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Teorema de Rouche-Fröbenius
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Enunciado
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ecuaciones lineales con
incógnitas es compatible (tiene solución) si, y sólo si, el
Si el sistema es compatible, existen dos posibilidades:
- Que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el numero de incógnitas.
- Que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al numero de incognitas.
En el primer caso el sistema es compatible indeterminado y en el segundo caso el sistema es compatible determinado.
Ejemplo:sistemas homogéneos
En un sistema de ecuaciones homogéneo, la columna de los términos independientes es nula, de manera que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada coinciden. Esto implica, a su vez, por el teorema de Rouché-Fröbenius, que un sistema homogéneo siempre es compatible. En cualquier sistema homogéneo, siempre podemos obtener una solución particular -llamada solución trivial- igualando todas las incógnitas a 0.
