Algunos problemas con triángulos
De Wikillerato
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- | Conocemos un punto <math>P</math> de la circunferencia circunscrita al triángulo <math>ABC</math>, su recta de '''Simson''' <math>s</math> y las perpendiculares desde <math>P</math> la los lados del triángulo. Dibujar <math>ABC</math> y su circunferencia de '''Feuerbach'''. Comprobar que si <math>O</math> es el ortocentro, el punto medio de <math>PO</math> está sobre s y sobre dicha circunferencia. | + | Conocemos un punto <math>P</math> de la circunferencia circunscrita al triángulo <math>ABC</math>, su recta de '''Simson''' <math>s</math> y las perpendiculares desde <math>P</math> la los lados del triángulo. Dibujar <math>ABC</math> y su circunferencia de '''Feuerbach'''. Comprobar que si <math>O \ </math> es el ortocentro, el punto medio de <math>PO</math> está sobre s y sobre dicha circunferencia. |
- | Trazamos por <math>X, Y</math> y <math>Z</math> las perpendiculares a <math>PX, PY</math> y <math>PZ</math> respectivamente, que son las tres rectas que determinan el triángulo <math>ABC</math>. Hallamos su ortocentro <math>O</math> y su circunferencia de '''Feuerbach''' y comprobamos la posición del punto <math>M</math> como nos indica el enunciado. Podemos también comprobar que <math>P</math> está en la circunscrita de <math>ABC</math>. | + | Trazamos por <math>X, Y</math> y <math>Z</math> las perpendiculares a <math>PX, PY</math> y <math>PZ</math> respectivamente, que son las tres rectas que determinan el triángulo <math>ABC</math>. Hallamos su ortocentro <math>O \ </math> y su circunferencia de '''Feuerbach''' y comprobamos la posición del punto <math>M</math> como nos indica el enunciado. Podemos también comprobar que <math>P</math> está en la circunscrita de <math>ABC</math>. |
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Revisión de 09:27 28 oct 2008
Estos problemas son ejemplos de aplicación de las propiedades estudiadas.
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Problema de Napoleón
Este problema atribuido al emperador francés es realmente otra propiedad de los triángulos, aunque se la conoce con el nombre de problema: “Si en un triángulo arbitrario se construye un equilátero con un lado coincidente con cada lado, los puntos notables de estos triángulos determinan otro equilátero”.
Problema I
es la hipotenusa de un triángulo. es el punto por el que pasa la bisectriz de ángulo en . Construir el triángulo .
El triángulo buscado es rectángulo, siendo . Si dibujamos el arco capaz de para y el de para el problema está resuelto. El punto es la intersección de los dos arcos capaces. Hay otra solución simétrica a respecto de .
Problema II
En un triángulo el ángulo , el lado y la suma de los lados son segmentos dados. Construir el triángulo .
Dibujamos el perímetro del triángulo que es el segmento , pues . Señalamos el punto , pues . El punto estará en la circunferencia de centro y radio .
Dibujamos en el ángulo de . El lado del ángulo corta al arco de circunferencia en las dos posiciones del punto . Dibujamos . El otro resultado, rayado, es el mismo triángulo colocado con los catetos en distinta dirección.
Problema III
Conocemos el lado de un triángulo y sus alturas y . Construir el triángulo .
Dibujamos el lado y una recta paralela a a la distancia .
Trazamos un arco con radio y centro en y la tangente desde a dicho arco. El punto será la intersección de la paralela con la tangente.
Hay otra solución simétrica a respecto de .
Problema IV
Conocemos el lado de un triángulo, un vértice de su órtico y sabemos que el circuncentro dista una magnitud dada, , de . Construir el triángulo.
Hallamos la mediatriz de y situamos el circuncentro sobre ella. Dibujamos la circunferencia circunscrita, donde estará el vértice buscado. Como es un vértice del órtico, es el pie de la altura sobre . Trazamos una perpendicular por y hallamos en su intersección con la circunscrita. Existe otra solución simétrica respecto de .
Problema V
Conocemos el lado de un triángulo y sus medianas y . Construir el triángulo.
Trazamos la mediatriz de para hallar su punto medio .
Dividimos en tres partes iguales cada mediana. Con centro en y radio trazamos un arco. Con centro en y radio trazamos otro arco que cortará al anterior en el baricentro. Una vez situadas las medianas, llevamos la magnitud desde , así hallamos y trazamos el triángulo .
Problema VI
Conocemos un punto de la circunferencia circunscrita al triángulo , su recta de Simson y las perpendiculares desde la los lados del triángulo. Dibujar y su circunferencia de Feuerbach. Comprobar que si es el ortocentro, el punto medio de está sobre s y sobre dicha circunferencia.
Trazamos por y las perpendiculares a y respectivamente, que son las tres rectas que determinan el triángulo . Hallamos su ortocentro y su circunferencia de Feuerbach y comprobamos la posición del punto como nos indica el enunciado. Podemos también comprobar que está en la circunscrita de .
Problema VII
Conocemos el segmento determinado por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo y su vértice . Construir el triángulo.
Trazamos la circunferencia circunscrita con centro en el circuncentro y radio . Sabemos que el vector es la suma de los vectores , siendo el circuncentro.
Realizamos la operación inversa hallando ; igual y paralelo a , tal que . Por trazamos un arco de radio igual al radio de la circunscrita ya que son radios de dicha circunferencia. Sus intersecciones con la circunscrita son los puntos y vértices de .
Comprobamos que el vector y por lo tanto .
Problema VIII
Conocemos el circuncentro, un vértice la recta na que contiene a la mediana que pasa por y la mediatriz . Construir el triángulo .
Dibujamos la circunscrita con centro en y radio . Por el punto de intersección de con trazamos la perpendicular a , obteniendo los vértices y de la solución.
Problema IX
Conocemos la circunferencia circunscrita a un triángulo , el vértice y la bisectriz . Construir el triángulo .
La bisectriz se cortará con la mediatriz del lado opuesto al ángulo en en un punto de la circunscrita. La recta es la mediatriz de . El vértice es simétrico de respecto a dicha mediatriz.
Por otra parte la bisectriz corta a la circunscrita en el vértice .
Problema X
Conocemos la mediatriz , la bisectriz y un punto del triángulo .
Construir dicho triángulo.
La intersección de la mediatriz y la bisectriz dadas es un punto que pertenece a la circunscrita de . Trazamos la mediatriz de y hallamos el centro de dicha circunscrita, que dibujamos. El punto es el simétrico de respecto de y el punto la intersección de con la circunscrita.
Dibujamos .
Problema XI
Conocemos dos circunferencias exinscritas a un triángulo . Construir el triángulo.
Trazamos las rectas tangentes comunes interiores y exteriores a las circunferencias dadas. Los triángulos solución, simétricos respecto de la recta que une los centros de las circunferencias, son y .
Problema XII
Conocemos dos circunferencias, la menor inscrita y la mayor exinscrita a un triángulo . Construir el triángulo.
Trazamos las rectas tangentes comunes interiores y exteriores a las circunferencias dadas. Los triángulos solución, simétricos respecto de la recta que une los centros de las circunferencias, son y .
Problema XIII
Dado un triángulo , construir sus circunferencias inscrita, circunscrita y de Feuerbach, sus puntos y rectas notables y su recta de Euler.
En la figura también se ha señalado el punto de tangencia entre la circunferencia inscrita y la de Feuerbach.
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