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Cálculo de áreas y volúmenes

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 13: Línea 13:
\mathrm{g} \left( \, x \, \right)
\mathrm{g} \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; y nos preguntan calcular el área comprendida entre las graficas de ambas
+
&nbsp; y nos piden calcular el área comprendida entre las graficas de ambas
funciones.
funciones.
Línea 47: Línea 47:
n
n
</math>
</math>
-
soluciones &nbsp;
+
soluciones &nbsp; <math>
-
<math>
+
x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n
x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n
</math>
</math>
Línea 58: Línea 57:
</center>
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-
#2 Buscamos una primitiva &nbsp;
+
#2 Buscamos una primitiva &nbsp; <math>
-
<math>
+
\mathrm{H} \left( \, x \, \right)
\mathrm{H} \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
Línea 140: Línea 138:
</center>
</center>
-
para obtener 3 soluciones
+
para obtener 3 soluciones &nbsp;
-
soluciones &nbsp;
+
<math>
<math>
x_1 = -1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 1
x_1 = -1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 1
</math>.
</math>.
-
#2 Una primitiva &nbsp;
+
#2 Una primitiva &nbsp; <math>
-
<math>
+
\mathrm{H} \left( \, x \, \right)
\mathrm{H} \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; de &nbsp;
+
&nbsp; de &nbsp; <math>
-
<math>
+
\mathrm{h} \left( \, x \, \right)
\mathrm{h} \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; es
+
&nbsp; es
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<center>
<math>
<math>

Revisión de 11:03 25 dic 2010


Cálculo de áreas mediante integrales


Supongamos que nos dan dos funciones   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   y   \mathrm{g} \left( \, x \, \right)   y nos piden calcular el área comprendida entre las graficas de ambas funciones.


El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función   \mathrm{h} \left( \, x \, \right) := \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - \mathrm{g} \left( \, x \, \right)   y el eje X.


Para calcular el área comprendida entre la función \mathrm{h}   y el eje X, procedemos de la siguiente manera:


  1. 1. En primer lugar resolvemos la ecuación:

\mathrm{h} \left( \, x \, \right) = 0

para obtener n soluciones   x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n   con

x_1 < x_2 < \ldots < x_n

  1. 2 Buscamos una primitiva   \mathrm{H} \left( \, x \, \right)   de   \mathrm{h} \left( \, x \, \right) .

    1. 3. Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden con la

    fórmula:

    \text{Area} = \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_1 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, x_2 \, \right) \, \right| + </pre> <p>\left| \, \mathrm{H} \left( \, x_2 \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, x_3 \, \right) \, \right| + \ldots + \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_{n-1} \, \right) - \mathrm{H} \left( \, x_n \, \right) \, \right| </pre> <p>

    donde

    \left| \, \mathrm{H} \left( \, x_{i-1} \, \right) - \mathrm{H} \left( </p> <pre> \, x_i \, \right) \, \right| </pre> <p>

    es el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones   x = x_{i-1} ,   x = x_i ,   el eje X y la grafica de la función \mathrm{h} .


    Ejemplo


    Calculemos el área comprendida entre las graficas de   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^3   y   \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x .


    El area que nos piden coincide con el área comprendida entre la función   \mathrm{h} \left( \, x \, \right) := \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x^3 - x   y el eje X.


    Para calcular el área comprendida entre la función \mathrm{h}   y el eje X, procedemos de la siguiente manera:


    1. 1. En primer lugar resolvemos la ecuación:

    \mathrm{h} \left( \, x \, \right) = x^3 - x

    para obtener 3 soluciones   x_1 = -1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 1 .

    1. 2 Una primitiva   \mathrm{H} \left( \, x \, \right)   de   \mathrm{h} \left( \, x \, \right)   es

      \mathrm{H} \left( \, x \, \right) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}


      1. 3. Llegados a este punto ya podemos calcular el área que nos piden:

      [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 1 ]

      Obtenido de "http://wikillerato.org/C%C3%A1lculo_de_%C3%A1reas_y_vol%C3%BAmenes.html"
         
 
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