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Continuidad de una función

De Wikillerato

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Una función  
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==Definiciones==
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Una función &nbsp;<math>
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\mathrm{f}
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</math> &nbsp; es '''''continua''''' en &nbsp; <math>
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x \, = \, x_0
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</math> &nbsp; si y solo si &nbsp; <math>
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\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \,
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\mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)
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Una función
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\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
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&nbsp; es '''''continua''''' en el punto &nbsp;
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es '''''continua en un intervalo'''''&nbsp;
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x \, = \, x_0
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\left(
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\, a, \, b \,
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\right)
</math>
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&nbsp; si &nbsp;
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&nbsp; si y solo si
<math>
<math>
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\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \,
+
\mathrm{f}
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\mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)
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</math>
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es continua en
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x, \, \forall x \in \left( \, a, \, b \, \right)
</math>.
</math>.
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El que una función &nbsp;
 
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\mathrm{f}
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\forall
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&nbsp; sea continua en el punto &nbsp;
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es un simbolo matematico que significa '''''para todo'''''.
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Se dice que una función &nbsp;
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x \, = \, x_0
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; implica que &nbsp;
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&nbsp; es '''''continua''''' si y solo si es continua en cada
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\mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)
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x
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&nbsp; existe y que &nbsp;
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de su dominio.
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==¿Donde es f continua?==
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Para determinar si una función
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\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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\mathrm{f}
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es continua en &nbsp;
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<math>
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x = x_0
</math>
</math>
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&nbsp; tambien existe.
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&nbsp; comprobaremos que se verifican todas y cada una de las condiciones siguientes:
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Una función es '''''continua en un intervalo''''' si es continua en todos los puntos del
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====Condición 1.====
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intervalo.
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Existe &nbsp; <math>
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\mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)
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</math>,
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&nbsp; es decir, &nbsp; <math>
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x_0
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</math>
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&nbsp; esta en el dominio de <math>
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\mathrm{f}
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</math>.
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Una función es '''''continua en todo su dominio''''' cuando lo es en todos los puntos que
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====Condición 2.====
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lo componen.
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Existe &nbsp; <math>
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\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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</math>.
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<br/>
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====Condición 3.====
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Ambos, &nbsp; <math>
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\mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)
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</math> &nbsp; y &nbsp; <math>
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\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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</math>
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&nbsp;
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son iguales.
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<br/>
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==Ejercicios resueltos==
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{{problemas}}* [http://www.selectividad.tv/S_M_2_1_16_S_continuidad_y_derivabilidad_de_una_funcion.html Continuidad y derivabilidad de una función]
 +
* [http://www.selectividad.tv/S_M_2_1_2_S_continuidad_y_derivabilidad_de_una_funcion_definida_a_trozos.html Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]
[[Category:Matemáticas]]
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Revisión actual

Tabla de contenidos


Definiciones


Una función  
\mathrm{f}
   es continua en   
x \, = \, x_0
   si y solo si   
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \,
\mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)
.


Una función \mathrm{f} es continua en un intervalo  \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right)   si y solo si \mathrm{f} es continua en x, \, \forall x \in \left( \, a, \, b \, \right) .


\forall es un simbolo matematico que significa para todo.


Se dice que una función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   es continua si y solo si es continua en cada x de su dominio.


¿Donde es f continua?


Para determinar si una función \mathrm{f} es continua en   x = x_0   comprobaremos que se verifican todas y cada una de las condiciones siguientes:


Condición 1.

Existe   \mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right) ,   es decir,   x_0   esta en el dominio de \mathrm{f} .


Condición 2.

Existe   \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) .


Condición 3.

Ambos,   \mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)   y   \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   son iguales.


Ejercicios resueltos

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