == | + | ==Área entre las graficas de dos funciones== |
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Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden con la | Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden con la | ||
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- | \mathrm{h} \left( \, x \, \right) = x^3 - x | + | \mathrm{h} \left( \, x \, \right) = x^3 - x = 0 |
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- | + | para obtener una primitiva <math> | |
- | \mathrm{ | + | \mathrm{H} |
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- | = \left| \, \frac{\left( \, -1 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, -1 | + | = \left| \, \frac{\left( \, -1 \, \right)^4}{4} - \frac{\left( \, -1 \right)^2}{2} - \left( \, \frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2} \, \right) \right| + |
- | + | \left| \, \frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2} - \left( \, \frac{1^4}{4} - \frac{1^2}{2} \, \right) \right| = \frac{1}{2} | |
- | + | ||
- | \left| \, \frac{ | + | |
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Al girar un trozo de la grafica de una función | Al girar un trozo de la grafica de una función | ||
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Si dividimos el intervalo | Si dividimos el intervalo | ||
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- | subintervalos | + | subintervalos de la misma longitud |
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por | por | ||
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- | es el volumen de un cilindro cuyo eje de simetria ( eje central ) es el eje X | + | es el volumen de un cilindro cuyo eje de simetria ( eje central ) es el eje X, |
cuyas bases estan en los planos de ecuación | cuyas bases estan en los planos de ecuación | ||
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x = x_i | x = x_i | ||
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- | respectivamente. | + | respectivamente, y cuya altura es |
+ | <math> | ||
+ | \mathrm{f} \left( \, x_i \, \right) | ||
+ | </math>. | ||
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Notese que | Notese que | ||
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- | x_i - x_{i-1} = \frac{b - a}{n} | + | x_i - x_{i-1} = \Delta x = \frac{b - a}{n} |
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y que | y que | ||
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- | Consideremos | + | Consideremos la función constante |
- | + | ||
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 5 | \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 5 | ||
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- | + | . Al hacer girar el trozo de la grafica de | |
- | + | ||
- | Al hacer girar el trozo de la grafica de | + | |
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\mathrm{f} | \mathrm{f} | ||
Línea 320: | Línea 334: | ||
x = 7 | x = 7 | ||
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- | | + | obtenemos un cuerpo de revolución ( un cilindro de radio 5 y altura 7 |
). | ). | ||
Línea 333: | Línea 347: | ||
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- | que coincide con el resultado que se obtiene con la | + | que coincide con el resultado que se obtiene con la fórmula del volumen de un |
cilindro: | cilindro: | ||
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Revisión actual
Tabla de contenidos |
Área entre las graficas de dos funciones
Supongamos que nos dan dos funciones y y nos piden calcular el área comprendida entre las graficas de ambas funciones.
El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función y el eje X.
Para calcular el área comprendida entre la función y el eje X, procedemos de la siguiente manera:
En primer lugar resolvemos la ecuación:
para obtener soluciones con
A continuacion, buscamos una primitiva de .
Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden con la fórmula:
donde es el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones , , la grafica de la función y la grafica de la función .
Ejemplo
Calculemos el área comprendida entre las graficas de y .
El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función y el eje X.
Para calcular el área comprendida entre la función y el eje X, procedemos de la siguiente manera:
En primer lugar resolvemos la ecuación:
para obtener 3 soluciones .
Integramos para obtener una primitiva de :
Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden:
Volumen de un cuerpo de revolución
Al girar un trozo de la grafica de una función alrdedor del eje X se genera un cuerpo de revolución cuyo volumen queremos calcular.
Si dividimos el intervalo en subintervalos de la misma longitud , entonces podemos aproximar el volumen del cuerpo de revolución por
donde es el limite superior y es el limite inferior del i-esimo subintervalo.
El producto
es el volumen de un cilindro cuyo eje de simetria ( eje central ) es el eje X, cuyas bases estan en los planos de ecuación y , respectivamente, y cuya altura es .
Notese que y que .
Para cada tenemos un cilindro, de tal manera que la suma de los volumenes de estos cilindros es una aproximación al volumen del cuerpo de revolución que queremos calcular. Cuando hacemos tender a obtenemos el volumen del cuerpo de revolución que coicide con la siguiente integral
Ejemplo
Consideremos la función constante . Al hacer girar el trozo de la grafica de entre y obtenemos un cuerpo de revolución ( un cilindro de radio 5 y altura 7 ).
Utilizando la formula anterior se llega a que
que coincide con el resultado que se obtiene con la fórmula del volumen de un cilindro: