Cálculo del rango de una matriz por menores

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 05:33 13 oct 2010

Definición de menor de una matriz

Se llama menor de orden k de una matriz $\mathbf{A}$ al determinante de orden k que está formado por los elementos que pertenecen a k filas y a k columnas de la matriz $\mathbf{A}$ .

En este determinante los elementos de $\mathbf{A}$ conservan las posiciones relativas que tienen en la matriz $\mathbf{A}$ .

Es decir, si la fila de $\mathbf{A}$ en la que se encuentra $a$ esta por encima de la fila de $\mathbf{A}$ en la que se encuentra $b$ , entonces, en los menores de $\mathbf{A}$ en los que aparezcan $a$ y $b$ , la fila en la que se encuentra $a$ va a estar por encima de la fila en la que se encuentra $b$ .

Analogamente, si la columna de $\mathbf{A}$ en la que se encuentra $a$ esta a la derecha de la columna de $\mathbf{A}$ en la que se encuentra $b$ , entonces, en los menores de $\mathbf{A}$ en los que aparezcan $a$ y $b$ , la columna en la que se encuentra $a$ va a estar a la derecha de la columna en la que se encuentra $b$ .

Teorema

 El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que podemos obtener de esta matriz.

Es decir, si el rango de una matriz es k, entonces todos los menores de orden superior a k, si los hubiese, son nulos. O dicho de otra manera:

Si todos los menores de orden k y de orden mayor que k de una matriz son nulos, entonces el rango de dicha matriz tiene que ser menor que k.

Siendo esto así, el procedimiento que describimos a continuacion nos permite calcular el rango de una matriz $\mathbf{A}$ independientemente de como sea la matriz $\mathbf{A}$ .

Procedimiento para calcular el rango de una matriz usando menores

Sea $k_{max}$ el orden de los menores de mayor orden de la matriz $\mathbf{A}$ .

$k_{max}$ es el número de filas o el número de columnas de $\mathrm{A}$ , el que sea menor.

Empezando por $k = k_{max}$ y continuando con $k = k_{max} - 1, \, \ldots, \, k = 2, \, k = 1$ , para cada valor de $k$ se va comprobando si algún menor de orden $k$ es cero.

Considerando distintos valores de $k$ en este orden, el primer valor de $k$ que encontramos con un menor NO nulo es el rango de $\mathbf{A}$ .

Si no encontrasemos ningún $k$ satisfaciendo esta condición, entonces NO existiría ningún menor de $\mathbf{A}$ distinto de cero y el rango de $\mathbf{A}$ seria cero.

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