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Desarrollo de un determinante

De Wikillerato

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En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de
En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de
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cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de '''''menor complementario''''', '''''adjunto''''' y '''''matriz adjunta'''''.
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cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de '''''menor complementario''''' y '''''adjunto'''''.
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==Menor complementario==
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==Menores complementarios y adjuntos==
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Para una matriz cuadrada de orden &nbsp;
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En una matriz cuadrada de orden &nbsp;
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n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right),
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n, \, \mathbf{A} = \left( \, a_{ij} \, \right),
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&nbsp; se llama '''''menor complementario''''' del elemento &nbsp;
&nbsp; se llama '''''menor complementario''''' del elemento &nbsp;
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de la matriz &nbsp;
de la matriz &nbsp;
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A
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\mathbf{A}
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Se llama '''''adjunto''''' del elemento &nbsp;
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a_{ij}
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&nbsp; y lo representamos por &nbsp;
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A_{ij},
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&nbsp; al producto &nbsp;
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\left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
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A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
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==Matriz adjunta==
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y sus adjuntos son:
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Para una matriz cuadrada de orden &nbsp;
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n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right),
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&nbsp; se llama '''''adjunto''''' del elemento &nbsp;
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a_{ij},
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&nbsp; y lo representamos por &nbsp;
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A_{ij},
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&nbsp; al producto &nbsp;
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\left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
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A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
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La matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada
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&nbsp; se llama '''''matriz adjunta''''' de &nbsp;
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&nbsp; y se denota por &nbsp;
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\makebox{Adj} \left( A \right)
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===Ejemplo===
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Los adjuntos de la matriz &nbsp;
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&nbsp; del ejemplo anterior son:
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La matriz adjunta de &nbsp;
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==Desarrollo de un determinante==
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&nbsp; es
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El determinante de una matriz cuadrada de orden &nbsp; <math> n </math> &nbsp; es igual a la suma de los productos de los elementos
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de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Es decir:
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\makebox{Adj} \left( A \right) =
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\left| \, \mathbf{A} \, \right| \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}
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\left(
+
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\begin{array}{ccc}
+
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-3 & ~~~6 & -3
+
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\\
+
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~~6 & -12 & ~~6
+
\left| \, \mathbf{A} \, \right| \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}
-
\\
+
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-3 & ~~~6 & -3
+
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\end{array}
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\right)
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El determinante de una matriz cuadrada de orden &nbsp; <math> n </math> &nbsp; es igual a la suma de los productos de los elementos
 
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de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Simbolicamente:
 
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\makebox{det} \left( \, A \, \right) \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}
 
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\makebox{det} \left( \, A \, \right) \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}
 
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[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de menor complementario y adjunto.


Menores complementarios y adjuntos


En una matriz cuadrada de orden   n, \, \mathbf{A} = \left( \, a_{ij} \, \right),   se llama menor complementario del elemento   a_{ij},   y lo representamos por   \alpha_{ij},   al determinante de la matriz cuadrada de orden   n - 1   que resulta de suprimir la fila   i   y la columna   j   de la matriz   \mathbf{A}


Se llama adjunto del elemento   a_{ij} ,   y lo representamos por   A_{ij},   al producto   \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij} :


A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}


Ejemplo


Los menores complementarios de la matriz


\mathbf{A} = \left( </p> <pre> \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} </pre> <p>\right)


son


\begin{array}{ccc} \alpha_{11} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{12} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{13} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} </pre> <p>\right| \\ & & \\ \alpha_{21} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{22} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{23} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array} </pre> <p>\right| \end{array}


\begin{array}[c]{ccc} \alpha_{31} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{32} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{33} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} </pre> <p>\right| \end{array}


y sus adjuntos son:


\begin{array}{ccccccccccc} A_{11} & = & -3 & \qquad & A_{12} & = & ~~~6 & \qquad & A_{13} & = & -3 \\ A_{21} & = & ~~6 & \qquad & A_{22} & = & -12 & \qquad & A_{23} & = & ~~6 \\ A_{31} & = & -3 & \qquad & A_{32} & = & ~~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3 &\end{array}


Desarrollo de un determinante


El determinante de una matriz cuadrada de orden   n   es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Es decir:


\left| \, \mathbf{A} \, \right| \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}

\left| \, \mathbf{A} \, \right| \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}


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