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Teorema de Bayes

De Wikillerato

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==Definicion==
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==Enunciado==
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{{teorema|1=Sean &nbsp;
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Llamamos '''''probabilidad condicionada''''' del suceso &nbsp;
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<math>
<math>
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B
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A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \,
</math>
</math>
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&nbsp; respecto del suceso &nbsp;
+
&nbsp; sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos, y sea &nbsp;
<math>
<math>
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A
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B
</math>
</math>
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, y lo denotamos por &nbsp;
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&nbsp; un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{P}
\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, B \, \left| \, A \, \, \right.
+
\, B \, \left| \, A_i \, \right.
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\right)
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</math> Entonces las probabilidades &nbsp;
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\mathrm{P}
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\left(
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\, A_i \, \left| \, B \, \right.
\right)
\right)
</math>
</math>
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&nbsp; al cociente
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&nbsp; vienen dadas por la expresión:
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\mathrm{P}
\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, B \, \left| \, A \, \right.
+
\, A_i \, \left| \, B \, \right.
\right)
\right)
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\, = \,
+
\, = \, \frac
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\frac
+
{
{
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\mathrm{P}
+
\mathrm{P}
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\left(
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\, A_i \,
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\right)
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\cdot \mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, A \, \cap \, B \,
+
\, B \, \left| \, A_i \, \right.
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}
}
{
{
-
\mathrm{P} \left( \, A \, \right)
+
\mathrm{P}
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\left(
 +
\, A_1 \,
 +
\right)
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\cdot \mathrm{P}
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\left(
 +
\, B \, \left| \, A_1 \, \right.
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\right)
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\, + \,
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\mathrm{P}
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\left(
 +
\, A_2 \,
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\right)
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\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, B \, \left| \, A_2 \, \right.
 +
\right)
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\, + \, \ldots \, + \,
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\mathrm{P}
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\left(
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\, A_n \,
 +
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\cdot \mathrm{P}
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\left(
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\, B \, \left| \, A_n \, \right.
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==Ejemplo==
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==Demostración==
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Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los
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Por definición de probabilidad condicionada
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dados haya salido un tres?
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Sean los sucesos &nbsp;
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A
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\mathrm{P}
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\left(
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\, A_i \, \cap \, B \,
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\, = \,
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\mathrm{P}
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\, A_i \,
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\cdot \mathrm{P}
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\left(
 +
\, B \, \left| \, A_i \, \right.
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\, = \, \mathrm{P}
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\left(
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\, B \,
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\cdot \mathrm{P}
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\left(
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&nbsp; = "la suma de los puntos es siete" y
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despejando &nbsp;
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B
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\mathrm{P}
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\left(
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\, A_i \, \left| \, B \, \right.
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&nbsp; = "en alguno de los dados ha salido un tres"
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, se tiene:
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El suceso &nbsp;
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B \, \left| \, A \, \right.
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\mathrm{P}
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\, A_i \, \left| \, B \, \right.
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\, = \, \frac
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\cdot \mathrm{P}
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\mathrm{P}
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\left(
 +
\, B \,
 +
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&nbsp; es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación
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ocurre en las parejas &nbsp;
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La probabilidad &nbsp;
<math>
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\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, 3, \, 4 \,
+
\, B \,
\right)
\right)
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&nbsp; y &nbsp;
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, por el teorema de la probabilidad total, es igual a
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\mathrm{P}
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\, A_1 \,
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\cdot \mathrm{P}
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 +
\, B \, \left| \, A_1 \, \right.
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\, + \,
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\mathrm{P}
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\left(
 +
\, A_2 \,
 +
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\cdot \mathrm{P}
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\left(
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\, B \, \left| \, A_2 \, \right.
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\, + \, \ldots \, + \,
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\mathrm{P}
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\left(
 +
\, A_n \,
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\right)
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\cdot \mathrm{P}
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\left(
 +
\, B \, \left| \, A_n \, \right.
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\right)
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Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.
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==Ejemplo==
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Tenemos tres urnas: &nbsp;
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U_1
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&nbsp; con tres bolas rojas y cinco negras, &nbsp;
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U_2
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&nbsp; con dos bolas rojas y una negra y &nbsp;
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 +
U_3
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</math>
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&nbsp; con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una
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bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna
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&nbsp;
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U_1
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?
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Llamamos &nbsp;
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R
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</math>
 +
&nbsp; al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es &nbsp;
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<math>
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\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, 4, \, 3 \,
+
\, U_1 \, \left| \, R \, \, \right.
\right)
\right)
</math>
</math>
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. Por tanto,
+
. Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:
<br/>
<br/>
Línea 96: Línea 246:
\mathrm{P}
\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, B \, \left| \, A \, \right.
+
\, U_1 \, \left| \, R \, \, \right.
\right)
\right)
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\, = \, \frac{2}{6} \, = \, \frac{1}{3}
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\, = \,
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\, = \, \frac
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\mathrm{P}
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\left(
 +
\, U_1 \,
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\right)
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\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, R \, \left| \, U_1 \, \right.
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\right)
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}
 +
{
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, U_1 \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, R \, \left| \, U_1 \, \right.
 +
\right)
 +
\, + \,
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, U_2 \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, R \, \left| \, U_2 \, \right.
 +
\right)
 +
\, + \,
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, U_3 \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, R \, \left| \, U_3 \, \right.
 +
\right)
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}
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}
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<br/>
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<center>
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<math>
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\, = \, \frac
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{
 +
\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8}
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}
 +
{
 +
\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \, + \, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \, + \,
 +
\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}
 +
}
</math>
</math>
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</center>
Línea 104: Línea 316:
<br/>
<br/>
-
[[Category:Matemáticas]]
+
[[Category: Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos


Enunciado

Sean   A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \,   sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos, y sea   B   un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right. </pre> <p>\right) Entonces las probabilidades   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> <p>\right)   vienen dadas por la expresión:


\mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> <p>\right) \, = \, \frac { </p> <pre> \mathrm{P} \left( \, A_i \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_i \, \right. \right) </pre> <p>} { </p> <pre> \mathrm{P} \left( \, A_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_2 \, \right. \right) \, + \, \ldots \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_n \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_n \, \right. \right) </pre> <p>}





Demostración


Por definición de probabilidad condicionada


\mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, \cap \, B \, </pre> <p>\right) \, = \, \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right. </pre> <p>\right) \, = \, \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, B \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> <p>\right)


despejando   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> <p>\right) , se tiene:


\mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> <p>\right) \, = \, \frac { </p> <pre> \mathrm{P} \left( \, A_i \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_i \, \right. \right) </pre> <p>} { </p> <pre> \mathrm{P} \left( \, B \, \right) </pre> <p>}


La probabilidad   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, B \, </pre> <p>\right) , por el teorema de la probabilidad total, es igual a


</p> <pre> \mathrm{P} \left( \, A_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_2 \, \right. \right) \, + \, \ldots \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_n \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_n \, \right. \right) </pre> <p>


Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.


Ejemplo


Tenemos tres urnas:   U_1   con tres bolas rojas y cinco negras,   U_2   con dos bolas rojas y una negra y   U_3   con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna   U_1 ?


Llamamos   R   al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right. </pre> <p>\right) . Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:


\mathrm{P} \left( </p> <pre> \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right. </pre> <p>\right) \, = \,


\, = \, \frac { </p> <pre> \mathrm{P} \left( \, U_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_1 \, \right. \right) </pre> <p>} { </p> <pre> \mathrm{P} \left( \, U_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, U_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_2 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, U_3 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_3 \, \right. \right) </pre> <p>} }


\, = \, \frac { </p> <pre> \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} </pre> <p>} { </p> <pre> \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \, + \, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \, + \, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} </pre> <p>}


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