Asíntotas

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Revisión de 10:24 6 ago 2010

Introducción

Las asintotas son rectas a las que "se aproximan" la gráfica de la función.

En los siguientes apartados concretaremos que se entiende por "se aproximan".

Asintotas verticales

Se dice que la recta vertical de ecuación

$y = a$

es una asintota vertical de la función $\mathrm{f}$ , si y solo si

$\lim_{x \to a^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

es $+\infty$ o $-\infty$ , o bien

$\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

es $+\infty$ o $-\infty$ .

No hay limite al número de asintotas verticales que puede tener una función.

Ejemplos

Ejemplo 1

La función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}$ tiene una asintota vertical de ecuación

$x = 0$

ya que

$\lim_{x \to 0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty$

$\lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty$

Notese que la asintota vertical de esta función es el eje Y.

Ejemplo 2

La función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \arc \tan \left( \, x \, \right)$ tiene una asintota vertical de ecuación

$x = \frac{\pi}{2} + n \cdot \pi$

para cada $n \in \mathbb{Z}$ .

Por lo tanto, tiene infinitas asintotas verticales.

Asintota vertical y gráfica

A la hora de dibujar en la gráfica una asintota vertical de ecuacion $x = a$ , es importante conocer ambos limites laterales:

$\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ y $\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

Veamos varios ejemplos en los que se ve claramente los distintos tipos de asintotas verticales que se pueden tener dependiendo de como sean los limites laterales anteriores.

Ejemplos

Ejemplo 1

A la izquierda y a la derecha de la asintota vertical la función tiende a $+\infty$ .

Ejemplo 2

A la izquierda y a la derecha de la asintota vertical la función tiende a $-\infty$ .

Ejemplo 3

A la izquierda de la asintota vertical la función tiende a $+\infty$ y a la derecha a $-\infty$ .

Ejemplo 4

A la izquierda de la asintota vertical la función tiende a $-\infty$ y a la derecha a $+\infty$ .

Ejemplo 5

A la izquierda de la asintota vertical la función tiende a un punto en la asintota vertical y a la derecha la función tiende a $+\infty$ .

Asintotas horizontales

La función $\mathrm{f}$ tiene una asintota horizontal por la derecha de ecuación $y = a$ si y solo si

$\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = a$

La función $\mathrm{f}$ tiene una asintota horizontal por la izquierda de ecuación $y = a$ si y solo si

$\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = a$

Pueden darse los siguientes casos:

1. No existe ninguna asintota horizontal.

2. Existe una unica asintota horizontal por la derecha pero no existe asintota

horizontal por la izquierda.

3. Existe una unica asintota horizontal por la izquierda pero no existe asintota

horizontal por la derecha.

4. Existen dos asintotas horizontales, una por la izquierda y otra por la derecha.

En este ultimo caso, las asintotas horizontales por la derecha y por la izquierda pueden coincidir, pero, en general, no tienen porque coincidir.

Ejemplos

Ejemplo 1

La función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}$ tiene una asintota horizontal de ecuación

$y = 0$

ya que

$\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0$

$\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0$

En este caso la asintota horizontal por la izquierda y por la derecha coinciden ( ambas son el eje X ).

Ejemplo 2

Gráfica de una función con asintota horizontal por la izquierda:

Ejemplo 3

Gráfica de una función con asintota horizontal por la derecha:

Ejemplo 4

Gráfica de una función con asintotas horizontales por la derecha y por la izquierda:

Asintotas oblicuas

$\lim_{x \to \infty} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{x}$

es un número real $m$ distinto de cero diremos que la función $\mathrm{f}$ tiene una asintota oblicua por la derecha.

En este caso, la asintota oblicua por la derecha es la recta de ecuación

$y = m \cdot x + n$

donde

$n = \lim_{x \to \infty} \left( <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - m \cdot x \, </pre> \right)$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{x}$

es un número real $m$ distinto de cero diremos que la función $\mathrm{f}$ tiene una asintota oblicua por la izquierda.

En este caso, la asintota oblicua por la izquierda es la recta de ecuación

$y = m \cdot x + n$

donde

$n = \lim_{x \to -\infty} \left( <pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - m \cdot x \, </pre> \right)$

Pueden darse los siguientes casos:

1. No existe ninguna asintota oblicua.

2. Existe una unica asintota oblicua por la derecha pero no existe asintota

oblicua por la izquierda.

3. Existe una unica asintota oblicua por la izquierda pero no existe asintota

oblicua por la derecha.

4. Existen dos asintotas oblicuas, una por la izquierda y otra por la derecha.

En este ultimo caso, las asintotas oblicuas por la derecha y por la izquierda pueden coincidir, pero, en general, no tienen porque coincider.

Si  por la  derecha ( izquierda ) existe  asintota horizontal,  no existe  asintota  oblicua y viceversa.

Es decir, no puede darse el caso que una función tenga asintotas horizontal y oblicua por la derecha ( izquierda ).

Ejemplos

Ejemplo 1

Gráfica de una función con asintotas oblicuas por la derecha y por la izquierda.

Ejemplo 2

Sea

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$

Como

$\lim_{x \to \infty} \frac{\mathrm{f}\left( \, x \, \right)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 - x} = 1 \neq 0$

La función $\mathrm{f}$ tiene una asintota oblicua por la derecha de pendiente 1.

Para calcular su ordenada en el origen $n$ calculamos el siguiente limite

$n = \lim_{x \to \infty} \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - 1 \cdot x\, \right) = \lim_{x \to \infty} \left( <pre> \, \frac{x^2 + 1}{x - 1} - \frac{x^2 - x}{x - 1} \, </pre> \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 1} = 1$

Por tanto la ecuación de la asintota oblicua por la derecha es

$y = x + 1$

Como

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\mathrm{f}\left( \, x \, \right)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = 1 \neq 0$

La función $\mathrm{f}$ tiene una asintota oblicua por la izquierda de pendiente 1.

Para calcular su ordenada en el origen $n$ calculamos el siguiente limite

$n = \lim_{x \to -\infty} \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - 1 \cdot x\, \right) = \lim_{x \to \infty} \left( <pre> \, \frac{x^2 + 1}{x - 1} - \frac{x^2 - x}{x - 1} \, </pre> \right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + 1}{x - 1} = 1$