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Operaciones con sucesos

De Wikillerato

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Línea 1: Línea 1:
-
==Experimentos aleatorios==
+
==Inclusión e igualdad de sucesos==
-
 
+
<br/>
<br/>
-
 
-
Los fenómenos o experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados,
 
-
sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la
 
-
realización del experimento.
 
-
 
-
A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama
 
-
espacio muestral.
 
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<br/>
 
-
 
-
==Espacio muestral==
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
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Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados de un experimento o
 
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fenómeno aleatorio. Lo denotamos con la letra &nbsp;
 
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<math>
 
-
E
 
-
</math>
 
-
.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
====Ejemplo====
 
-
 
-
<br/>
 
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El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos
 
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obtenidos es:
 
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<br/>
 
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<center>
 
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<math>
 
-
E =
 
-
\left\{
 
-
\, 2, \, 3, \, 4 , \, 5, \, 6 , \, 7, \, 8, \, 9, \, 10, \, 11, \, 12 \,
 
-
\right\}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
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<br/>
 
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----
 
-
 
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<br/>
 
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==Sucesos==
 
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<br/>
 
-
 
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Suceso de un fenómeno aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral
 
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&nbsp;
 
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<math>
 
-
E
 
-
</math>
 
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. Para designar cualquier suceso, tambien llamado suceso aleatorio, de un experimento
 
-
aleatorio utilizaremos letras mayúsculas.
 
-
 
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Al conjunto de todos los sucesos que ocurren en un experimento aleatorio se le llama
 
-
espacio de sucesos y se designa por &nbsp;
 
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<math>
 
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S
 
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</math>
 
-
.
 
-
 
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<br/>
 
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====Ejemplo====
 
-
 
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<br/>
 
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En el ejemplo anterior, son subconjuntos de &nbsp;
 
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<math>
 
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E
 
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</math>:
 
-
 
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<br/>
 
-
 
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Salir múltiplo de 5: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
 
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<math>
 
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A =
 
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\left\{
 
-
\, 5, \, 10 \,
 
-
\right\}
 
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</math>
 
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&nbsp;
 
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<br/>
 
-
 
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Salir número primo: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
 
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<math>
 
-
B =
 
-
\left\{
 
-
\, 2, \, 3, \, 5, \, 7, \, 11 \,
 
-
\right\}
 
-
</math>
 
-
&nbsp;
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Salir mayor o igual que 10: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
 
-
<math>
 
-
C =
 
-
\left\{
 
-
\, 10, \, 11, \, 12 \,
 
-
\right\}
 
-
</math>
 
-
&nbsp;
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
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----
 
-
 
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<br/>
 
-
 
-
Analicemos los tipos mas frecuentes de sucesos.
 
-
 
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<br/>
 
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'''Sucesos elementales''' son los que están formados por un solo resultado del
 
-
experimento.
 
-
 
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<br/>
 
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'''Sucesos compuestos''' son los que estan formados por dos o más resultados del
 
-
experimento; es decir, por dos o más sucesos elementales.
 
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<br/>
 
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'''Suceso seguro''' es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está
 
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formado por todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el
 
-
espacio muestral.
 
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<br/>
 
-
 
-
'''Suceso imposible''' es el que nunca se verifica. Se representa por &nbsp;
 
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<math>
 
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\emptyset
 
-
</math>
 
-
.
 
-
 
-
%% }}}
 
-
%% {{{ =Operaciones con sucesos
 
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==Inclusión e igualdad de sucesos
 
Un suceso &nbsp;
Un suceso &nbsp;
Línea 153: Línea 6:
A
A
</math>
</math>
-
&nbsp; esta incluido ( contenido ) en otro suceso &nbsp;
+
&nbsp; está incluido (o contenido) en otro suceso &nbsp;
<math>
<math>
B
B
</math>
</math>
-
&nbsp; si todo suceso elemental de &nbsp;
+
&nbsp; si todo suceso elemental perteneciente a &nbsp;
<math>
<math>
A
A
</math>
</math>
-
&nbsp; pertenece también a &nbsp;
+
&nbsp; , pertenece también a &nbsp;
<math>
<math>
B
B
</math>
</math>
-
. Se representa por &nbsp;
+
. Esta inclusión se representa por &nbsp;
<math>
<math>
-
A \in B
+
A \subset B
</math>
</math>
.
.
Línea 173: Línea 26:
<br/>
<br/>
-
Dos suceso &nbsp;
+
Dos sucesos &nbsp;
<math>
<math>
A
A
Línea 181: Línea 34:
B
B
</math>
</math>
-
&nbsp; son iguales si están formados por los mismos sucesos elementales. Se representa
+
&nbsp; son iguales si están formados por los mismos sucesos elementales. Ocurre que: <math>
-
por &nbsp;
+
A \subset B
 +
</math> y <math>
 +
B \subset A
 +
</math>. Se representa
 +
por: &nbsp;
<math>
<math>
A = B
A = B
Línea 202: Línea 59:
B
B
</math>
</math>
-
&nbsp; de un mismo experimento aleatorio, llamamos '''suceso unión de &nbsp;
+
&nbsp; de un mismo experimento aleatorio, llamamos '''suceso unión''' de &nbsp;
<math>
<math>
A
A
Línea 210: Línea 67:
B
B
</math>
</math>
-
''' al suceso que se realiza cuando lo hacen &nbsp;
+
&nbsp; al suceso que se realiza cuando lo hacen &nbsp;
<math>
<math>
A
A
Línea 220: Línea 77:
. Se representa por &nbsp;
. Se representa por &nbsp;
<math>
<math>
-
A \cap B
+
A \cup B
</math>
</math>
.
.
Línea 238: Línea 95:
B
B
</math>
</math>
-
&nbsp; de un mismo experimento aleatorio, llamamos '''suceso intersección de &nbsp;
+
&nbsp; de un mismo experimento aleatorio, llamamos '''suceso intersección''' de &nbsp;
<math>
<math>
A
A
Línea 246: Línea 103:
B
B
</math>
</math>
-
''' al suceso que se realiza cuando lo hacen &nbsp;
+
&nbsp; al suceso que se realiza cuando lo hacen &nbsp;
<math>
<math>
A
A
Línea 254: Línea 111:
B
B
</math>
</math>
-
. Se representa por &nbsp;
+
. Este suceso intersección está formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a
<math>
<math>
-
A \cup B
+
A
 +
</math>
 +
&nbsp; y a &nbsp;
 +
<math>
 +
B
 +
</math>, al mismo tiempo. Se representa por &nbsp;
 +
<math>
 +
A \cap B
</math>
</math>
.
.
 +
 +
<br/>
Cuando &nbsp;
Cuando &nbsp;
<math>
<math>
-
A \cup B
+
A \cap B
</math>
</math>
-
&nbsp; es el suceso imposible, decimos que los sucesos &nbsp;
+
&nbsp; es el suceso imposible, es decir, no hay ningún suceso elemental que pertenezca a A y a B al mismo tiempo, decimos que los sucesos &nbsp;
<math>
<math>
A
A
Línea 272: Línea 138:
B
B
</math>
</math>
-
&nbsp; son incompatibles. Cuando no sucede esto, decimos que &nbsp;
+
&nbsp; son incompatibles. Su intersección, como conjuntos, es igual al conjunto vacío.
 +
(<math> A \cap B = \emptyset </math>)
 +
 
 +
En caso contrario, es decir, si la intersección es no vacía, decimos que &nbsp;
<math>
<math>
A
A
Línea 286: Línea 155:
==Sucesos contrarios==
==Sucesos contrarios==
 +
<br/>
Cuando la unión de dos sucesos es el espacio muestral y la intersección de los mismos
Cuando la unión de dos sucesos es el espacio muestral y la intersección de los mismos
-
conjuntos da el conjunto imposible, decimos que ambos sucesos son complementarios o
+
conjuntos da el suceso imposible (conjunto vacío), decimos que ambos sucesos son complementarios o
contrarios.
contrarios.
 +
 +
<br/>
Para un suceso cualquiera &nbsp;
Para un suceso cualquiera &nbsp;
Línea 302: Línea 174:
A
A
</math>
</math>
-
, &nbsp; y reciprocamente. Se representa por &nbsp;
+
, &nbsp; y viceversa. Se representa por &nbsp;
<math>
<math>
\overline{A}
\overline{A}
Línea 310: Línea 182:
<br/>
<br/>
-
En cualquier experimento aleatorio, todo suceso que se considere tiene su contrario. Las
+
En cualquier espacio muestral, obtenido de la realización de un experimento aleatorio, todo suceso que se considere tiene su contrario. Las
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propiedades mas significativas de los sucesos contrarios son:
+
propiedades más significativas de los sucesos contrarios son:
<br/>
<br/>
Línea 321: Línea 193:
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
donde <math>
 +
E
 +
</math>
 +
representa el suceso seguro, compuesto por todos los sucesos elementales del espacio muestral.
<br/>
<br/>
Línea 328: Línea 207:
<br/>
<br/>
-
La union y la interseccion de sucesos verifican las propiedades conmutativa, asociativa,
+
La unión y la intersección de sucesos verifican las propiedades siguientes: conmutativa, asociativa,
-
idempotente, simplificación, distributiva, existencia de elemento neutro y absorción.
+
idempotente, simplificación, distributiva, existencia de elemento neutro y absorción:
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<br/>
[[Image:tabla2.gif]]
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 +
 +
[[Categoría:Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Inclusión e igualdad de sucesos


Un suceso   A   está incluido (o contenido) en otro suceso   B   si todo suceso elemental perteneciente a   A   , pertenece también a   B . Esta inclusión se representa por   A \subset B .


Dos sucesos   A   y   B   son iguales si están formados por los mismos sucesos elementales. Ocurre que: A \subset B y B \subset A . Se representa por:   A = B .


Unión de sucesos


Si tenemos dos sucesos   A   y   B   de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso unión de   A   y   B   al suceso que se realiza cuando lo hacen   A   o   B . Se representa por   A \cup B .


Intersección de sucesos


Si tenemos dos sucesos   A   y   B   de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso intersección de   A   y   B   al suceso que se realiza cuando lo hacen   A   y   B . Este suceso intersección está formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A   y a   B , al mismo tiempo. Se representa por   A \cap B .


Cuando   A \cap B   es el suceso imposible, es decir, no hay ningún suceso elemental que pertenezca a A y a B al mismo tiempo, decimos que los sucesos   A   y   B   son incompatibles. Su intersección, como conjuntos, es igual al conjunto vacío. ( A \cap B = \emptyset )

En caso contrario, es decir, si la intersección es no vacía, decimos que   A   y   B   son compatibles.


Sucesos contrarios


Cuando la unión de dos sucesos es el espacio muestral y la intersección de los mismos conjuntos da el suceso imposible (conjunto vacío), decimos que ambos sucesos son complementarios o contrarios.


Para un suceso cualquiera   A   de un experimento aleatorio, llamamos suceso contrario del suceso   A   al suceso que se verifica cuando no se verifica   A ,   y viceversa. Se representa por   \overline{A} .


En cualquier espacio muestral, obtenido de la realización de un experimento aleatorio, todo suceso que se considere tiene su contrario. Las propiedades más significativas de los sucesos contrarios son:


A \cup \overline{A} = E \qquad A \cap \overline{A} = \emptyset \qquad \overline{E} = \emptyset \qquad \overline{\emptyset} = E


donde E representa el suceso seguro, compuesto por todos los sucesos elementales del espacio muestral.


Algebra de Boole de sucesos


La unión y la intersección de sucesos verifican las propiedades siguientes: conmutativa, asociativa, idempotente, simplificación, distributiva, existencia de elemento neutro y absorción:


Image:tabla2.gif

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