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Esperanza matemática

De Wikillerato

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El '''Valor Esperado''' o '''Esperanza Matemática''' de una variable aleatoria
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Sea <math>X</math> una variable aleatoria, el "Valor Esperado" o "Esperanza Matemática" de dicha variable es el número representado como <math>E[X]</math> y que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.
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<math>X</math> es el promedio ponderado de todos los posibles valores que la misma
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puede adoptar, donde los ponderadores son las probabilidades
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correspondientes de cada <math>x</math>.
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'''Caso discreto'''
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En caso que <math>X</math> sea una variable aleatoria discreta con valores <math>x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}</math> y sus probabilidades estén representadas por la función discreta de probabilidad <math>p(x_{1}), p(x_{2}), ..., p(x_{n})</math>, la esperanza se calcula como:
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<math>E[X] = x_{1} p( x_{1} ) + x_{2} p( x_{2} ) + ... + x_{n} p( x_{n} ) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} p(x_{i}) </math>
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'''Caso continuo'''
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En caso en que <math>X</math> sea una variable aleatoria continua, la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad <math>f(x)</math>:
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<math>E[X] = \int_{\infty}^{-\infty} x f(x) dx</math>
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== Propiedades de la Esperanza:==
== Propiedades de la Esperanza:==
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<math>
 
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E(c) = c
 
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E(c X) = c E(X)
 
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E(X + Y) = E(X) + E(Y)
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Para poder operar con la esperanza debemos conocer sus propiedades. Sean <math>X</math> e <math>Y</math> dos variables aleatorias, y <math>c</math> una constante, se pueden aplicar las siguientes operaciones:
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* <math>E[c] = c</math>
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* <math>E[cX] = cE[X]</math>
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* <math>$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$</math>
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* <math> E(X - Y) = E(X) - E(Y)</math>
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* <math> E(XY) = E(X) E(Y)</math>
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== Ejemplo:==
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E(X - Y) = E(X) - E(Y)
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Representemos con <math>X</math> la variable aleatoria que representa una tirada con un dado de 6 caras. Los posibles valores de <math>X</math> son <math>1, 2, 3, 4, 5, </math> y <math>6</math> todos ellos con la misma probalibilidad <math>\frac{1}{6}</math>, la esperanza de <math>X</math> es:
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E(XY) = E(X) E(Y) </math>
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<math>E[X] = 1\cdot\frac{1}{6} + 2\cdot\frac{1}{6} + 3\cdot\frac{1}{6} + 4\cdot\frac{1}{6} + 5\cdot\frac{1}{6} + 6\cdot\frac{1}{6} = 3.5</math>
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si <math>X</math> e <math>Y</math> son variables aleatorias independientes.
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[[Categoría:Matemáticas]]

Revisión actual

Sea X una variable aleatoria, el "Valor Esperado" o "Esperanza Matemática" de dicha variable es el número representado como E[X] y que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.


Caso discreto

En caso que X sea una variable aleatoria discreta con valores x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} y sus probabilidades estén representadas por la función discreta de probabilidad p(x_{1}), p(x_{2}), ..., p(x_{n}), la esperanza se calcula como:


E[X] = x_{1} p( x_{1} ) + x_{2} p( x_{2} ) + ... + x_{n} p( x_{n} ) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} p(x_{i})


Caso continuo

En caso en que X sea una variable aleatoria continua, la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad f(x):


E[X] = \int_{\infty}^{-\infty} x f(x) dx


Propiedades de la Esperanza:

Para poder operar con la esperanza debemos conocer sus propiedades. Sean X e Y dos variables aleatorias, y c una constante, se pueden aplicar las siguientes operaciones:

  • E[c] = c
  • E[cX] = cE[X]
  • $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$
  • E(X - Y) = E(X) - E(Y)
  • E(XY) = E(X) E(Y)


Ejemplo:

Representemos con X la variable aleatoria que representa una tirada con un dado de 6 caras. Los posibles valores de X son 1, 2, 3, 4, 5, y 6 todos ellos con la misma probalibilidad \frac{1}{6}, la esperanza de X es:

E[X] = 1\cdot\frac{1}{6} + 2\cdot\frac{1}{6} + 3\cdot\frac{1}{6} + 4\cdot\frac{1}{6} + 5\cdot\frac{1}{6} + 6\cdot\frac{1}{6} = 3.5

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