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Regla de Cramer
De Wikillerato
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</math> | </math> | ||
sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de ecuaciones | sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de ecuaciones | ||
| - | coincide. Cuando el sistema de ecuaciones | + | coincide. |
| + | |||
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| + | Cuando el sistema de ecuaciones | ||
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| Línea 145: | Línea 149: | ||
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| - | En este sistema de ecuaciones lineales la matriz | + | En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz |
<math> | <math> | ||
A | A | ||
| Línea 161: | Línea 165: | ||
\, = \, -2 \neq 0 | \, = \, -2 \neq 0 | ||
</math> | </math> | ||
| - | . Por lo tanto podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo: | + | . Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo: |
<br/> | <br/> | ||
| Línea 178: | Línea 182: | ||
} | } | ||
{|A|} \, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1 | {|A|} \, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1 | ||
| - | \qquad y \, = \, \frac | + | \qquad \qquad y \, = \, \frac |
{ | { | ||
\left| | \left| | ||
Revisión de 23:06 28 dic 2006
Esta regla es un metodo de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede
utilizar cuando la matriz
de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales es cuadrada
y de determinante no nulo. El que
sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de ecuaciones
coincide.
Cuando el sistema de ecuaciones
satisface esas condiciones, su solución viene dada por:
![x_1 \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cccc}
b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n}
\\
b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
b_m & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|}
, \qquad x_2 \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cccc}
a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n}
\\
a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
a_{m1} & b_m & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|}
</p><p>](/images/math/math-8922e3083fa622ed8879c2e99742310d.png "x_1 \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cccc}
b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n}
\\
b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
b_m & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|}
, \qquad x_2 \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cccc}
a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n}
\\
a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
a_{m1} & b_m & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|}
</p><p>")
![\ldots \ldots \qquad x_n \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1
\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & b_m
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|}](/images/math/math-0ae9c54687c35f41b6c733c5845ff9f2.png "\ldots \ldots \qquad x_n \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1
\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & b_m
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|}")
En general
donde
es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de
por matriz de los terminos independientes,
.
Ejemplo
Consideremos el sistema de ecuaciones:
![\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
x \, + \, y \, = \, 2
\\
x \, - \, y \, = \, 0
\end{array}
</pre>
<p>\right.](/images/math/math-9d7fa2a713677bcaf5cea62fe4a5126f.png "\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
x \, + \, y \, = \, 2
\\
x \, - \, y \, = \, 0
\end{array}
</pre>
<p>\right.")
En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz
de los coeficientes es una matriz cuadrada y
![|A| \, = \,
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & ~~1
\\
1 & -1
\end{array}
</pre>
<p>\right|
</p>
<pre>\, = \, -2 \neq 0
</pre>
<p>](/images/math/math-789a2f66f5ebae882988c2ace0979a33.png "|A| \, = \,
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & ~~1
\\
1 & -1
\end{array}
</pre>
<p>\right|
</p>
<pre>\, = \, -2 \neq 0
</pre>
<p>")
. Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:
![x \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cc}
2 & ~~1
\\
0 & -1
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|} \, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1
\qquad \qquad y \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
1 & 0
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|}\, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1](/images/math/math-8aa774c9773439ba43602bf548f68568.png "x \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cc}
2 & ~~1
\\
0 & -1
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|} \, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1
\qquad \qquad y \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
1 & 0
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|}\, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1")
