Ecuaciones de la recta en el espacio
De Wikillerato
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Introducción
Al igual que ocurre en el plano, una recta en el espacio queda determinada conociendo un punto y un vector no nulo que se llama vector director o direccional de la recta.
Estudiamos a continuacion las diferentes formas que puede adoptar la ecuacion de una recta.
Ecuacion en forma vectorial
La recta que pasa por el punto y tiene por vector director es el conjunto de puntos del espacio que verifican la relacion vectorial con
Teniendo en cuenta la suma de vectores se verifica que:
Si identificamos el punto con el vector que va desde el origen de coordenadas hasta el punto , se tiene que
que se denomina ecuación vectorial de la recta.
Ecuación en forma paramétrica
Desarrollando la ecuación vectorial anterior expresada en coordenadas, tenemos lo siguiente:
Igualando componentes resulta:
Expresión que se denomina ecuación de la recta en forma paramétrica o ecuaciones paramétricas de la recta.
Ecuación en forma continua
Si, en las ecuaciones paramétricas, , y son distintos de cero, se puede despejar en cada una de ellas el parametro
Igualando las expresiones obtenidas resulta:
que es la ecuación de la recta en forma continua.
Ecuación en forma cartesiana o implícita (Recta como intersección de dos planos)
A partir de la ecuación forma continua de la recta podemos obtener las dos ecuaciones siguientes:
que se pueden reescribir de la forma:
y que se conocen con el nombre de ecuación implícita o cartesiana de la recta. (Recta como intersección de dos planos)
Ejemplo
Determinemos las ecuaciones de la recta
que pasa por los puntos:
Un vector director de es, por ejemplo, el vector que va desde el punto hasta el punto
Por lo tanto, la ecuacion de la recta
en forma vectorial es:
En forma paramétrica es:
En forma continua es:
En forma implicita es: