Dominio y recorrido

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Revisión de 09:03 1 ago 2010

Tabla de contenidos

1 Definición de dominio
2 Ejemplo
3 Método para hallar el dominio
4 Ejemplo
5 Dominio y gráfica
6 Ejemplo
7 Recorrido y gráfica
8 Ejemplo

Definición de dominio

En principio y hablando con rigor, el dominio de una función es parte de la definición de esa función.

Ejemplo

Las funciones

$\mathrm{f}: \left[ \, 5, \, 6 \, \right] \subset R \longrightarrow R$

$x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \frac{1}{x}$

$\mathrm{g}: \left[ \, 1, \, 4 \, \right] \subset R \longrightarrow R$

$x \longrightarrow \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \, = \, \frac{1}{x}$

son funciones distintas porque sus dominios de definición son diferentes.

Observese que, en ambos casos, la imagen de $x$ se calcula de la misma manera ( dividiendo 1 entre $x$ ).

Sin embargo, cuando nos dicen que la función es

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}$

y nos piden el dominio, se entiende, que lo que nos están pidiendo es el mayor dominio posible, el conjunto de todos los números reales $x$ para los cuales existe $\frac{1}{x}$ , es decir, $\left\{ <pre> \, x \in \mathbb{R} \, \left| \, \exists \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, \right. </pre> \right\}$ , que en el ejemplo que estamos considerando es

$\mathbb{R} - \left\{ \, 0 \, \right\}$

(Todos los números reales excepto el cero ).

Método para hallar el dominio

Un procedimiento de obtención del dominio de una función $\mathrm{f}$ es quitar a $\mathbb{R}$ todos los $x$ en los que la función no está definida.

En general, la función $\mathrm{f}$ no está definida en $x$ cuando al evaluar $\mathrm{f}$ en $x$ nos encontramos con alguno de los siguientes "problemas":

1. Divisón por cero.

2. Logaritmo de un número no positivo ( cero o negativo ).

3. Raíz de orden par de un número negativo.

Ejemplo

Veamos como podemos hallar el dominio de

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \sqrt{\frac{\log \left( \, x \, \right)}{x - <pre> 2}} </pre> $

Según lo explicado anteriormente, buscamos primero aquellos valores de $x$ para los cuales no existe $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ .

La raíz de un número negativo no es un número real, por lo tanto, excluiremos del dominio aquellos valores de $x$ que sean solución de la inecuación

$0 > \frac{\log \left( \, x \, \right)}{x - 2}$

La función

$\frac{\log \left( \, x \, \right)}{x - 2}$

es negativa cuando $\log \left( \, x \, \right)$ y $x - 2$ tienen diferente signo, es decir, cuando ( caso 1 )

$\left\{ <pre> \begin{array}{l} \log \left( \, x \, \right) > 0 \\ 0 > x - 2 \end{array} </pre> \right.$

o bien, cuando ( caso 2 )

$\left\{ <pre> \begin{array}{l} 0 > \log \left( \, x \, \right) \\ x - 2 > 0 \end{array} </pre> \right.$

Analicemos primero el caso 1.

La solución de

$\log \left( \, x \, \right) > 0$

$x \in \left( \, 1, \, \infty \, \right)$

mientras que la solución de

$0 > x - 2$

$x \in \left( \, -\infty, \, 2 \, \right)$

Por lo tanto, el caso 1 se da cuando

$x \in \left( \, -\infty, \, 2 \, \right) \cap \left( \, 1, \, \infty \, \right) = \left( \, 1, \, 2 \, \right)$

Analicemos, a continuación, el caso 2.

La solución de

$0 > \log \left( \, x \, \right)$

$x \in \left( \, 0, \, 1 \, \right)$

mientras que la solución de

$x - 2 > 0$

$x \in \left( \, 2, \, \infty \, \right)$

Por lo tanto, el caso 2 se da cuando

$x \in \left( \, 2, \, \infty \, \right) \cap \left( \, 0, \, 1 \, \right) = \emptyset$

Es decir, este caso nunca se da ( $\emptyset =$ conjunto vacio ).

El dos tampoco está en el dominio de $\mathrm{f}$ porque cuando $x = 2$ se tiene una división por 0 en

$\sqrt{\frac{\log \left( \, x \, \right)}{x - 2}}$

Concluimos así, que el dominio de $\mathrm{f}$ es

$\mathbb{R} - \left\{ \, 2 \, \right\} - \left( \, 1, \, 2 \, \right) = \left( \, -\infty, \, 1 \, \right] \cup \left( \, 2, \, \infty \, \right)$

Dominio y gráfica

El conocer el dominio de una función $\mathrm{f}$ nos va a permitir identificar bandas o franjas verticales donde la gráfica de la función no está ( ningún punto de la gráfica de $\mathrm{f}$ se encotraría en dichas franjas o bandas verticales ).

Ejemplo

En el ejemplo anterior el dominio de $\mathrm{f}$ es

$\mathbb{R} - \left( \, 1, \, 2 \, \right]$

La gráfica de $\mathrm{f}$ podría tener algún punto en la recta vertical $\mathrm{r}$ de ecuación $x = 1$ pero no puede tener ningún punto, ni en la recta vertical $\mathrm{s}$ de ecuación $x = 2$ ni en ningún punto en la franja vertical delimitadas por las rectas $\mathrm{r}$ y $\mathrm{s}$ .

Recorrido y gráfica

Análogamente, el conocer el dominio de una función $\mathrm{f}$ nos va a permitir identificar bandas o franjas horizontales donde la gráfica de la función no está ( ningún punto de la gráfica de $\mathrm{f}$ se encotraría en dichas franjas o bandas horizontales ).

Ejemplo

El recorrido de la función

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \cos \left( \, x \, \right)$

es $\left[ \, -1, \, 1 \, \right]$ , lo cual significa que deberemos dibujar la gráfica en la banda horizontal delimitada por las rectas horizontales de ecuaciones $y = -1$ e $y = 1$ , ya que ningún punto de la gráfica se encuentra fuera de esta banda horizontal.