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Problemas de distancias

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(→Distancia entre dos rectas)
(NQFHSVue)
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Now I feel stupid. That's claered it up for me
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What a joy to find such clear thininkg. Thanks for posting!
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==Distancia de un punto a un plano==
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Sea
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<math>
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\pi
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</math>
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un plano con vector normal
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\mathbf{n}
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</math>
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y al que pertenece el punto &nbsp;
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<math>
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Q
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</math>.
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La distancia de un punto
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P
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</math>
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al plano
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<math>
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\pi
+
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</math>
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es la longitud de la proyección del vector
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<math>
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\vec{PQ}
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</math>
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en la dirección normal al plano
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<math>
+
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\pi
+
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</math>,
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que se puede calcular mediante la fórmula:
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<center>
+
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<math>
+
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\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|}{\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left|
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\, \mathbf{n} \, \right|}}
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</math>
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</center>
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<br/>
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<center>
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[[Imagen:dcPnPlg.png]]
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</center>
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<br/>
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===Ejemplo===
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<br/>
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Calculemos la distancia del punto &nbsp;
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<math>
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P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)
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</math>
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&nbsp; al plano
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<math>
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\pi
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</math>
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de ecuación:
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<center>
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<math>
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x - y - z = 9
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</math>
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</center>
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Un vector normal al plano
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<math>
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\pi
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</math>
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es el vector
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<center>
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<math>
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\mathbf{n} = \left( \, 1, \, -1, \, -1 \, \right)
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</math>
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</center>
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Para encontrar un punto
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Q
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del plano
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<math>
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\pi
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</math>
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damos valores a
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<math>
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x
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</math>
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y a
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<math>
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y
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</math>
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en la ecuación del plano
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<math>
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\pi
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</math>,
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por ejemplo,
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&nbsp;
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<math>
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x = y = 1
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</math>,
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&nbsp;
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y despejamos
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<math>
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z
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</math>,
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lo que nos da una ecuación en
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<math>
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z
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</math>:
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<center>
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<math>
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1 - 1 - z = 9
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</math>
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</center>
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cuya solución es:
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<math>
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z = -9
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</math>
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</center>
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Por lo tanto &nbsp;
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<math>
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Q = \left( \, 1, \, 1, \, -9 \, \right)
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</math>
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&nbsp; es un punto del plano
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<math>
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\pi
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</math>.
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La distancia de
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P
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</math>
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a
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\pi
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</math>
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es
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<center>
+
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<math>
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\frac{\left| \, \vec{PQ} \cdot \mathbf{n} \, \right|}{\left| \, \vec{PQ} \,
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\right| \cdot \left| \mathbf{n} \right|} =
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\frac{\left| \left( \, 1 - 2, \, 1 - 1, \, -9 - 0 \, \right) \cdot
+
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\left( \, 1, \, -1, \, -1 \, \right)
+
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\right|}{\left| \left( \, -1, \, 0, \, -9 \, \right) \right| \cdot \left| \left(\, 1, \, -1, \, -1 \, \right)
+
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\right|} =
+
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\frac{-1 + 0 + 9}{\sqrt{246}}
+
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</math>
+
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</center>
+
-
 
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<br/>
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==Distancia de una recta a un plano==
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Sea
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<math>
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r
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</math>
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una recta paralela a un plano
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<math>
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\pi
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</math>.
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Para calcular la distancia de
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<math>
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r
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</math>
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a
+
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<math>
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\pi
+
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</math>
+
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lo unico que tenemos que hacer es encontrar un punto
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<math>
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P
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</math>
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en la recta
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<math>
+
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r
+
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</math>
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y [[Problemas de distancias#Distancia de un punto a un plano|calcular la distancia de este punto al plano]]
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<math>
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\pi
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</math>.
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AFAIC that's the best asnewr so far!
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==Distancia entre dos planos==
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<br/>
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Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, &nbsp;
+
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<math>
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\pi_1
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</math>
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&nbsp; y
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<math>
+
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\pi_2
+
-
</math>
+
-
, se coge un punto de &nbsp;
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<math>
+
-
\pi_1
+
-
</math>
+
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&nbsp;
+
-
y se [[Problemas de distancias#Distancia de un punto a un plano|calcula la distancia de este punto al plano]] &nbsp;
+
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<math>
+
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\pi_2
+
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</math>.
+
-
 
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<br/>
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-
 
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[[Category:Matemáticas]]
+

Revisión de 03:55 30 jun 2011

What a joy to find such clear thininkg. Thanks for posting!

Obtenido de "http://wikillerato.org/Problemas_de_distancias.html"
   
 
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