Conceptos básicos: espacios vectoriales

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión actual

Tabla de contenidos

1 Vectores en el plano
2 Componentes de un vector
3 Suma de vectores
4 Producto de un número real por un vector
- 4.1 Ejemplo

Vectores en el plano

En el plano, un vector fijo $\stackrel{\longrightarrow}{PQ}$ es un segmento orientado de origen $P$ y extremo $Q$ , que tiene las siguientes caracteristicas:

• Módulo: longitud del segmento $PQ$ .

• Dirección: la de la recta que lo contiene y todas sus paralelas.

• Sentido: el que va del origen al extremo.

Los vectores $\stackrel{\longrightarrow}{PQ}$ y $\stackrel{\longrightarrow}{QP}$ tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero sentido contrario. Los vectores $\stackrel{\longrightarrow}{PQ}$ y $\stackrel{\longrightarrow}{QP}$ son opuestos.

El conjunto de todos los vectores fijos del mismo módulo, dirección y sentido forma lo que se denomina un vector libre. Una propiedad importante que cumplen los vectores libres es que si $\vec{u}$ es un vector libre y $O$ es un punto del plano, existe un único punto $P$ tal que $\vec{u} \, = \, \stackrel{\longrightarrow}{OP}$ .

Componentes de un vector

Un sistema de referencia esta formado por dos rectas $OX$ y $OY$ , llamadas ejes de coordenadas que se cortan en un punto $O$ , origen de coordenadas, y una unidad de medida en cada eje. Cuando las dos rectas son perpendiculares el sistema es ortogonal y cuando, además, las dos unidades de medida son iguales a uno, el sistema es ortonormal.

Para representar un punto $P$ del plano en un sistema de coordenadas cartesiano se trazan desde $P$ perpendiculares a los ejes, obteniendo $P_1$ y $P_2$ . Si la distancia de $P_1$ a $O$ es $x_1$ , y la de $P_2$ a $O$ es $y_1$ , entonces $x_1$ e $y_1$ reciben el nombre de coordenadas del punto $P$ . Se escribe $P \, = \, \left( <pre>\, x_1, \, y_1 \, </pre> \right)$ , siendo $x_1$ la abcisa e $y_1$ la ordenada.

Conocidas las coordenadas del origen $A \, = \, \left( <pre> \, x_1, \, y_1 \, </pre> \right)$ y del extremo $B \, = \, \left( <pre>\, x_2, \, y_2 \, </pre> \right)$ de un vector fijo $\stackrel{\longrightarrow}{AB}$ , se puede determinar las componentes del vector restando a las coordenadas del extremo las del origen:

$\stackrel{\longrightarrow}{AB} \, = \, \left( <pre> \, x_2 \, - \, x_1, \, y_2 \, - \, y_1 \, </pre> \right)$

Suma de vectores

Sean $\vec{\mathbf{u}}$ y $\vec{\mathbf{v}}$ dos vectores libres, se define el vector suma $\vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}}$ como otro vector obtenido de la siguiente forma:

1. Se señala un punto $O$ del plano y se traza el vector $\stackrel{\longrightarrow}{OP}$ representante de $\vec{\mathbf{u}}$ .

2. Por el extremo $P$ se traza el vector $\stackrel{\longrightarrow}{PQ}$

3. El vector $\stackrel{\longrightarrow}{OQ}$ que tiene como origen $O$ ( origen del primero ) y como extremo $Q$ ( extremo del segundo ) es el representante del vector suma $\vec{u} \, + \, \vec{v}$ .

La suma tiene las siguientes propiedades:

• Asociativa: $\left( <pre> \, \vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}} \, </pre> \right) \, + \, \vec{\mathbf{w}} \, = \, \vec{\mathbf{u}} \, + \, \left( <pre> \, \vec{\mathbf{v}} \, + \, \vec{\mathbf{w}} \, </pre> \right)$

• El vector nulo es $\vec{\mathbf{0}}$ , pues: $\vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{0}} \, = \, \vec{\mathbf{0}} \, + \, \vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{u}}$ . Dado un punto cualquiera $P$ , el vector $\stackrel{\longrightarrow}{PP}$ es un representante del vector libre $\vec{\mathbf{0}}$ .

• El vector opuesto de $\vec{\mathbf{v}}$ es $-\vec{\mathbf{v}}$ , pues: $\vec{\mathbf{u}} \, + \, \left( -\vec{\mathbf{u}} \right) \, = \, \left( <pre> -\vec{\mathbf{u}} \right) \, + \, \vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{0}} </pre> $

• Conmutativa: $\vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}}\, = \,\vec{\mathbf{v}} \, + \, \vec{\mathbf{u}}$

Producto de un número real por un vector

Si $\vec{\mathbf{u}}$ es un vector libre y $\alpha$ un número real, se define el producto $\alpha \vec{\mathbf{u}}$ como un nuevo vector que tiene por módulo el producto $\left| \, \alpha \, \right| \cdot \left| \, \vec{\mathbf{u}} \, \right|$ , por dirección la misma de $\vec{\mathbf{u}}$ y sentido el mismo de $\vec{\mathbf{u}}$ si $\alpha$ es positivo, y opuesto, si $\alpha$ es negativo.

El producto de un número real por un vector tiene las siguientes propiedades:

$\alpha \left( <pre> \, \vec{\mathbf{u}} \, + \, \vec{\mathbf{v}} \, </pre> \right) <pre>\, = \, \alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \alpha \vec{\mathbf{v}} </pre> $

$\left( <pre> \, \alpha \, + \, \mu \, </pre> \right) \vec{\mathbf{u}} <pre>\, = \, \alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \mu \vec{\mathbf{u}} </pre> $

$1 \cdot \vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{u}}$

$\alpha \left( <pre> \, \mu \vec{\mathbf{u}} \, </pre> \right) \, = \, \left( <pre> \, \alpha \mu \, </pre> \right) \vec{\mathbf{u}}$

Además, si $\alpha \vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{0}}$ , se verifica que, o bien $\alpha \, = \, 0$ o bien $\vec{\mathbf{u}} \, = \, \vec{\mathbf{0}}$ .

Un espacio vectorial es un conjunto ( de vectores ) donde se define una operacion suma y una
operacion producto por un numero real y estas operaciones satisfacen las propiedades de la
suma y producto por un numero real que hemos visto en el conjunto de los vectores libres
del plano.

De hecho, en la definicion de espacio vectorial que acabamos de ver los numeros reales pueden ser sustituidos por otro conjunto, como el conjunto de los numeros complejos, pero a nivel de bachillerato ( wikillerato ) nos centraremos en los numeros reales.

Ejemplo

El conjunto $R^3$ se define como el conjunto de ternas $\left( <pre> \, x, \, y, \, z \, </pre> \right)$ de números reales. En $R^3$ se definen la suma y el producto por un número real así:

1. Suma:

$\left( <pre> \, x_1, \, y_1, \, z_1 \, </pre> \right) \, + \, \left( <pre> \, x_2, \, y_2, \, z_2 \, </pre> \right) \, = \, \left( <pre> \, x_1 \, + \, x_2, \, y_1 \, + \, y_2, \, z_1 \, + \, z_2 \, </pre> \right)$