Energía de un oscilador armónico
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La energía asociada al movimiento es la energía cinética, y será, al pasar por la posición de equilibrio, igual a la energía potencial máxima, tendremos | La energía asociada al movimiento es la energía cinética, y será, al pasar por la posición de equilibrio, igual a la energía potencial máxima, tendremos | ||
- | <math> E_c_{max} = \frac{1}{2} m v_{max^2 | + | <math> E_c_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} k A^2</math> |
Pero el oscilador, en su movimiento, pasará por una posición <math>x</math> en la cual llevará una velocidad <math>v</math>, y la ecuación de la energía del movimiento nos quedará | Pero el oscilador, en su movimiento, pasará por una posición <math>x</math> en la cual llevará una velocidad <math>v</math>, y la ecuación de la energía del movimiento nos quedará | ||
- | <math> \frac{1}{2} k A^2 | + | <math> \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} m v^2</math> |
Es decir, la energía total se conserva y es igual, en cada instante, a la suma de la energía potencial y de la energía cinética | Es decir, la energía total se conserva y es igual, en cada instante, a la suma de la energía potencial y de la energía cinética | ||
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'''Amplitud''', <math>A</math>, es la distancia máxima a la posición de equilibrio de la que partimos. | '''Amplitud''', <math>A</math>, es la distancia máxima a la posición de equilibrio de la que partimos. | ||
- | '''Elongación''', es la distancia del extremo libre del resorte, en un instante<math> t</math>, a la posición de equilibrio. | + | '''Elongación''', <math>x</math> es la distancia del extremo libre del resorte, en un instante<math> t</math>, a la posición de equilibrio. |
En el SI todas las longitudes vendrán expresadas en metros. | En el SI todas las longitudes vendrán expresadas en metros. | ||
- | '''Periodo''', <math>T</math>, es el tiempo que tarda el resorte en describir una oscilación completa, es decir, cuando ha recorrido desde <math>A | + | '''Periodo''', <math>T</math>, es el tiempo que tarda el resorte en describir una oscilación completa, es decir, cuando ha recorrido desde <math>A</math> o (-<math>A</math>) o <math>A</math>. Se mide en segundos. |
'''Frecuencia''', <math>f</math>, es el número de oscilaciones por segundo, es decir: | '''Frecuencia''', <math>f</math>, es el número de oscilaciones por segundo, es decir: | ||
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<math> f = \frac{1}{T}</math> | <math> f = \frac{1}{T}</math> | ||
- | '''Pulsación''', <math> \ | + | '''Pulsación o frecuencia angular''', <math> \omega </math>, es <math> \omega = \frac{2 \pi} {T}</math> |
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- | + | ==Relación entre los parámetros== | |
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+ | En primer lugar <math> f = \frac {1}{T} </math> | ||
- | + | pero <math> \omega = 2 \pi f </math> | |
- | + | Hemos obtenido inicialmente la ecuación: <math>x = A sen (\omega t + \varphi_0)</math> | |
- | + | Podemos observar que: <math> \omega = \sqrt \frac{k}{m}</math> y como <math> \omega = \frac{2 \pi}{T}</math> | |
+ | tenemos que: | ||
- | + | <math> T = 2 \pi \sqrt \frac{m}{k} </math> | |
- | + | '''En la cual se observa que el periodo es independiente de la amplitud, <math> A </math>, y sólo depende de la masa que suspendamos del resorte y de su constante de elasticidad.''' | |
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==Velocidad y aceleración del m.o.a== | ==Velocidad y aceleración del m.o.a== | ||
- | + | Hemos dicho que la velocidad, cualquiera que sea el tipo de movimiento, es la pendiente de la tangente en el punto de la gráfica que representa la trayectoria. | |
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- | + | Para encontrar la velocidad nos basta pues con derivar <math>x = f(t) </math> | |
- | <math> | + | <math>x = A sen(\omega t + \varphi_0)</math> |
- | + | <math>\frac{dx}{dt} = \omega A cos(\omega t + \varphi_0)</math> | |
- | <math> | + | <math>v = \omega A cos(\omega t + \varphi_0)</math> |
- | <math> | + | La velocidad será una función con una diferencia de fase <math>\frac {\pi}{2}</math> con relación a la elongación. |
- | + | Para encontrar la aceleración, derivamos el vector velocidad | |
- | <math> | + | <math> a = \frac {dv}{dt} = - \omega^2 A sen (\omega t + \varphi_0) </math> |
- | <math> | + | <math> a = - \omega^2 A sen (\omega t + \varphi_0) </math> |
- | <math> \ | + | Pero el segundo factor, <math>A sen (\omega t + \varphi_0)</math> es igual a la elongación, con lo cual nos queda |
- | + | <math>a == - \omega^2 x</math> | |
- | + | Vemos que la función aceleración a es también una función seno, pero con signo opuesto al de la elongación. La aceleración y la elongación se encuentran en oposición de fase. | |
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- | + | Por otra parte, de la ecuación fundamental de la dinámica, que ha de cumplirse siempre, obtuvimos <math>a = -\frac{k}{m} x</math> | |
- | <math>\ | + | en consecuencia <math>\omega^2 = \frac {k}{m}</math> |
- | + | o bien <math> \omega = \sqrt {\frac {k}{m}} </math> | |
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Revisión actual
Tabla de contenidos |
Introducción
Cuando deformamos el resorte una longitud con respecto a la posición de equilibrio, la fuerza recuperadora del resorte será . Cuando el resorte está en equilibrio, la fuerza recuperadora suplementaria es cero.
La energía que es capaz de desarrollar el resorte es:
Donde es el ángulo formado por e , que en nuestro caso, dado que la y la deformación tienen siempre sentidos opuestos, el ángulo es , y como . Como por otra parte el valor máximo de es , la ecuación de la energía del oscilador será:
La fuerza es variable, y varía entre los valores y . Esta variación es lineal y, en consecuencia podremos sustituirla en la ecuación por su valor medio, que será la semisuma de los valores máximo y mínimo, .
La energía máxima del resorte será:
Es decir, la energía sólo depende de la constante de elasticidad del resorte y de la distancia a la posición de equilibrio. Y es, en los extremos, una energía potencial elástica.
Cuando estiramos el resorte una longitud y soltamos, el resorte comienza a moverse, desde una velocidad cero, en los extremos, puesto que pasa de a y viceversa, a un valor máximo cuando el resorte pasa por la posición de equilibrio.
La energía asociada al movimiento es la energía cinética, y será, al pasar por la posición de equilibrio, igual a la energía potencial máxima, tendremos
Pero el oscilador, en su movimiento, pasará por una posición en la cual llevará una velocidad , y la ecuación de la energía del movimiento nos quedará
Es decir, la energía total se conserva y es igual, en cada instante, a la suma de la energía potencial y de la energía cinética
En todo caso, no debemos olvidar nunca que siempre ha de cumplirse la segunda ley de Newton
De donde obtenemos que
Es decir, la aceleración es proporcional a la distancia a la posición de equilibrio pero con sentido opuesto.
Parámetros del movimiento oscilatorio
Amplitud, , es la distancia máxima a la posición de equilibrio de la que partimos.
Elongación, es la distancia del extremo libre del resorte, en un instante, a la posición de equilibrio.
En el SI todas las longitudes vendrán expresadas en metros.
Periodo, , es el tiempo que tarda el resorte en describir una oscilación completa, es decir, cuando ha recorrido desde o (-) o . Se mide en segundos.
Frecuencia, , es el número de oscilaciones por segundo, es decir:
Pulsación o frecuencia angular, , es
Relación entre los parámetros
En primer lugar
pero
Hemos obtenido inicialmente la ecuación:
Podemos observar que: y como tenemos que:
En la cual se observa que el periodo es independiente de la amplitud, , y sólo depende de la masa que suspendamos del resorte y de su constante de elasticidad.
Velocidad y aceleración del m.o.a
Hemos dicho que la velocidad, cualquiera que sea el tipo de movimiento, es la pendiente de la tangente en el punto de la gráfica que representa la trayectoria.
Para encontrar la velocidad nos basta pues con derivar
La velocidad será una función con una diferencia de fase con relación a la elongación.
Para encontrar la aceleración, derivamos el vector velocidad
Pero el segundo factor, es igual a la elongación, con lo cual nos queda
Vemos que la función aceleración a es también una función seno, pero con signo opuesto al de la elongación. La aceleración y la elongación se encuentran en oposición de fase.
Por otra parte, de la ecuación fundamental de la dinámica, que ha de cumplirse siempre, obtuvimos
en consecuencia
o bien
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