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Posiciones relativas de dos planos

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Dos planos pueden adoptar tres posiciones relativas en el espacio:
Dos planos pueden adoptar tres posiciones relativas en el espacio:
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Según el teorema de Rouché-Frobenius, se pueden presentar los siguientes casos:
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Revisión de 00:36 19 dic 2006

Tabla de contenidos

Introduccion


Dos planos pueden adoptar tres posiciones relativas en el espacio:


1. Secantes.


2. Coincidentes.


3. Paralelos.


Sean dos planos   \pi_1   y   \pi_2   de ecuaciones:


\pi_1: \, a_1 x \, + \, b_1 y \, + \, c_1 \, + \, d_1 \, = \, 0


\pi_2: \, a_2 x \, + \, b_2 y \, + \, c_2 \, + \, d_2 \, = \, 0


Para determinar sus posiciones relativas, analizamos el sistema formado por las ecuaciones de los dos planos, cuyas matrices asociadas son:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Según el teorema de Rouché-Frobenius, se pueden presentar los casos que pasamos a discutir en la siguiente seccion:


Casos que se pueden dar:


Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2


El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Los planos se cortan según una recta. Son planos secantes.


Asi, los planos


\pi_1: \, x \, + \, y \, - \, z \, = \, 1


\pi_2: \, x \, + \, y \, + \, z \, = \, 2


son secantes, pues:


Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2


Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 1


El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, siendo la segunda ecuación proporcional a la primera. Los planos tienen en comun todos sus puntos. Son planos coincidentes.


Asi, los planos


\pi_1: \, x \, + \, y \, - \, z \, = \, 1


\pi_2: \, 2x \, + \, 2y \, - \, 2z \, = \, 2


son coincidentes, pues:


Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 1


Rango ( A ) = 1,     Rango ( A | B ) = 2


El sistema de ecuaciones es incompatible, no tiene solucion. Los planos no tienen ningun punto en común. Son planos paralelos.


Asi, los planos


\pi_1: \, x \, + \, y \, - \, z \, = \, 1


\pi_2: \, x \, + \, y \, - \, z \, = \, 2


son paralelos, pues:


Rango ( A ) = 1       mientras que       Rango ( A | B ) = 2


Obtenido de "http://wikillerato.org/Posiciones_relativas_de_dos_planos.html"
   
 
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