Navegación
Métodos de integración
De Wikillerato
| Línea 52: | Línea 52: | ||
<br/> | <br/> | ||
| - | ==Ejemplo== | + | ===Ejemplo=== |
<br/> | <br/> | ||
| Línea 97: | Línea 97: | ||
<math> | <math> | ||
\int x \cdot e^x \cdot \mathrm{d}x = x \cdot e^x - \int 1 \cdot e^x | \int x \cdot e^x \cdot \mathrm{d}x = x \cdot e^x - \int 1 \cdot e^x | ||
| - | \cdot\mathrm{d}x = x \cdot e^x - e^x = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot e^x | + | \cdot\mathrm{d}x = x \cdot e^x - e^x + C = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot e^x + C |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
| Línea 212: | Línea 212: | ||
<br/> | <br/> | ||
| - | ==Ejemplo== | + | ===Ejemplo=== |
<br/> | <br/> | ||
| Línea 239: | Línea 239: | ||
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) & = e^x | \mathrm{f}^\prime \left( x \right) & = e^x | ||
\\ | \\ | ||
| - | \int e^x \cdot \cos \left( \, e^x \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int | + | \int e^x \cdot \cos \left( \, e^x \, \right) \cdot \mathrm{d}x & = \int |
| - | \mathrm{g} \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x | + | \mathrm{g} \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x |
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
| - | En este caso, | + | En este caso, una primitiva de |
| - | + | <math> | |
| - | + | \mathrm{g} \left( x \right) | |
| + | </math> | ||
| + | es | ||
| + | <center> | ||
| + | <math> | ||
| + | \mathrm{G} \left( \, x \, \right) = \mathrm{sen} \left( \, x \, \right) | ||
| + | </math> | ||
| + | </center> | ||
| + | Por lo tanto | ||
| + | <center> | ||
| + | <math> | ||
| + | \int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot | ||
| + | \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \infty \mathrm{g} \left( | ||
| + | t \right) \cdot \mathrm{d}t = \mathrm{G} \left( t \right) + C= \mathrm{G} \left( | ||
| + | \mathrm{f} \left( x \right)\right) + C = \mathrm{sen} \left( e^x \right) + C | ||
| + | </math> | ||
| + | </center> | ||
[[Category: Matemáticas]] | [[Category: Matemáticas]] | ||
Revisión de 16:11 15 nov 2010
Tabla de contenidos |
Integración por partes
La fórmula para la derivada de un producto es:
Despejando el último sumando, queda:
Si integramos en los dos miembros, se obtiene:
La última igualdad es cierta porque una primitiva de la derivada de una función es esa misma función.
Esta fórmula permite calcular la integral
a partir de la integral
.
Para que sea de utilidad el utilizar este metodo es necesario que nos resulte
mas sencilla de resolver la integral
que la integral de partida,
.
Ejemplo
Calculemos la integral
por partes.
Si hacemos
se tiene que
Utilizando la fórmula que hemos visto antes
Por tanto
Método de sustitución
Supongamos que queremos resolver una integral del tipo:
Una manera de resolver un problema de este tipo es haciendo el cambio de variable
La nueva variable
es una función de
,
con lo cual podemos hablar de la derivada de
con respecto de
, que se puede escribir como un cociente de diferenciales:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Ambos miembros de la igualdad anterior son dos formas distintas de denotar la
derivada de la funci\'on
.
Despejando
en la igualdad anterior, se deduce que
Sustituyendo
por
y
por
en
se tiene que
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Supongamos que [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] es una primitiva de [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ], entonces
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Ejemplo
Calculemos mediante el método de sustitución la integral
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Para ello utilizamos las formulas dadas en la descripción del metodo de sustitución con
Observese que
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
En este caso, una primitiva de
es
Por lo tanto
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
