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La divisibilidad en los polinomios

De Wikillerato

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==Definición de polinomio DIVISIBLE por otro==
==Definición de polinomio DIVISIBLE por otro==
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</math>
</math>
</center>
</center>
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-
 
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==Simplificación de fracciones algebraicas==
 
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<br/>
 
-
 
-
Una '''''fracción algebraica''''' es el cociente de dos polinomios.
 
-
Para simplificar una fracción algebraica se divide los polinomios en el
 
-
numerador y en el denominador por su maximo común divisor.
 
-
Para encontrar el maximo común divisor de ambos polinomios se ha de factorizar
 
-
previamente ambos. El proceso es analogo al que se seguiria en el caso de
 
-
calcular el maximo común divisor de dos números naturales.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
En el proceso de descomposición de ambos polinomios es conveniente que los
 
-
polinomios irreducibles de la descomposición se elijan de manera que si &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es un polinomio irreducible de grado
 
-
<math>
 
-
n
 
-
</math> obtenido en la factorización de un polinomio,
 
-
entonces el coeficiente que multiplica a &nbsp;
 
-
<math>
 
-
x^n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; sea 1.
 
-
 
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<br/>
 
-
 
-
De esta manera se identifica mejor que polinomios irreducibles son divisores
 
-
comunes de ambos polinomios ( el polinomio del numerador y el polinomio del
 
-
denominador ).
 
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<br/>
 
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===Ejemplo===
 
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<br/>
 
-
 
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<center>
 
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<math>
 
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\frac{x^3 + x^2 + x}{x^2 - x} = \frac{x \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right)}{x
 
-
\cdot \left( \, x - 1 \, \right)} = \frac{x^2 + x + 1}{x - 1}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
El maximo común divisor de los polinomios en el denominador y en el numerador es,
 
-
en este caso,
 
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<math>
 
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x
 
-
</math>.
 
-
 
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[[Category:Matemáticas]]
 
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-
 
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<br/>
 
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==Procedimiento para factorizar un polinomio==
 
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<br/>
 
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1. Sacamos <math> x </math> factor común, si ello es posible, y tantas veces
 
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como se pueda.
 
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<br/>
 
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2. Si el polinomio &nbsp;
 
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<math>
 
-
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es de grado dos:
 
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<center>
 
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<math>
 
-
\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
resolvemos la ecuación
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c = 0
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
Si esta ecuación no tiene solución, el polinomio &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; es irreducible,
 
-
pero si la ecuación anterior tiene soluciones &nbsp;
 
-
<math>
 
-
r_1
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
r_2
 
-
</math>,
 
-
&nbsp; entonces podemos factorizar &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
 
-
</math>
 
-
&nbsp; de la siguiente manera:
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = a \cdot \left( \, x - r_1 \, \right) \cdot
 
-
\left( \, x - r_2 \, \right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
Puede ocurrir que &nbsp;
 
-
<math>
 
-
r_1
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y &nbsp;
 
-
<math>
 
-
r_2
 
-
</math>
 
-
&nbsp; coincidan ( sean iguales ).
 
-
 
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<br/>
 
-
 
-
Si el polinomio
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} +
 
-
\ldots + a_1 \cdot x + a_0
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<span
 
-
style = 'color:#00aa00'>
 
-
&bull;
 
-
</span> es de grado mayor que dos
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<span
 
-
style = 'color:#00aa00'>
 
-
&bull;
 
-
</span> sus coeficientes son enteros, y
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<span
 
-
style = 'color:#00aa00'>
 
-
&bull;
 
-
</span> <math> \frac{a_0}{a_n} </math> es un número entero
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
intentamos encontrar las raices reales del polinomio
 
-
<math>
 
-
\mathrm{P}
 
-
</math>
 
-
evaluandolo
 
-
en cada uno de los divisores de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\frac{a_0}{a_n}
 
-
</math>.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<math> \mathrm{P} \left( \, a \, \right) = 0 </math> &nbsp; si y solo si &nbsp;<math> x - a </math> &nbsp; es divisor de &nbsp; <math> \mathrm{P} \left( \, x \, \right) </math>.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Así, si llegado a un cierto punto en el proceso de factorización hemos encontrado racies &nbsp;
 
-
<math>
 
-
r_1, r_2, \ldots r_n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; del polinomio
 
-
<math>
 
-
\mathrm{P}
 
-
</math>,
 
-
entonces existe un polinomio
 
-
<math>
 
-
\mathrm{Q}
 
-
</math>
 
-
tal que
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = \left( \, x - r_1 \, \right) \cdot
 
-
\left( \, x - r_2 \, \right) \cdot \ldots \cdot \left( \, x - r_n \, \right)
 
-
\cdot \mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
e intentariamos descomponer mas
 
-
<math>
 
-
\mathrm{P}
 
-
</math>
 
-
factorizando
 
-
<math>
 
-
\mathrm{Q}
 
-
</math>.
 
-
 
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<br/>
 
-
 
-
===Ejemplo===
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Factorizemos el polinomio:
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
Como se puede sacar un
 
-
<math>
 
-
x
 
-
</math>
 
-
factor común, eso es lo primero que hacemos:
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x =
 
-
x \cdot \left( \, 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 \, \right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
A continuación factorizamos
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
2x^3 - 12x^2 + 22x - 12
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
Como se trata de un polinomio de grado mayor que dos y con coeficiente enteros, evaluamos este polinomio
 
-
en los divisores de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\frac{-12}{2} = 6
 
-
</math>:
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
1, \, -1, \, 2, \, -2, \, 3, \, -3, \, 4, \, -4, \, 6, \, -6, \, 12, \, -12
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
para ver
 
-
si podemos encontrar alguna de sus raices, encontrando que 3 es una raiz de &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
 
-
</math>,
 
-
&nbsp; es decir, &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\mathrm{P} \left( \, 3 \, \right) = 0
 
-
</math>,
 
-
&nbsp;
 
-
y que
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 = \left( \, x - 3 \, \right) \cdot
 
-
\left(
 
-
\, 2x^2 - 6x + 4 \,
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
Finalmente, factorizamos el polinomio
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
2x^2 - 6x + 4
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
resolviendo la ecuación
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
2x^2 - 6x + 4 = 0
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
cuyas soluciones son 2 y 1, de manera que
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
2x^2 - 6x + 4 = 2 \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x - 2 \, \right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
y, por tanto
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \,
 
-
x - 2 \, \right) \cdot \left( \, x - 3 \, \right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual


Tabla de contenidos

Definición de polinomio DIVISIBLE por otro


Un polinomio   \mathrm{P} \left( \, x \, \right)   es divisible por otro polinomio   \mathrm{Q} \left( \, x \, \right)   cuando existe otro polinomio   \mathrm{C} \left( \, x \, \right)   tal que

\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{C} \left( \, x \, \right)

Los polinomios   \mathrm{Q} \left( \, x \, \right)   y   \mathrm{C} \left( \, x \, \right)   se llaman divisores de   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, x \, </pre> <p>\right) .


Ejemplo


x^2 - 3x + 2 = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x - 2 \, \right)

Por lo tanto, el polinomio   x^2 - 3x + 2   es divisible por los polinomios   x - 1   y   x - 2 , o dicho de otra manera, los polinomios   x - 1   y   x - 2   son divisores del polinomio   x^2 - 3x + 2 .


Definición de polinomio IRREDUCIBLE


Un polinomio   \mathrm{P} \left( \, x \, \right)   de grado n > 0 se dice que es irreducible cuando ningún polinomio de grado menor que n y mayor que 0 es divisor de   \mathrm{P} \left( \, x \, \right) . 


Cualquier polinomio que no sea irreducible se puede descomponer en forma de producto de polinomios irreducibles.


Ejemplos


Los siguientes dos polinomios son irreducibles:

\begin{array}{l} </p> <pre>\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = x - 1 </pre> <p>\\ \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = x^2 + x + 1 \end{array}



Factorización de polinomios


Por factorización de un polinomio se entiende su descomposición en forma de producto de polinomios irreducibles.


Ejemplo


Una descomposición del polinomio  x^3 - 1   en producto de polinomios irreducibles es

x^3 - 1 = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right)

Otra posible descomposición del polinomio   x^3 - 1   en producto de polinomios irreducibles es

x^3 - 1 = \left( \, 2x - 2 \, \right) \cdot \left( \, \frac{1}{2} x^2 + </p> <pre> \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \, \right) </pre> <p>

De hecho, hay infinitas descomposiciones posibles. Para cualquier número real a distinto de 0, se tiene que

x^3 - 1 = \left( \, ax - a \, \right) \cdot \left( \, \frac{1}{a} x^2 + </p> <pre> \frac{1}{a} x + \frac{1}{a} \, \right) </pre> <p>


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