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Problemas de distancias

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(Página nueva: ==Distancia entre dos puntos== <br/> La distancia entre dos puntos &nbsp; <math> P = \left( \, x, \, y, \, z \, \right) </math> &nbsp; y &nbsp; <math> P^\prime = \left( \, x^\prim...)
Línea 12: Línea 12:
P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right)
P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right)
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-
es
+
&nbsp; es
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Línea 30: Línea 30:
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La distancia entre un punto
+
La distancia de un punto
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P
P
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y una recta
+
a una recta
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r
r
Línea 53: Línea 53:
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==Ejemplo==
+
===Ejemplo===
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Línea 61: Línea 61:
P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)
P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)
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-
&nbsp; con la recta de ecuaciones
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&nbsp; a la recta
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de ecuaciones
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r:
r:
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+
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0 = & x - 2y + 3z
+
0 = x - 2y + 3z
\\
\\
-
0 = & 2x - y + 4
+
0 = 2x - y + 4
\end{array}
\end{array}
\right.
\right.
Línea 86: Línea 90:
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r
r
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Queremos calcular la distancia de
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P
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P^\prime
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y para ello necesitamos conocer
 +
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P^\prime
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Línea 98: Línea 114:
r
r
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-
y la otra ecuaci\'on procede de igualar a cero el producto escalar del vector
+
y la otra ecuación procede de igualar a cero el producto escalar del vector
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Línea 115: Línea 131:
r
r
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</math>.
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( Ambos vectores son perpendiculares, ya que la recta que pasa por
+
El producto escalar de ambos vectores es cero porque son perpendiculares (la recta que pasa por
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P
P
Línea 131: Línea 147:
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Podemos obtener un vector director de la recta
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r
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El producto escalar de
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multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano:
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0 = x - 2y + 3z
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\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
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1 & -2 & 3
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2 & -1 & 0
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por un vector perpendicular del plano
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por &nbsp;
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\vec{PP^\prime }
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x - 2 & y - 1 & z - 0
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1 & -2 & 3
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2 & -1 & 0
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donde la primera fila es el vector &nbsp;
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Un vector perpendicular al plano
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Podemos obtener un vector director
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0 = x - 2y + 3z
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lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuacion anterior:
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[[Producto vectorial|multiplicando vectorialmente]] un vector perpendicular al plano
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lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de
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\pi_1
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-
\mathbf{n} = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)
+
\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)
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-
De la misma forma obtenemos un vector perpendicular al otro plano
+
De la misma forma obtenemos un vector
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\mathbf{n}_2
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perpendicular al plano
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 +
\pi_2
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</math>:
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-
\mathbf{n^\prime} = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)
+
\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)
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Línea 170: Línea 240:
El producto vectorial de ambos vectores,
El producto vectorial de ambos vectores,
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\mathbf{n}
+
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y
y
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-
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es
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 +
\mathbf{u} =
\left|
\left|
\begin{array}{ccc}
\begin{array}{ccc}
Línea 187: Línea 258:
2 & -1 & 0
2 & -1 & 0
\end{array}
\end{array}
-
\right|
+
\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)
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donde la segunda fila es
 
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\mathbf{n}
 
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y la tercera es
 
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\mathbf{n}^\prime
 
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El producto escalar de
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donde
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-
\left|
+
\begin{array}{ll}
-
\begin{array}{ccc}
+
\mathbf{i} & = \left( \, 1, \, 0, \, 0 \, \right)
-
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
+
\\
-
\\
+
\mathbf{j} & = \left( \, 0, \, 1, \, 0 \, \right)
-
1 & -2 & 3
+
\\
-
\\
+
\mathbf{k} & = \left( \, 0, \, 0, \, 1 \, \right)
-
2 & -1 & 0
+
\end{array}
-
\end{array}
+
-
\right|
+
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por &nbsp;
 
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\left|
 
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\begin{array}{ccc}
 
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x - 2 & y - 1 & z - 0
 
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\\
 
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1 & -2 & 3
 
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\\
 
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2 & -1 & 0
 
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donde la primera fila es el vector &nbsp;
 
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\vec{PP^\prime }
 
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[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión de 11:59 30 oct 2010

Distancia entre dos puntos


La distancia entre dos puntos   P = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)   y   P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right) 

  es

\mathrm{d} \left( \, P, \, P^\prime \, \right) = \sqrt{ </p> <pre> \left( \, x - x^\prime \, \right)^2 + \left( \, y - y^\prime \, \right)^2 + \left( \, z - z^\prime \, \right)^2 </pre> <p>}


Distancia entre un punto y una recta


La distancia de un punto P a una recta r es la distancia entre P y su proyeccion P^\prime en la recta r .


Ejemplo


Calculemos la distancia del punto   P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)   a la recta r de ecuaciones

r: \left\{ </p> <pre> \begin{array}{l} 0 = x - 2y + 3z \\ 0 = 2x - y + 4 \end{array} </pre> <p>\right.

Sea   P^\prime = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)   la proyección del punto P en la recta r . Queremos calcular la distancia de P a P^\prime y para ello necesitamos conocer P^\prime .


Para hallar P^\prime vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones, dos de ellas son las de la recta r y la otra ecuación procede de igualar a cero el producto escalar del vector

\vec{PP^\prime} = \left( </p> <pre> \, x, \, y, \, z \, </pre> <p>\right) - \left( </p> <pre> \, 2, \, 1, \, 0 \, </pre> <p>\right)

por un vector director de la recta r . El producto escalar de ambos vectores es cero porque son perpendiculares (la recta que pasa por P y P^\prime es perpendicular a la recta r ).




El producto escalar de

\left| </p> <pre> \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> <p>\right|

por   \vec{PP^\prime }   es

\left| </p> <pre> \begin{array}{ccc} x - 2 & y - 1 & z - 0 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> <p>\right|

donde la primera fila es el vector   \vec{PP^\prime } .

Podemos obtener un vector director \mathbf{u} de la recta r multiplicando vectorialmente un vector perpendicular al plano \pi_1 por un vector perpendicular al plano \pi_2 .

Un vector \mathbf{n}_1 perpendicular al plano \pi_1 lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de \pi_1 :

\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)

De la misma forma obtenemos un vector \mathbf{n}_2 perpendicular al plano \pi_2 :

\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)

El producto vectorial de ambos vectores, \mathbf{n}_1 y \mathbf{n}_2 es

\mathbf{u} = \left| </p> <pre> \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array} </pre> <p>\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)


donde

\begin{array}{ll} </p> <pre> \mathbf{i} & = \left( \, 1, \, 0, \, 0 \, \right) \\ \mathbf{j} & = \left( \, 0, \, 1, \, 0 \, \right) \\ \mathbf{k} & = \left( \, 0, \, 0, \, 1 \, \right) </pre> <p>\end{array}


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