Asíntotas
De Wikillerato
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Si por la derecha ( izquierda ) existe asintota horizontal, no existe asintota oblicua y | Si por la derecha ( izquierda ) existe asintota horizontal, no existe asintota oblicua y | ||
- | viceversa. Es decir, no puede darse el caso que una función tenga asintotas | + | viceversa. Es decir, no puede darse el caso que una función tenga asintotas |
- | horizontal y oblicua por la derecha ( izquierda ). | + | horizontal y oblicua por la derecha ( izquierda ). |
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Revisión de 09:31 6 ago 2010
Tabla de contenidos |
Introducción
Las asintotas son rectas a las que "se aproximan" la gráfica de la función.
En los siguientes
apartados concretaremos que se entiende por "se aproximan".
Asintotas verticales
Se dice que la recta vertical de ecuación
es una asintota vertical de la función , si y solo si
es o , o bien
es o .
No hay limite al número de asintotas verticales que puede tener una función.
Ejemplos
Ejemplo 1
La función tiene una asintota vertical de ecuación
ya que
y
Notese que la asintota vertical de esta función es el eje Y.
Ejemplo 2
La función tiene una asintota vertical de ecuación
para cada .
Por lo tanto, tiene infinitas asintotas verticales.
Asintota vertical y gráfica
A la hora de dibujar en la gráfica una asintota vertical de ecuacion , es importante conocer ambos limites laterales:
y
Veamos varios ejemplos en los que se ve claramente los distintos tipos de asintotas verticales que se pueden tener dependiendo de como sean los limites laterales anteriores.
Ejemplos
Ejemplo 1
A la izquierda y a la derecha de la asintota vertical la función tiende a .
Ejemplo 2
A la izquierda y a la derecha de la asintota vertical la función tiende a .
Ejemplo 3
A la izquierda de la asintota vertical la función tiende a y a la derecha a .
Ejemplo 4
A la izquierda de la asintota vertical la función tiende a y a la derecha a .
Ejemplo 5
A la izquierda de la asintota vertical la función tiende a un punto en la asintota vertical y a la derecha la función tiende a .
Asintotas horizontales
La función tiene una asintota horizontal por la derecha de ecuación si y solo si
La función tiene una asintota horizontal por la izquierda de ecuación si y solo si
Pueden darse los siguientes casos:
- 1. No existe ninguna asintota horizontal.
- 2. Existe una unica asintota horizontal por la derecha pero no existe asintota
horizontal por la izquierda.
- 3. Existe una unica asintota horizontal por la izquierda pero no existe asintota
horizontal por la derecha.
- 4. Existen dos asintotas horizontales, una por la izquierda y otra por la derecha.
En este ultimo caso, las asintotas horizontales por la derecha y por la izquierda pueden coincidir, pero, en general, no tienen porque coincider.
Ejemplos
Ejemplo 1
La función tiene una asintota horizontal de ecuación
ya que
y
En este caso la asintota horizontal por la izquierda y por la derecha coinciden ( ambas son el eje X ).
Ejemplo 2
Gráfica de una función con asintota horizontal por la izquierda:
Ejemplo 3
Gráfica de una función con asintota horizontal por la derecha:
Ejemplo 4
Gráfica de una función con asintotas horizontales por la derecha y por la izquierda:
Asintotas oblicuas
Si
es un número real distinto de cero diremos que la función tiene una asintota oblicua por la derecha.
En este caso, la asintota oblicua por la derecha es la recta de ecuación
donde
Si
es un número real distinto de cero diremos que la función tiene una asintota oblicua por la izquierda.
En este caso, la asintota oblicua por la izquierda es la recta de ecuación
donde
Pueden darse los siguientes casos:
- 1. No existe ninguna asintota oblicua.
- 2. Existe una unica asintota oblicua por la derecha pero no existe asintota
oblicua por la izquierda.
- 3. Existe una unica asintota oblicua por la izquierda pero no existe asintota
oblicua por la derecha.
- 4. Existen dos asintotas oblicuas, una por la izquierda y otra por la derecha.
En este ultimo caso, las asintotas oblicuas por la derecha y por la izquierda pueden coincidir, pero, en general, no tienen porque coincider.
Si por la derecha ( izquierda ) existe asintota horizontal, no existe asintota oblicua y viceversa. Es decir, no puede darse el caso que una función tenga asintotas horizontal y oblicua por la derecha ( izquierda ).
Ejemplos
Ejemplo 1
Gráfica de una función con asintotas oblicuas por la derecha y por la izquierda.
Ejemplo 2
Sea
Como
La función tiene una asintota oblicua por la derecha de pendiente 1.
Para calcular su ordenada en el origen
calculamos el siguiente limite
Por tanto la ecuación de la asintota oblicua por la derecha es
Como
La función tiene una asintota oblicua por la izquierda de pendiente 1.
Para calcular su ordenada en el origen calculamos el siguiente limite
Por tanto la ecuación de la asintota oblicua por la izquierda es tambien
En este ejemplo, las asintotas oblicuas por la izquierda y por la derecha coinciden.
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