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Desarrollo de un determinante

De Wikillerato

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En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de
En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de
-
cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de '''''menor complementario''''', '''''adjunto''''' y '''''matriz adjunta'''''.
+
cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de '''''menor complementario''''' y '''''adjunto'''''.
<br/>
<br/>
-
==Menor complementario==
+
==Menores complementarios y adjuntos==
<br/>
<br/>
-
Para una matriz cuadrada de orden &nbsp;
+
En una matriz cuadrada de orden &nbsp;
<math>
<math>
-
n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right),
+
n, \, \mathbf{A} = \left( \, a_{ij} \, \right),
</math>
</math>
&nbsp; se llama '''''menor complementario''''' del elemento &nbsp;
&nbsp; se llama '''''menor complementario''''' del elemento &nbsp;
Línea 35: Línea 35:
de la matriz &nbsp;
de la matriz &nbsp;
<math>
<math>
-
A
+
\mathbf{A}
</math>
</math>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Se llama '''''adjunto''''' del elemento &nbsp;
 +
<math>
 +
a_{ij}
 +
</math>,
 +
&nbsp; y lo representamos por &nbsp;
 +
<math>
 +
A_{ij},
 +
</math>
 +
&nbsp; al producto &nbsp;
 +
<math>
 +
\left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
 +
</math>:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
Línea 50: Línea 73:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
A =
+
\mathbf{A} =
\left(
\left(
\begin{array}{ccc}
\begin{array}{ccc}
Línea 79: Línea 102:
8 & 9
8 & 9
\end{array}
\end{array}
-
\right|= -3
+
\right|
-
&
+
&
\qquad \alpha_{12} =
\qquad \alpha_{12} =
\left|
\left|
Línea 88: Línea 111:
7 & 9
7 & 9
\end{array}
\end{array}
-
\right|= -6
+
\right|
&
&
\qquad \alpha_{13} =
\qquad \alpha_{13} =
Línea 98: Línea 121:
\end{array}
\end{array}
\right|
\right|
-
= -3
 
\\
\\
-
& &
+
& &
\\
\\
\alpha_{21} =
\alpha_{21} =
Línea 109: Línea 131:
8 & 9
8 & 9
\end{array}
\end{array}
-
\right| = -6
+
\right|
&
&
\qquad \alpha_{22} =
\qquad \alpha_{22} =
Línea 118: Línea 140:
7 & 9
7 & 9
\end{array}
\end{array}
-
\right| = -12
+
\right|
&
&
\qquad \alpha_{23} =
\qquad \alpha_{23} =
Línea 127: Línea 149:
7 & 8
7 & 8
\end{array}
\end{array}
-
\right| = -6
+
\right|
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
Línea 144: Línea 166:
5 & 6
5 & 6
\end{array}
\end{array}
-
\right|=-3
+
\right|
&
&
\qquad \alpha_{32} =
\qquad \alpha_{32} =
Línea 153: Línea 175:
4 & 6
4 & 6
\end{array}
\end{array}
-
\right|=-6
+
\right|
&
&
\qquad \alpha_{33} =
\qquad \alpha_{33} =
Línea 162: Línea 184:
4 & 5
4 & 5
\end{array}
\end{array}
-
\right|=-3
+
\right|
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
Línea 169: Línea 191:
<br/>
<br/>
-
==Matriz adjunta==
+
y sus adjuntos son:
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Para una matriz cuadrada de orden &nbsp;
+
-
<math>
+
-
n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right),
+
-
</math>
+
-
&nbsp; se llama '''''adjunto''''' del elemento &nbsp;
+
-
<math>
+
-
a_{ij},
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y lo representamos por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A_{ij},
+
-
</math>
+
-
&nbsp; al producto &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
+
-
</math>, &nbsp; es decir:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
La matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada
+
-
&nbsp;
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; se llama '''''matriz adjunta''''' de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y se denota por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\makebox{Adj} \left( A \right)
+
-
</math>
+
-
&nbsp;
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
===Ejemplo===
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Los adjuntos de la matriz &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; del ejemplo anterior son:
+
<br/>
<br/>
Línea 232: Línea 198:
<math>
<math>
\begin{array}{ccccccccccc}
\begin{array}{ccccccccccc}
-
A_{11} & = & -3 & \qquad & A_{12} & = & ~~~6 & \qquad & A_{13} & = & -3\\
+
A_{11} & = & -3 & \qquad & A_{12} & = & ~~~6 & \qquad & A_{13} & = & -3
-
A_{21} & = & ~~6 & \qquad & A_{22} & = & -12 & \qquad & A_{23} & = & ~~6\\
+
-
A_{31} & = & -3 & \qquad & A_{32} & = & ~~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3\end{array}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
La matriz adjunta de &nbsp;
+
-
<math>
+
-
A
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\makebox{Adj} \left( A \right) =
+
-
\left(
+
-
\begin{array}{ccc}
+
-
-3 & ~~~6 & -3
+
\\
\\
-
~~6 & -12 & ~~6
+
A_{21} & = & ~~6 & \qquad & A_{22} & = & -12 & \qquad & A_{23} & = & ~~6
\\
\\
-
-3 & ~~~6 & -3
+
A_{31} & = & -3 & \qquad & A_{32} & = & ~~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3
-
\end{array}
+
&\end{array}
-
\right)
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 270: Línea 214:
El determinante de una matriz cuadrada de orden &nbsp; <math> n </math> &nbsp; es igual a la suma de los productos de los elementos
El determinante de una matriz cuadrada de orden &nbsp; <math> n </math> &nbsp; es igual a la suma de los productos de los elementos
-
de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Simbolicamente:
+
de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Es decir:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\makebox{det} \left( \, A \, \right) \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}
+
\left| \, \mathbf{A} \, \right| \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}
</math>
</math>
</center>
</center>
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\makebox{det} \left( \, A \, \right) \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}
+
\left| \, \mathbf{A} \, \right| \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 284: Línea 231:
<br/>
<br/>
-
==Ejercicios resueltos==
 
-
<br>
 
-
[http://www.educared.net/universidad/asp_problemas/problemasvisualizar.asp?idAsignatura=1&idProblema=45 Calcular un determinante 4x4]
 
-
<br>
 
-
[http://www.educared.net/universidad/asp_problemas/problemasvisualizar.asp?idAsignatura=1&idProblema=653 Desarrollo de un determinante utilizando sus propiedades generales]
 
-
<br>
 
-
<br>
 
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de menor complementario y adjunto.


Menores complementarios y adjuntos


En una matriz cuadrada de orden   n, \, \mathbf{A} = \left( \, a_{ij} \, \right),   se llama menor complementario del elemento   a_{ij},   y lo representamos por   \alpha_{ij},   al determinante de la matriz cuadrada de orden   n - 1   que resulta de suprimir la fila   i   y la columna   j   de la matriz   \mathbf{A}


Se llama adjunto del elemento   a_{ij} ,   y lo representamos por   A_{ij},   al producto   \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij} :


A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}


Ejemplo


Los menores complementarios de la matriz


\mathbf{A} = \left( </p> <pre> \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} </pre> <p>\right)


son


\begin{array}{ccc} \alpha_{11} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{12} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{13} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} </pre> <p>\right| \\ & & \\ \alpha_{21} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{22} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{23} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array} </pre> <p>\right| \end{array}


\begin{array}[c]{ccc} \alpha_{31} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{32} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} </pre> <p>\right| & \qquad \alpha_{33} = \left| </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} </pre> <p>\right| \end{array}


y sus adjuntos son:


\begin{array}{ccccccccccc} A_{11} & = & -3 & \qquad & A_{12} & = & ~~~6 & \qquad & A_{13} & = & -3 \\ A_{21} & = & ~~6 & \qquad & A_{22} & = & -12 & \qquad & A_{23} & = & ~~6 \\ A_{31} & = & -3 & \qquad & A_{32} & = & ~~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3 &\end{array}


Desarrollo de un determinante


El determinante de una matriz cuadrada de orden   n   es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Es decir:


\left| \, \mathbf{A} \, \right| \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}

\left| \, \mathbf{A} \, \right| \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}


Obtenido de "http://wikillerato.org/Desarrollo_de_un_determinante.html"
   
 
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