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Matriz inversa

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 1: Línea 1:
 +
Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension
 +
 
 +
<math>
 +
m \times n
 +
</math>
 +
&nbsp; a un conjunto de números reales dispuestos en &nbsp;
 +
<math>
 +
m
 +
</math>
 +
&nbsp; filas y &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
&nbsp; columnas de la siguiente forma &nbsp;
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cccc}
 +
a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}
 +
\\
 +
a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}
 +
\\
 +
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
 +
\\
 +
a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
La matriz &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
&nbsp; se puede designar tambien como &nbsp;
 +
<math>
 +
\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad
 +
</math>
 +
&nbsp; donde
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left\{
 +
\begin{array}[c]{l}
 +
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
 +
\\
 +
j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Un elemento generico de la matriz se designa por &nbsp;
 +
<math>
 +
a_{ij}
 +
</math>
 +
&nbsp; en el cual el subindice &nbsp;
 +
<math>
 +
i
 +
</math>
 +
&nbsp; representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice &nbsp;
 +
<math>
 +
j
 +
</math>
 +
&nbsp; el numero de columna.
 +
 +
El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
m \times n
 +
</math>
 +
&nbsp; se denota por:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
M_{m \times n}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
n \times n
 +
</math>
 +
, &nbsp; tambien llamadas de orden &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
, &nbsp; se denota por:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
M_n
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:
 +
 +
* la diagonal principal formada por los elementos de la forma &nbsp;
 +
<math>
 +
a_{ii}
 +
</math>
 +
&nbsp;
 +
 +
*la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma &nbsp;
 +
<math>
 +
a_{ij}
 +
</math>
 +
&nbsp; tales que &nbsp;
 +
<math>
 +
i + j = n + 1
 +
</math>
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cccc}
 +
\mathbf{a_{11}} & a_{12} & a_{13} & a_{14}
 +
\\
 +
a_{21} & \mathbf{a_{22}} & a_{23} & a_{24}
 +
\\
 +
a_{31} & a_{32} & \mathbf{a_{33}} & a_{34}
 +
\\
 +
a_{41} & a_{42} & a_{43} & \mathbf{a_{44}}
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
&
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cccc}
 +
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \mathbf{a_{14}}
 +
\\
 +
a_{21} & a_{22} & \mathbf{a_{23}} & a_{24}
 +
\\
 +
a_{31} & \mathbf{a_{32}} & a_{33} & a_{34}
 +
\\
 +
\mathbf{a_{41}} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
\\
 +
&
 +
\\
 +
\makebox{Diagonal principal} & \makebox{Diagonal secundaria}
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
\left(
 +
m \neq n
 +
\right)
 +
</math>
 +
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & -1 & ~~0
 +
\\
 +
2 & ~~3 & -1
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
1 \times n
 +
</math>
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
-1 & 3 & 5
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
m \times 1
 +
</math>
 +
&nbsp;
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{c}
 +
-1
 +
\\
 +
~~3
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Una matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
0
 +
</math>
 +
.
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
0 & 0 & 0
 +
\\
 +
0 & 0 & 0
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
 +
situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & -1 & ~~0
 +
\\
 +
0 & ~~3 & -1
 +
\\
 +
0 & ~~0 & ~~2
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
 +
situados por encima de la diagonal principal son ceros
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
2 & ~~0 & 0
 +
\\
 +
3 & -1 & 0
 +
\\
 +
1 & -1 & 3
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
 +
no situados en la diagonal principal son ceros.
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
~~2 & ~~0 & ~~0
 +
\\
 +
~~0 & -1 & ~~0
 +
\\
 +
~~0 & ~~0 & ~~3
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los terminos
 +
de la diagonal principal son iguales.
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
2 & {0} & {0}
 +
\\
 +
{0} & 2 & {0}
 +
\\
 +
{0} & {0} & 2
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Matriz unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
1
 +
</math>
 +
&nbsp; .
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & {0} & {0}
 +
\\
 +
{0} & 1 & {0}
 +
\\
 +
{0} & {0} & 1
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
%% }}}
 +
%% {{{ =Operaciones elementales con matrices
 +
 +
Dos matrices son iguales si tienen la misma dimension y si los elementos que ocupan el
 +
mismo lugar en ambas, son iguales.
 +
 +
Para dos matrices &nbsp;
 +
<math>
 +
A = \left( a_{ij} \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
B = \left( b_{ij} \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; de la misma dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
m \times n
 +
</math>
 +
, &nbsp; la suma de &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
B
 +
</math>
 +
&nbsp; es la matriz de la misma dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
m \times n
 +
</math>
 +
, &nbsp; dada por
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
A + B = \left( a_{ij} \right) + \left( b_{ij} \right) = \left( a_{ij} + b_{ij} \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
A + B =
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
a_{11 }& a_{12} & a_{13}
 +
\\
 +
a_{21 }& a_{22} & a_{23}
 +
\\
 +
a_{31 }& a_{32} & a_{33}
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
+
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
b_{11 }& b_{12} & b_{13}
 +
\\
 +
b_{21 }& b_{22} & b_{23}
 +
\\
 +
b_{31 }& b_{32} & b_{33}
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
=
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
a_{11 } + b_{11 } & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13}
 +
\\
 +
a_{21 } + b_{21 } & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23}
 +
\\
 +
a_{31 } + b_{31 } & a_{32} + b_{32} & a_{33} + b_{33}
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Para un número real &nbsp;
 +
<math>
 +
k
 +
</math>
 +
&nbsp; y una matriz &nbsp;
 +
<math>
 +
A = \left( a_{ij} \right)}
 +
</math>
 +
&nbsp; de dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
m \times n
 +
</math>
 +
, &nbsp; el producto de un número real por una matriz es la matriz de la misma dimension
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
m \times n
 +
</math>
 +
&nbsp; dada por
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
k \cdot A = k \cdot \left( a_{ij} \right) = \left( k \cdot a_{ij} \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Es decir, el producto &nbsp;
 +
<math>
 +
k \cdot A
 +
</math>
 +
&nbsp; se obtiene multiplicando el numero real por cada uno de los elementos de la
 +
matriz.
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
k \cdot A = k \cdot
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
a_{11 }& a_{12}
 +
\\
 +
a_{21 }& a_{22}
 +
\\
 +
a_{31 }& a_{32}
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
=
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
k \cdot a_{11 }& k \cdot a_{12}
 +
\\
 +
k \cdot a_{21 }& k \cdot a_{22}
 +
\\
 +
k \cdot a_{31 }& k \cdot a_{32}
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
El producto de dos matrices &nbsp;
 +
<math>
 +
A = \left( a_{ij} \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; de dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
m \times n
 +
</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
B = \left( b_{ij} \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; de dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
n \times p
 +
</math>
 +
, &nbsp; es la matriz &nbsp;
 +
<math>
 +
A \cdot B
 +
</math>
 +
&nbsp; dada por:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
A \cdot B = \left( c_{ij} \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
con
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
c_{ij} = \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot b_{jk}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Es decir, cada elemento &nbsp;
 +
<math>
 +
c_{ik}
 +
</math>
 +
&nbsp; se obtiene multiplicando la fila i-ésima de la primera matriz por la columna
 +
k-ésima de la segunda matriz.
 +
Ejemplo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & 2 & 3
 +
\\
 +
4 & 5 & 6
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
\cdot
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
~~7 & ~~8
 +
\\
 +
~~9 & ~~0
 +
\\
 +
-1 & -2
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
=
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{cc}
 +
1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot \left( -1 \right) & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot \left( -2 \right)
 +
\\
 +
4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot \left( -1 \right) & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot \left( -2 \right)
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
*El producto de matrices cuadradas es asociativo:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
A \cdot
 +
\left(
 +
B \cdot C
 +
\right)
 +
=
 +
\left(
 +
A \cdot B
 +
\right)
 +
\cdot C
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
*El producto de matrices cuadradas de orden &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
&nbsp; posee como elemento neutro la matriz unidad o identidad &nbsp;
 +
<math>
 +
I
 +
</math>
 +
&nbsp; de orden &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
&nbsp; ya que:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
A \cdot I = I \cdot A = A
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
* El producto de matrices cuadradas es distributivo respecto de la suma de matrices:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
A \cdot
 +
\left(
 +
B + C
 +
\right)
 +
= A \cdot B + A \cdot C
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
%% }}}
 +
%% {{{ =Matriz transpuesta
 +
Se llama matriz traspuesta de una matriz &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
&nbsp; de dimension &nbsp;
 +
<math>
 +
m \times n
 +
</math>
 +
, &nbsp; a la matriz que se obtiene al cambiar en &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
&nbsp; las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por &nbsp;
 +
<math>
 +
A^t
 +
</math>
 +
&nbsp; y su dimension es &nbsp;
 +
<math>
 +
n \times m
 +
</math>
 +
 +
<br/>
 +
 +
==Propiedades:==
 +
 +
<br/>
 +
 +
* <math>
 +
\left( \, A^t \, \right)^t = A
 +
</math>
 +
 +
* <math>
 +
\left( \, A + B \, \right)^t = A^t + B^t
 +
</math>
 +
&nbsp;
 +
 +
* <math>
 +
\left( \, k \cdot A \, \right)^t = k \cdot A^t
 +
</math>
 +
&nbsp;
 +
 +
* <math>
 +
\left( \, A \cdot B \, \right)^t = B^t \cdot A^t
 +
</math>
 +
&nbsp;
 +
 +
<br/>
 +
 +
----
 +
 +
<br/>
 +
 +
Se llama matriz simetrica a toda matriz cuadrada &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
&nbsp; que coincide con su transpuesta: &nbsp;
 +
<math>
 +
A = A^t
 +
</math>.
 +
&nbsp; En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la
 +
diagonal principal son iguales.
 +
 +
====Ejemplo:====
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
1 & 2 & 3
 +
\\
 +
2 & 4 & 5
 +
\\
 +
3 & 5 & 7
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
Se llama matriz antisimetrica a toda matriz cuadrada &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
&nbsp; que coincide con la opuesta de su transpuesta: &nbsp;
 +
<math>
 +
A = -A^t
 +
</math>.
 +
&nbsp; En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la
 +
diagonal principal son opuestos.
 +
 +
====Ejemplo:====
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\begin{array}[c]{ccc}
 +
~~ 0 & ~~2 & -3
 +
\\
 +
-2 & ~~0 & ~~5
 +
\\
 +
~~ 3 & -5 & ~~0
 +
\end{array}
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
%% }}}
 +
%% {{{ =Matriz inversa
 +
La matriz inversa de una matriz cuadrada &nbsp;
La matriz inversa de una matriz cuadrada &nbsp;
<math>
<math>
Línea 71: Línea 851:
<br/>
<br/>
-
Por ejemplo para hallar la matriz inversa de la matriz
+
====Ejemplo:====
<br/>
<br/>
Línea 289: Línea 1.069:
F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j
F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j
</math>
</math>
 +
 +
%% }}}
 +
%% {{{ =Rango de una matriz
 +
 +
En la matriz
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<br/>
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<center>
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<math>
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\left(
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\begin{array}[c]{cccc}
 +
a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}
 +
\\
 +
a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}
 +
\\
 +
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
 +
\\
 +
a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
 +
\end{array}
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\right)
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</math>
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</center>
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<br/>
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 +
Se dice que las filas &nbsp;
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<br/>
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<center>
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<math>
 +
F_i, \, F_j, \, F_k, \, \ldots, \, F_t
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</math>
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</center>
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<br/>
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<center>
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<math>
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\left(
 +
\, F_i =
 +
\left(
 +
\, a_{i1 }, \, a_{i2}, \, \ldots, \, a_{in} \,
 +
\right)
 +
\right)
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</math>
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</center>
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<br/>
 +
 +
son dependientes si existen números &nbsp;
 +
<math>
 +
\alpha_j, \, \alpha_k, \, \ldots, \, \alpha_t \in R
 +
</math>
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&nbsp; tales que
 +
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<br/>
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<center>
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<math>
 +
F_i = \alpha_j \cdot F_j + \alpha_k \cdot F_k + \, \ldots \, + \alpha_t \cdot F_t
 +
</math>
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</center>
 +
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<br/>
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 +
En caso contrario, se dice que las filas &nbsp;
 +
<math>
 +
F_i, \, F_j, \, F_k, \, \ldots, \, F_t
 +
</math>
 +
&nbsp; son linealmente independientes.
 +
 +
El '''rango''' de una matriz es el número de filas o de columnas linealmente independientes
 +
que tiene esa matriz.

Revisión de 12:23 29 nov 2006

Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension   m \times n   a un conjunto de números reales dispuestos en   m   filas y   n   columnas de la siguiente forma  


\left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cccc} a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} </pre> <p>\right)


La matriz   A   se puede designar tambien como   \quad A = \left( a_{ij} \right) \quad   donde


\left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{l} i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m \\ j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n \end{array} </pre> <p>\right.


Un elemento generico de la matriz se designa por   a_{ij}   en el cual el subindice   i   representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice   j   el numero de columna.

El conjunto de matrices de dimension   m \times n   se denota por:


M_{m \times n}


El conjunto de matrices de dimension   n \times n ,   tambien llamadas de orden   n ,   se denota por:


M_n


Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:

  • la diagonal principal formada por los elementos de la forma  

a_{ii}  

  • la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma  

a_{ij}   tales que   i + j = n + 1


\begin{array}[c]{cc} </p> <pre> \left( \begin{array}[c]{cccc} \mathbf{a_{11}} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & \mathbf{a_{22}} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & \mathbf{a_{33}} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & \mathbf{a_{44}} \end{array} \right) & \left( \begin{array}[c]{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \mathbf{a_{14}} \\ a_{21} & a_{22} & \mathbf{a_{23}} & a_{24} \\ a_{31} & \mathbf{a_{32}} & a_{33} & a_{34} \\ \mathbf{a_{41}} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{array} \right) \\ & \\ \makebox{Diagonal principal} & \makebox{Diagonal secundaria} </pre> <p>\end{array}


Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas   \left( </p> <pre> m \neq n </pre> <p>\right)

Ejemplo:


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & -1 & ~~0 \\ 2 & ~~3 & -1 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension   1 \times n Ejemplo:


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} -1 & 3 & 5 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension   m \times 1   Ejemplo:


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{c} -1 \\ ~~3 \end{array} \right) </pre> <p>


Una matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por   0 . Ejemplo:


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplo:


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & -1 & ~~0 \\ 0 & ~~3 & -1 \\ 0 & ~~0 & ~~2 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por encima de la diagonal principal son ceros Ejemplo:


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 2 & ~~0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos no situados en la diagonal principal son ceros. Ejemplo:


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} ~~2 & ~~0 & ~~0 \\ ~~0 & -1 & ~~0 \\ ~~0 & ~~0 & ~~3 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los terminos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo:


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 2 & {0} & {0} \\ {0} & 2 & {0} \\ {0} & {0} & 2 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos   1   . Ejemplo:


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & {0} & {0} \\ {0} & 1 & {0} \\ {0} & {0} & 1 \end{array} \right) </pre> <p>

%% }}} %% {{{ =Operaciones elementales con matrices

Dos matrices son iguales si tienen la misma dimension y si los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Para dos matrices   A = \left( a_{ij} \right)   y   B = \left( b_{ij} \right)   de la misma dimension   m \times n ,   la suma de   A   y   B   es la matriz de la misma dimension   m \times n ,   dada por


A + B = \left( a_{ij} \right) + \left( b_{ij} \right) = \left( a_{ij} + b_{ij} \right)


Ejemplo:


A + B = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} a_{11 }& a_{12} & a_{13} \\ a_{21 }& a_{22} & a_{23} \\ a_{31 }& a_{32} & a_{33} \end{array} </pre> <p>\right) + \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} b_{11 }& b_{12} & b_{13} \\ b_{21 }& b_{22} & b_{23} \\ b_{31 }& b_{32} & b_{33} \end{array} </pre> <p>\right) = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} a_{11 } + b_{11 } & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13} \\ a_{21 } + b_{21 } & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23} \\ a_{31 } + b_{31 } & a_{32} + b_{32} & a_{33} + b_{33} \end{array} </pre> <p>\right)


Para un número real   k   y una matriz   A = \left( a_{ij} \right)}   de dimension   m \times n ,   el producto de un número real por una matriz es la matriz de la misma dimension   m \times n   dada por


k \cdot A = k \cdot \left( a_{ij} \right) = \left( k \cdot a_{ij} \right)


Es decir, el producto   k \cdot A   se obtiene multiplicando el numero real por cada uno de los elementos de la matriz. Ejemplo:


k \cdot A = k \cdot \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} a_{11 }& a_{12} \\ a_{21 }& a_{22} \\ a_{31 }& a_{32} \end{array} </pre> <p>\right) = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} k \cdot a_{11 }& k \cdot a_{12} \\ k \cdot a_{21 }& k \cdot a_{22} \\ k \cdot a_{31 }& k \cdot a_{32} \end{array} </pre> <p>\right)


El producto de dos matrices   A = \left( a_{ij} \right)   de dimension   m \times n   y   B = \left( b_{ij} \right)   de dimension   n \times p ,   es la matriz   A \cdot B   dada por:


A \cdot B = \left( c_{ij} \right)


con


</p> <pre>c_{ij} = \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot b_{jk} </pre> <p>


Es decir, cada elemento   c_{ik}   se obtiene multiplicando la fila i-ésima de la primera matriz por la columna k-ésima de la segunda matriz. Ejemplo:


\left( </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} </pre> <p>\right) \cdot \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} ~~7 & ~~8 \\ ~~9 & ~~0 \\ -1 & -2 \end{array} </pre> <p>\right) = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot \left( -1 \right) & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot \left( -2 \right) \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot \left( -1 \right) & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot \left( -2 \right) \end{array} </pre> <p>\right)


  • El producto de matrices cuadradas es asociativo:


A \cdot \left( </p> <pre> B \cdot C </pre> <p>\right) = \left( </p> <pre> A \cdot B </pre> <p>\right) \cdot C


  • El producto de matrices cuadradas de orden  

n   posee como elemento neutro la matriz unidad o identidad   I   de orden   n   ya que:


A \cdot I = I \cdot A = A


  • El producto de matrices cuadradas es distributivo respecto de la suma de matrices:


A \cdot \left( </p> <pre> B + C </pre> <p>\right) </p> <pre>= A \cdot B + A \cdot C </pre> <p>

%% }}} %% {{{ =Matriz transpuesta Se llama matriz traspuesta de una matriz   A   de dimension   m \times n ,   a la matriz que se obtiene al cambiar en   A   las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por   A^t   y su dimension es   n \times m


Tabla de contenidos

Propiedades:


  • \left( \, A^t \, \right)^t = A

    • \left( \, A + B \, \right)^t = A^t + B^t  

      • \left( \, k \cdot A \, \right)^t = k \cdot A^t  

        • \left( \, A \cdot B \, \right)^t = B^t \cdot A^t  



          Se llama matriz simetrica a toda matriz cuadrada   A   que coincide con su transpuesta:   A = A^t .   En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la diagonal principal son iguales.

          Ejemplo:


          \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{array} </pre> <p>\right)


          Se llama matriz antisimetrica a toda matriz cuadrada   A   que coincide con la opuesta de su transpuesta:   A = -A^t .   En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la diagonal principal son opuestos.

          Ejemplo:


          \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} ~~ 0 & ~~2 & -3 \\ -2 & ~~0 & ~~5 \\ ~~ 3 & -5 & ~~0 \end{array} </pre> <p>\right)

          %% }}} %% {{{ =Matriz inversa

          La matriz inversa de una matriz cuadrada   A   de orden   n,   es la matriz   , A^{-1},   de orden   n   que verifica:


          A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I


          Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.


          Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:

          1.   Si existe,   A^{-1}   es única.

          2.   \left( </p> <pre> A^{-1} </pre> <p>\right) ^{-1} = A

          3.   \left( </p> <pre> A \cdot B </pre> <p>\right) ^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}


          Calculo de la matriz inversa


          Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:


          Mediante la definicion


          Ejemplo:


          A = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> <p>\right)


          hacemos


          A^{-1} = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> <p>\right)


          como


          I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> <p>\right) \cdot \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> <p>\right) = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> <p>\right)


          Operando:


          \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} a + 2c & b + 2d \\ 3a + 7c & 3b + 7d \end{array} </pre> <p>\right) = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> <p>\right) \Leftrightarrow \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} a + 2c & = & 1 \\ 3a + 7c & = & 0 \\ b + 2d & = & 0 \\ 3b + 7d & = & 1 \\ \end{array} </pre> <p>\right.


          \Rightarrow \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} a & = & 7 \\ b & = & -2 \\ c & = & -3 \\ d & = & 1 \\ \end{array} </pre> <p>\right.


          Método de Gauss-Jordan


          La inversa de una matriz regular   A   se calcular transformando la matriz   \left( </p> <pre>\, A \, \left| \, I \, \right. </pre> <p>\right)   mediante operaciones elementales por filas en la matriz   \left( </p> <pre>\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right. </pre> <p>\right)

          Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:

          1. Intercambiar las filas   i   y   j,   que designaremos por   F_i \longrightarrow F_j  

          2. Multiplicar la fila   i   por el numero   k \neq 0   y sustituirla por el resultado; lo designamos por   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

          3. Multiplicar la fila   i   por el numero   k \neq 0   y sustituirla por el resultado; lo designamos por   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

          4. Sumar las filas   i   y   j,  , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila   i   o   j  . Lo designamos por   F_i   o   F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j

          %% }}} %% {{{ =Rango de una matriz

          En la matriz


          \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cccc} a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} </pre> <p>\right)


          Se dice que las filas  


          F_i, \, F_j, \, F_k, \, \ldots, \, F_t


          \left( </p> <pre> \, F_i = </pre> <p>\left( </p> <pre> \, a_{i1 }, \, a_{i2}, \, \ldots, \, a_{in} \, </pre> <p>\right) \right)


          son dependientes si existen números   \alpha_j, \, \alpha_k, \, \ldots, \, \alpha_t \in R   tales que


          F_i = \alpha_j \cdot F_j + \alpha_k \cdot F_k + \, \ldots \, + \alpha_t \cdot F_t


          En caso contrario, se dice que las filas   F_i, \, F_j, \, F_k, \, \ldots, \, F_t   son linealmente independientes.

          El rango de una matriz es el número de filas o de columnas linealmente independientes que tiene esa matriz.

          Obtenido de "http://wikillerato.org/Matriz_inversa.html"
             
 
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