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Cálculo del rango de una matriz

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (07:53 2 oct 2010) (editar) (deshacer)
 
(5 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
-
A una matriz cuadrada le podemos asociar un número que, como veremos con posterioridad,
+
==Definición de menor de una matriz==
-
nos permitirá estudiar y resolver un sistema de ecuaciones lineales y examinar si una
+
-
matriz dada posee matriz inversa y calcularla.
+
-
Este número que vamos a asociar a una matriz cuadrada lo llamaremos determinante de dicha
+
<br/>
-
matriz. Veamos su calculo para matrices cuadradas de orden 2, y con posterioridad
+
-
calcularemos determinantes de matrices cuadradas de cualquier orden.
+
-
Para una matriz cuadrada de orden 2, &nbsp;
+
Se llama '''''menor de orden k''''' de una matriz
<math>
<math>
-
A =
+
\mathbf{A}
-
\left(
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
a_{11} & a_{12}
+
-
\\
+
-
a_{21} & a_{22}
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
</math>
</math>
-
&nbsp; se llama determinante de &nbsp;
+
al determinante de orden k que está formado por los elementos que pertenecen a k
 +
filas y a k columnas de la matriz &nbsp;
<math>
<math>
-
A
+
\mathbf{A}
-
</math>
+
</math>.
-
&nbsp; al número real:
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
En este determinante los elementos de
<math>
<math>
-
\makebox{det} \left( A \right) = \left| A \right| =
+
\mathbf{A}
-
\left|
+
-
\begin{array}{cc}
+
-
a_{11} & a_{12}
+
-
\\
+
-
a_{21} & a_{22}
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
= a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}
+
</math>
</math>
-
</center>
+
conservan las posiciones relativas que tienen en la matriz
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
[[Category:Matemáticas]]
+
Es decir, si la fila de
-
 
+
-
%% }}}
+
-
%% {{{ =Propiedades de los determinantes
+
-
En lo que sigue consideraremos &nbsp;
+
<math>
<math>
-
A
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; como una matriz cuadrada de orden &nbsp;
+
en la que se encuentra
<math>
<math>
-
n;
+
a
</math>
</math>
-
&nbsp; &nbsp;
+
esta por encima de la fila de &nbsp;
<math>
<math>
-
F_i
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
&nbsp; en la que se encuentra
 +
<math>
 +
b
 +
</math>,
 +
entonces, en los menores de
<math>
<math>
-
C_j
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; una fila y una columna cualesquiera de esa matriz.
+
en los que aparezcan
-
El determinante de una matriz lo podemos ver como una función de sus filas
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\makebox{det} \left( A \right) = \left| A \right| =
+
a
-
\makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_n \right)
+
</math>
</math>
-
</center>
+
y
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
o de sus columnas
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\makebox{det} \left( A \right) = \left| A \right| =
+
b
-
\makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, C_n \right)
+
</math>,
 +
la fila en la que se encuentra
 +
<math>
 +
a
</math>
</math>
-
</center>
+
va a estar por encima de la fila en la que se encuentra
 +
<math>
 +
b
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
Las propiedades mas importantes de los determinantes son:
+
Analogamente, si la columna de
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su matriz
+
-
traspuesta.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\makebox{det} \left( A \right) = \makebox{det} \left( A^t \right)
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
</center>
+
en la que se encuentra
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
2. Si los elementos de una línea o columna de una matriz se multiplican por un número, el
+
-
determinante de la matriz queda multiplicado por dicho numero:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, t \cdot C_j, \, \ldots, \, C_n \right)
+
a
-
= t \cdot
+
-
\makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, C_j, \, \ldots, \, C_n \right)
+
</math>
</math>
-
</center>
+
esta a la derecha de la columna de &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, t \cdot F_i, \, \ldots, \, F_n \right)
+
\mathbf{A}
-
= t \cdot
+
-
\makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_i, \, \ldots, \, F_n \right)
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; en la que se encuentra
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
3. Si todas las lineas de una matriz de orden &nbsp;
+
<math>
<math>
-
n
+
b
 +
</math>,
 +
entonces, en los menores de
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; están multiplicadas por un mismo número &nbsp;
+
en los que aparezcan
<math>
<math>
-
t
+
a
</math>
</math>
-
&nbsp; el determinante de la matriz queda multiplicado por &nbsp;
+
y
 +
<math>
 +
b
 +
</math>,
 +
la columna en la que se encuentra
<math>
<math>
-
t^n:
+
a
</math>
</math>
 +
va a estar a la derecha de la columna en la que se encuentra
 +
<math>
 +
b
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
<center>
+
==Teorema==
-
<math>
+
-
\left| t \cdot A \right| = t^n \cdot \left| A \right|
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
4.
+
El '''''rango de una matriz''''' es el orden del mayor menor no nulo que podemos obtener de esta matriz.
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, C_j + C_j^\prime, \, \ldots, \, C_n \,
+
-
\right)
+
-
\, = \,
+
-
</math>
+
<br/>
<br/>
-
<math>
+
Es decir, si el rango de una matriz es k, entonces todos los menores de orden superior a k son
-
\makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, C_j, \, \ldots, \, C_n \, \right)
+
nulos.
-
\, + \,
+
-
\makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, C_j^\prime, \, \ldots, \, C_n \, \right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
Siendo esto así, el procedimiento que describimos a continuacion nos permite
 +
calcular el rango de una matriz
<math>
<math>
-
\makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_i + F_i^\prime, \, \ldots, \, F_n \,
+
\mathbf{A}
-
\right)
+
-
\, = \,
+
</math>
</math>
-
 
+
independientemente de como sea la matriz
-
<br/>
+
-
 
+
<math>
<math>
-
\, = \, \makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_i, \, \ldots, \, F_n \, \right)
+
\mathbf{A}
-
\, + \,
+
</math>.
-
\makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_i^\prime, \, \ldots, \, F_n \, \right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
5. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los
+
==Calculo del rango de una matriz por menores==
-
determinantes de ambas matrices:
+
<br/>
<br/>
-
<center>
+
Sea &nbsp;
<math>
<math>
-
\makebox{det} \left( A \cdot B \right) = \makebox{det} \left( A \right) \cdot \makebox{det}
+
k_{max}
-
\left( B \right)
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; el orden de los menores de mayor orden de la matriz
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
6. Si en una matriz cuadrada se permutan dos lineas, su determinante cambia de signo:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
<math>
<math>
-
\makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_i, \, \ldots, \, F_j, \, \ldots, \,
+
k_{max}
-
F_n \, \right)
+
-
= -\makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_j, \, \ldots, \, F_i, \, \ldots,
+
-
\, F_n \, \right)
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; es el número de filas o el número de columnas de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{A}
 +
</math>,
 +
&nbsp;
 +
lo que sea mayor.
<br/>
<br/>
-
7. Si una línea de una matriz cuadrada es combinacion lineal de las lineas restantes, es
+
Empezando por &nbsp;
-
decir, es el resultado de sumar los elementos de otras lineas multiplicadas por números
+
-
reales, su determinante es cero. Consecuencia inmediata de esta propiedad es que si una
+
-
matriz tiene una línea de ceros su determinante es cero.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
8. Si a los elementos de una línea de una matriz cuadrada se les suma una combinacion
+
-
lineal de las líneas restantes, su determinante no varia.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
El metodo de Chío consiste en hacer cero el mayor número posible de elementos de una
+
-
línea utilizando las propiedad anterior de los determinantes y posteriormente desarrollar
+
-
el determinante por los adjuntos de los elementos de esa linea en la que hemos hecho
+
-
ceros.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
[[Category:Matemáticas]]
+
-
%% }}}
+
-
%% {{{ =Desarrollo de un determinante
+
-
 
+
-
En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de
+
-
cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de '''''menor complementario''''', '''''adjunto''''' y '''''matriz adjunta'''''.
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
==Menor complementario==
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Para una matriz cuadrada de orden &nbsp;
+
<math>
<math>
-
n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right),
+
k = k_{max}
</math>
</math>
-
&nbsp; se llama '''''menor complementario''''' del elemento &nbsp;
+
&nbsp; y continuando con &nbsp;
<math>
<math>
-
a_{ij},
+
k = k_{max} - 1, \, \ldots, \, k = 2, \, k = 1
-
</math>
+
</math>,
-
&nbsp; y lo representamos por &nbsp;
+
&nbsp; para cada valor de
<math>
<math>
-
\alpha_{ij},
+
k
</math>
</math>
-
&nbsp; al determinante de la matriz cuadrada de orden &nbsp;
+
se comprueba si algún menor de orden
<math>
<math>
-
n - 1
+
k
</math>
</math>
-
&nbsp; que resulta de suprimir la fila &nbsp;
+
es cero o no.
-
<math>
+
 
-
i
+
<br/>
-
</math>
+
 
-
&nbsp; y la columna &nbsp;
+
Si considerando distintos valores de
<math>
<math>
j
j
</math>
</math>
-
&nbsp;
+
en este orden, encontramos que algún menor de orden
-
de la matriz &nbsp;
+
<math>
<math>
-
A
+
k
</math>
</math>
-
 
+
es distinto de cero, entonces el rango de
-
<br/>
+
-
 
+
-
===Ejemplo===
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Los menores complementarios de la matriz
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
A =
+
\mathbf{A}
-
\left(
+
-
\begin{array}{ccc}
+
-
1 & 2 & 3
+
-
\\
+
-
4 & 5 & 6
+
-
\\
+
-
7 & 8 & 9
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
</math>
</math>
-
</center>
+
seria
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
son
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\begin{array}{ccc}
+
k
-
\alpha_{11} =
+
</math>,
-
\left|
+
en caso contrario el rango de
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
5 & 6
+
-
\\
+
-
8 & 9
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
&
+
-
\qquad \alpha_{12} =
+
-
\left|
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
4 & 6
+
-
\\
+
-
7 & 9
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
&
+
-
\qquad \alpha_{13} =
+
-
\left|
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
4 & 5
+
-
\\
+
-
7 & 8
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
\\
+
-
& &
+
-
\\
+
-
\alpha_{21} =
+
-
\left|
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
2 & 3
+
-
\\
+
-
8 & 9
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
&
+
-
\qquad \alpha_{22} =
+
-
\left|
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
1 & 3
+
-
\\
+
-
7 & 9
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
&
+
-
\qquad \alpha_{23} =
+
-
\left|
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
1 & 2
+
-
\\
+
-
7 & 8
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
\end{array}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\begin{array}[c]{ccc}
+
\mathbf{A}
-
\alpha_{31} =
+
-
\left|
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
2 & 3
+
-
\\
+
-
5 & 6
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
&
+
-
\qquad \alpha_{32} =
+
-
\left|
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
1 & 3
+
-
\\
+
-
4 & 6
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
&
+
-
\qquad \alpha_{33} =
+
-
\left|
+
-
\begin{array}[c]{cc}
+
-
1 & 2
+
-
\\
+
-
4 & 5
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
\end{array}
+
</math>
</math>
-
</center>
+
seria menor de
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
==Matriz adjunta==
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Para una matriz cuadrada de orden &nbsp;
+
<math>
<math>
-
n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right),
+
k
</math>
</math>
-
&nbsp; se llama '''''adjunto''''' del elemento &nbsp;
+
y habria que considerar un valor
<math>
<math>
-
a_{ij},
+
k
-
</math>
+
-
&nbsp; y lo representamos por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A_{ij},
+
</math>
</math>
-
&nbsp; al producto &nbsp;
+
una unidad menor &nbsp;
<math>
<math>
-
\left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
+
\left( \, k - 1 \rightarrow k \, \right)
-
</math>, &nbsp; es decir:
+
</math>.
<br/>
<br/>
-
<center>
+
Si no encontramos ningun valor de
<math>
<math>
-
A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
+
k
</math>
</math>
-
</center>
+
entero positivo y menor que
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
La matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada
+
-
&nbsp;
+
<math>
<math>
-
A
+
k_{max}
</math>
</math>
-
&nbsp; se llama '''''matriz adjunta''''' de &nbsp;
+
, &nbsp; tal que todos los menores de orden
<math>
<math>
-
A
+
k
</math>
</math>
-
&nbsp; y se denota por &nbsp;
+
de
<math>
<math>
-
\makebox{Adj} \left( A \right)
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp;
+
sean cero,
 +
entonces el rango de
 +
<math>
 +
\mathbf{A}
 +
</math>
 +
es cero.
<br/>
<br/>
Línea 464: Línea 240:
<br/>
<br/>
-
Los adjuntos de la matriz &nbsp;
+
Calculemos el determinante de la matriz
<math>
<math>
-
A
+
\mathbf{A} =
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & 2 & 3
 +
\\
 +
2 & 4 & 6
 +
\\
 +
-1 & 0 & 5
 +
\end{array}
 +
\right)
</math>
</math>
-
&nbsp; del ejemplo anterior son:
 
<br/>
<br/>
-
<center>
+
En este caso &nbsp;
<math>
<math>
-
\begin{array}{ccccccccccc}
+
k_{max} = 3
-
A_{11} & = & -3 & \qquad & A_{12} & = & ~~~6 & \qquad & A_{13} & = & -3
+
</math>.
-
\\
+
&nbsp; Comprobamos primero si todos los menores de orden &nbsp;
-
A_{21} & = & ~~6 & \qquad & A_{22} & = & -12 & \qquad & A_{23} & = & ~~6
+
-
\\
+
-
A_{31} & = & -3 & \qquad & A_{32} & = & ~~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3
+
-
&\end{array}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
La matriz adjunta de &nbsp;
+
<math>
<math>
-
A
+
k_{max}
</math>
</math>
-
&nbsp; es
+
&nbsp; son nulos.
<br/>
<br/>
-
<center>
+
En este caso, solo hay un menor de orden 3,
<math>
<math>
-
\makebox{Adj} \left( A \right) =
+
\left| \, \mathbf{A} \, \right|
-
\left(
+
</math>,
-
\begin{array}{ccc}
+
por lo tanto, solo tenemos que
-
-3 & ~~~6 & -3
+
calcular un determinante de orden 3.
-
\\
+
-
~~6 & -12 & ~~6
+
-
\\
+
-
-3 & ~~~6 & -3
+
-
\end{array}
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
==Desarrollo de un determinante==
+
Como \,
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
El determinante de una matriz cuadrada de orden &nbsp; <math> n </math> &nbsp; es igual a la suma de los productos de los elementos
+
-
de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Simbolicamente:
+
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<center>
+
-
<math>
+
-
\makebox{det} \left( \, A \, \right) \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\makebox{det} \left( \, A \, \right) \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
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<br/>
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-
 
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[[Category:Matemáticas]]
+
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%% }}}
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%% {{{ =Cálculo de la inversa de una matriz
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La '''''matriz inversa''''' de una matriz cuadrada &nbsp;
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<math>
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A
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</math>
+
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&nbsp; de orden &nbsp;
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<math>
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n
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</math>
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, &nbsp; es la matriz, &nbsp;
+
<math>
<math>
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A^{-1}
+
\left| \, \mathbf{A} \, \right| = 0
</math>
</math>
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, &nbsp; de orden &nbsp;
+
\, todos los menores de orden 3 de
<math>
<math>
-
n
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
&nbsp; que verifica:
+
son cero, y por lo tanto pasamos a los menores de orden 3 - 1 = 2, y comprobamos
 +
si todos ellos son nulos, o no.
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<br/>
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<center>
 
<math>
<math>
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A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
-
</center>
+
tiene 9 menores de orden 2. Calculamos uno por uno para comprobar si alguno de
 +
ellos es distinto de cero.
<br/>
<br/>
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Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices
+
Supongamos que calculamos estos menores en el siguiente orden:
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singulares.
+
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Antes de calcular la matriz inversa de una dada hemos de asegurarnos de que efectivamente
+
#1. primero calculamos el menor que se obtiene seleccionando las primeras dos
-
existe la matriz inversa. Para ello utilizamos la siguiente propiedad:
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filas ( las de mas arriba ) y las primeras dos columnas ( las de mas a la
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izquierda ) de
 +
<math>
 +
A
 +
</math>,
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<br/>
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#2 a continuación calculamos el menor que se obtiene seleccionando las primeras dos
-
 
+
filas ( las de mas arriba ) y las ultimas dos columnas ( las de mas a la
-
<center>
+
derecha ) de
<math>
<math>
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A \, \, \makebox{es regular} \Leftrightarrow \left| A \right| \neq 0
+
\mathbf{A}
-
</math>
+
</math>,
-
</center>
+
-
<br/>
+
#3 el tercer menor que calculamos es el que se obtiene seleccionando las ultimas dos
-
 
+
filas ( las de mas arriba ) y las ultimas dos columnas ( las de mas a la
-
Una vez que hemos asegurado la existencia de la matriz inversa, calculamos esta mediante
+
derecha ) de
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la siguiente expresion:
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-
 
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<br/>
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-
 
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<center>
+
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<math>
+
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A^{-1} = \frac{1}{\left| A \right|} \cdot
+
-
\left[
+
-
\makebox{Adj}
+
-
\left(
+
-
\, A \,
+
-
\right)
+
-
\right]
+
-
^t
+
-
</math>
+
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</center>
+
-
 
+
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<br/>
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-
 
+
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donde &nbsp;
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<math>
-
\makebox{Adj}
+
\mathbf{A}
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\left(
+
</math>,
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\, A \,
+
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\right)
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</math>
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&nbsp; es la [[Desarrollo de un determinante| matriz adjunta]] de &nbsp;
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A
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. Se verifica que
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Procediendo asi, hubiesemos obtenido que los dos primeros menores son cero, pero
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como el tercer menor es distinto de cero, concluimos que algún menor de orden 2
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es distinto de cero y por el teorema anterior, el rango de &nbsp;
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\left| A^{-1} \right| = \frac{1}{\left| A \right|}
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\mathbf{A}
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&nbsp; tiene que ser mayor que 2.
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Como ya habiamos averiguado antes que el rango de
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En este epígrafe vamos a ver otro procedimiento para calcular el rango de una matriz
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mediante determinantes.
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Se llama '''''menor de orden k''''' de una matriz &nbsp;
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&nbsp; al determinante de orden k que está formado por los elementos que pertenecen a k
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tiene que ser menor que 3, deducimos que el rango de
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filas y a k columnas de la matriz &nbsp;
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A
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\mathbf{A}
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es 2.
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El '''''rango de una matriz''''' es el orden del mayor menor no nulo que podemos obtener
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de esta matriz.
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Si el rango de una matriz es k, entonces todos los menores de orden superior a k son
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nulos.
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[[Category:Matemáticas]]
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Revisión actual

Tabla de contenidos

Definición de menor de una matriz


Se llama menor de orden k de una matriz \mathbf{A} al determinante de orden k que está formado por los elementos que pertenecen a k filas y a k columnas de la matriz   \mathbf{A} .


En este determinante los elementos de \mathbf{A} conservan las posiciones relativas que tienen en la matriz \mathbf{A} .


Es decir, si la fila de \mathbf{A} en la que se encuentra a esta por encima de la fila de   \mathbf{A}   en la que se encuentra b , entonces, en los menores de \mathbf{A} en los que aparezcan a y b , la fila en la que se encuentra a va a estar por encima de la fila en la que se encuentra b .


Analogamente, si la columna de \mathbf{A} en la que se encuentra a esta a la derecha de la columna de   \mathbf{A}   en la que se encuentra b , entonces, en los menores de \mathbf{A} en los que aparezcan a y b , la columna en la que se encuentra a va a estar a la derecha de la columna en la que se encuentra b .


Teorema


 El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que podemos obtener de esta matriz.


Es decir, si el rango de una matriz es k, entonces todos los menores de orden superior a k son nulos.


Siendo esto así, el procedimiento que describimos a continuacion nos permite calcular el rango de una matriz \mathbf{A} independientemente de como sea la matriz \mathbf{A} .


Calculo del rango de una matriz por menores


Sea   k_{max}   el orden de los menores de mayor orden de la matriz \mathbf{A} .


k_{max}   es el número de filas o el número de columnas de   \mathrm{A} ,   lo que sea mayor.


Empezando por   k = k_{max}   y continuando con   k = k_{max} - 1, \, \ldots, \, k = 2, \, k = 1 ,   para cada valor de k se comprueba si algún menor de orden k es cero o no.


Si considerando distintos valores de j en este orden, encontramos que algún menor de orden k es distinto de cero, entonces el rango de \mathbf{A} seria k , en caso contrario el rango de \mathbf{A} seria menor de k y habria que considerar un valor k una unidad menor   \left( \, k - 1 \rightarrow k \, \right) .


Si no encontramos ningun valor de k entero positivo y menor que k_{max} ,   tal que todos los menores de orden k de \mathbf{A} sean cero, entonces el rango de \mathbf{A} es cero.


Ejemplo


Calculemos el determinante de la matriz \mathbf{A} = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ -1 & 0 & 5 \end{array} </pre> <p>\right)


En este caso   k_{max} = 3 .   Comprobamos primero si todos los menores de orden   k_{max}   son nulos.


En este caso, solo hay un menor de orden 3, \left| \, \mathbf{A} \, \right| , por lo tanto, solo tenemos que calcular un determinante de orden 3.


Como \, \left| \, \mathbf{A} \, \right| = 0 \, todos los menores de orden 3 de \mathbf{A} son cero, y por lo tanto pasamos a los menores de orden 3 - 1 = 2, y comprobamos si todos ellos son nulos, o no.


\mathbf{A} tiene 9 menores de orden 2. Calculamos uno por uno para comprobar si alguno de ellos es distinto de cero.


Supongamos que calculamos estos menores en el siguiente orden:

  1. 1. primero calculamos el menor que se obtiene seleccionando las primeras dos

filas ( las de mas arriba ) y las primeras dos columnas ( las de mas a la izquierda ) de A ,

  1. 2 a continuación calculamos el menor que se obtiene seleccionando las primeras dos

filas ( las de mas arriba ) y las ultimas dos columnas ( las de mas a la derecha ) de \mathbf{A} ,

  1. 3 el tercer menor que calculamos es el que se obtiene seleccionando las ultimas dos

filas ( las de mas arriba ) y las ultimas dos columnas ( las de mas a la derecha ) de \mathbf{A} ,

Procediendo asi, hubiesemos obtenido que los dos primeros menores son cero, pero como el tercer menor es distinto de cero, concluimos que algún menor de orden 2 es distinto de cero y por el teorema anterior, el rango de   \mathbf{A}   tiene que ser mayor que 2.


Como ya habiamos averiguado antes que el rango de \mathbf{A} tiene que ser menor que 3, deducimos que el rango de \mathbf{A} es 2.


Obtenido de "http://wikillerato.org/C%C3%A1lculo_del_rango_de_una_matriz.html"
   
 
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