|
|
| Línea 1: |
Línea 1: |
| - | A una matriz cuadrada le podemos asociar un número que, como veremos con posterioridad,
| |
| - | nos permitirá estudiar y resolver un sistema de ecuaciones lineales y examinar si una
| |
| - | matriz dada posee matriz inversa y calcularla.
| |
| - |
| |
| - | Este número que vamos a asociar a una matriz cuadrada lo llamaremos determinante de dicha
| |
| - | matriz. Veamos su calculo para matrices cuadradas de orden 2, y con posterioridad
| |
| - | calcularemos determinantes de matrices cuadradas de cualquier orden.
| |
| - |
| |
| - | Para una matriz cuadrada de orden 2,
| |
| - | <math>
| |
| - | A =
| |
| - | \left(
| |
| - | \begin{array}[c]{cc}
| |
| - | a_{11} & a_{12}
| |
| - | \\
| |
| - | a_{21} & a_{22}
| |
| - | \end{array}
| |
| - | \right)
| |
| - | </math>
| |
| - | se llama determinante de
| |
| - | <math>
| |
| - | A
| |
| - | </math>
| |
| - | al número real:
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \makebox{det} \left( A \right) = \left| A \right| =
| |
| - | \left|
| |
| - | \begin{array}{cc}
| |
| - | a_{11} & a_{12}
| |
| - | \\
| |
| - | a_{21} & a_{22}
| |
| - | \end{array}
| |
| - | \right|
| |
| - | = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | [[Category:Matemáticas]]
| |
| - |
| |
| - | %% }}}
| |
| - | %% {{{ =Propiedades de los determinantes
| |
| - | En lo que sigue consideraremos
| |
| - | <math>
| |
| - | A
| |
| - | </math>
| |
| - | como una matriz cuadrada de orden
| |
| - | <math>
| |
| - | n;
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | F_i
| |
| - | </math>
| |
| - | y
| |
| - | <math>
| |
| - | C_j
| |
| - | </math>
| |
| - | una fila y una columna cualesquiera de esa matriz.
| |
| - | El determinante de una matriz lo podemos ver como una función de sus filas
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \makebox{det} \left( A \right) = \left| A \right| =
| |
| - | \makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_n \right)
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | o de sus columnas
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \makebox{det} \left( A \right) = \left| A \right| =
| |
| - | \makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, C_n \right)
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | Las propiedades mas importantes de los determinantes son:
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | 1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su matriz
| |
| - | traspuesta.
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \makebox{det} \left( A \right) = \makebox{det} \left( A^t \right)
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | 2. Si los elementos de una línea o columna de una matriz se multiplican por un número, el
| |
| - | determinante de la matriz queda multiplicado por dicho numero:
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, t \cdot C_j, \, \ldots, \, C_n \right)
| |
| - | = t \cdot
| |
| - | \makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, C_j, \, \ldots, \, C_n \right)
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, t \cdot F_i, \, \ldots, \, F_n \right)
| |
| - | = t \cdot
| |
| - | \makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_i, \, \ldots, \, F_n \right)
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | 3. Si todas las lineas de una matriz de orden
| |
| - | <math>
| |
| - | n
| |
| - | </math>
| |
| - | están multiplicadas por un mismo número
| |
| - | <math>
| |
| - | t
| |
| - | </math>
| |
| - | el determinante de la matriz queda multiplicado por
| |
| - | <math>
| |
| - | t^n:
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \left| t \cdot A \right| = t^n \cdot \left| A \right|
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | 4.
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, C_j + C_j^\prime, \, \ldots, \, C_n \,
| |
| - | \right)
| |
| - | \, = \,
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | \makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, C_j, \, \ldots, \, C_n \, \right)
| |
| - | \, + \,
| |
| - | \makebox{det} \left( \, C_1, \, C_2, \, \ldots, \, C_j^\prime, \, \ldots, \, C_n \, \right)
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_i + F_i^\prime, \, \ldots, \, F_n \,
| |
| - | \right)
| |
| - | \, = \,
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | \, = \, \makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_i, \, \ldots, \, F_n \, \right)
| |
| - | \, + \,
| |
| - | \makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_i^\prime, \, \ldots, \, F_n \, \right)
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | 5. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los
| |
| - | determinantes de ambas matrices:
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \makebox{det} \left( A \cdot B \right) = \makebox{det} \left( A \right) \cdot \makebox{det}
| |
| - | \left( B \right)
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | 6. Si en una matriz cuadrada se permutan dos lineas, su determinante cambia de signo:
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_i, \, \ldots, \, F_j, \, \ldots, \,
| |
| - | F_n \, \right)
| |
| - | = -\makebox{det} \left( \, F_1, \, F_2, \, \ldots, \, F_j, \, \ldots, \, F_i, \, \ldots,
| |
| - | \, F_n \, \right)
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | 7. Si una línea de una matriz cuadrada es combinacion lineal de las lineas restantes, es
| |
| - | decir, es el resultado de sumar los elementos de otras lineas multiplicadas por números
| |
| - | reales, su determinante es cero. Consecuencia inmediata de esta propiedad es que si una
| |
| - | matriz tiene una línea de ceros su determinante es cero.
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | 8. Si a los elementos de una línea de una matriz cuadrada se les suma una combinacion
| |
| - | lineal de las líneas restantes, su determinante no varia.
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | El metodo de Chío consiste en hacer cero el mayor número posible de elementos de una
| |
| - | línea utilizando las propiedad anterior de los determinantes y posteriormente desarrollar
| |
| - | el determinante por los adjuntos de los elementos de esa linea en la que hemos hecho
| |
| - | ceros.
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | [[Category:Matemáticas]]
| |
| - | %% }}}
| |
| - | %% {{{ =Desarrollo de un determinante
| |
| - |
| |
| - | En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de
| |
| - | cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de '''''menor complementario''''', '''''adjunto''''' y '''''matriz adjunta'''''.
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | ==Menor complementario==
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | Para una matriz cuadrada de orden
| |
| - | <math>
| |
| - | n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right),
| |
| - | </math>
| |
| - | se llama '''''menor complementario''''' del elemento
| |
| - | <math>
| |
| - | a_{ij},
| |
| - | </math>
| |
| - | y lo representamos por
| |
| - | <math>
| |
| - | \alpha_{ij},
| |
| - | </math>
| |
| - | al determinante de la matriz cuadrada de orden
| |
| - | <math>
| |
| - | n - 1
| |
| - | </math>
| |
| - | que resulta de suprimir la fila
| |
| - | <math>
| |
| - | i
| |
| - | </math>
| |
| - | y la columna
| |
| - | <math>
| |
| - | j
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | de la matriz
| |
| - | <math>
| |
| - | A
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | ===Ejemplo===
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | Los menores complementarios de la matriz
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | A =
| |
| - | \left(
| |
| - | \begin{array}{ccc}
| |
| - | 1 & 2 & 3
| |
| - | \\
| |
| - | 4 & 5 & 6
| |
| - | \\
| |
| - | 7 & 8 & 9
| |
| - | \end{array}
| |
| - | \right)
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | son
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \begin{array}{ccc}
| |
| - | \alpha_{11} =
| |
| - | \left|
| |
| - | \begin{array}[c]{cc}
| |
| - | 5 & 6
| |
| - | \\
| |
| - | 8 & 9
| |
| - | \end{array}
| |
| - | \right|
| |
| - | &
| |
| - | \qquad \alpha_{12} =
| |
| - | \left|
| |
| - | \begin{array}[c]{cc}
| |
| - | 4 & 6
| |
| - | \\
| |
| - | 7 & 9
| |
| - | \end{array}
| |
| - | \right|
| |
| - | &
| |
| - | \qquad \alpha_{13} =
| |
| - | \left|
| |
| - | \begin{array}[c]{cc}
| |
| - | 4 & 5
| |
| - | \\
| |
| - | 7 & 8
| |
| - | \end{array}
| |
| - | \right|
| |
| - | \\
| |
| - | & &
| |
| - | \\
| |
| - | \alpha_{21} =
| |
| - | \left|
| |
| - | \begin{array}[c]{cc}
| |
| - | 2 & 3
| |
| - | \\
| |
| - | 8 & 9
| |
| - | \end{array}
| |
| - | \right|
| |
| - | &
| |
| - | \qquad \alpha_{22} =
| |
| - | \left|
| |
| - | \begin{array}[c]{cc}
| |
| - | 1 & 3
| |
| - | \\
| |
| - | 7 & 9
| |
| - | \end{array}
| |
| - | \right|
| |
| - | &
| |
| - | \qquad \alpha_{23} =
| |
| - | \left|
| |
| - | \begin{array}[c]{cc}
| |
| - | 1 & 2
| |
| - | \\
| |
| - | 7 & 8
| |
| - | \end{array}
| |
| - | \right|
| |
| - | \end{array}
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \begin{array}[c]{ccc}
| |
| - | \alpha_{31} =
| |
| - | \left|
| |
| - | \begin{array}[c]{cc}
| |
| - | 2 & 3
| |
| - | \\
| |
| - | 5 & 6
| |
| - | \end{array}
| |
| - | \right|
| |
| - | &
| |
| - | \qquad \alpha_{32} =
| |
| - | \left|
| |
| - | \begin{array}[c]{cc}
| |
| - | 1 & 3
| |
| - | \\
| |
| - | 4 & 6
| |
| - | \end{array}
| |
| - | \right|
| |
| - | &
| |
| - | \qquad \alpha_{33} =
| |
| - | \left|
| |
| - | \begin{array}[c]{cc}
| |
| - | 1 & 2
| |
| - | \\
| |
| - | 4 & 5
| |
| - | \end{array}
| |
| - | \right|
| |
| - | \end{array}
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | ==Matriz adjunta==
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | Para una matriz cuadrada de orden
| |
| - | <math>
| |
| - | n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right),
| |
| - | </math>
| |
| - | se llama '''''adjunto''''' del elemento
| |
| - | <math>
| |
| - | a_{ij},
| |
| - | </math>
| |
| - | y lo representamos por
| |
| - | <math>
| |
| - | A_{ij},
| |
| - | </math>
| |
| - | al producto
| |
| - | <math>
| |
| - | \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
| |
| - | </math>, es decir:
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | La matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | A
| |
| - | </math>
| |
| - | se llama '''''matriz adjunta''''' de
| |
| - | <math>
| |
| - | A
| |
| - | </math>
| |
| - | y se denota por
| |
| - | <math>
| |
| - | \makebox{Adj} \left( A \right)
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | ===Ejemplo===
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | Los adjuntos de la matriz
| |
| - | <math>
| |
| - | A
| |
| - | </math>
| |
| - | del ejemplo anterior son:
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \begin{array}{ccccccccccc}
| |
| - | A_{11} & = & -3 & \qquad & A_{12} & = & ~~~6 & \qquad & A_{13} & = & -3
| |
| - | \\
| |
| - | A_{21} & = & ~~6 & \qquad & A_{22} & = & -12 & \qquad & A_{23} & = & ~~6
| |
| - | \\
| |
| - | A_{31} & = & -3 & \qquad & A_{32} & = & ~~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3
| |
| - | &\end{array}
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | La matriz adjunta de
| |
| - | <math>
| |
| - | A
| |
| - | </math>
| |
| - | es
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \makebox{Adj} \left( A \right) =
| |
| - | \left(
| |
| - | \begin{array}{ccc}
| |
| - | -3 & ~~~6 & -3
| |
| - | \\
| |
| - | ~~6 & -12 & ~~6
| |
| - | \\
| |
| - | -3 & ~~~6 & -3
| |
| - | \end{array}
| |
| - | \right)
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | ==Desarrollo de un determinante==
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | El determinante de una matriz cuadrada de orden <math> n </math> es igual a la suma de los productos de los elementos
| |
| - | de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Simbolicamente:
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \makebox{det} \left( \, A \, \right) \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \makebox{det} \left( \, A \, \right) \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | [[Category:Matemáticas]]
| |
| - |
| |
| - | %% }}}
| |
| - | %% {{{ =Cálculo de la inversa de una matriz
| |
| - | La '''''matriz inversa''''' de una matriz cuadrada
| |
| - | <math>
| |
| - | A
| |
| - | </math>
| |
| - | de orden
| |
| - | <math>
| |
| - | n
| |
| - | </math>
| |
| - | , es la matriz,
| |
| - | <math>
| |
| - | A^{-1}
| |
| - | </math>
| |
| - | , de orden
| |
| - | <math>
| |
| - | n
| |
| - | </math>
| |
| - | que verifica:
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
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| - | Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices
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| - | singulares.
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| - | Antes de calcular la matriz inversa de una dada hemos de asegurarnos de que efectivamente
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| - | existe la matriz inversa. Para ello utilizamos la siguiente propiedad:
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| - | <br/>
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| - |
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| - | <center>
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| - | <math>
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| - | A \, \, \makebox{es regular} \Leftrightarrow \left| A \right| \neq 0
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| - | </math>
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| - | </center>
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| - |
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| - | <br/>
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| - | Una vez que hemos asegurado la existencia de la matriz inversa, calculamos esta mediante
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| - | la siguiente expresion:
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| - | <br/>
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| - |
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| - | <center>
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| - | <math>
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| - | A^{-1} = \frac{1}{\left| A \right|} \cdot
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| - | \left[
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| - | \makebox{Adj}
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| - | \left(
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| - | \, A \,
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| - | \right)
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| - | \right]
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| - | ^t
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| - | </math>
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| - | </center>
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| - |
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| - | <br/>
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| - |
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| - | donde
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| - | <math>
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| - | \makebox{Adj}
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| - | \left(
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| - | \, A \,
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| - | \right)
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| - | </math>
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| - | es la [[Desarrollo de un determinante| matriz adjunta]] de
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| - | <math>
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| - | A
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| - | </math>
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| - | . Se verifica que
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| - | <br/>
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| - |
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| - | <center>
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| - | <math>
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| - | \left| A^{-1} \right| = \frac{1}{\left| A \right|}
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| - | </math>
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| - | </center>
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| - |
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| - | <br/>
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| - | [[Category:Matemáticas]]
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| - | %% }}}
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| - | %% {{{ =Calculo del rango de una matriz
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| | En este epígrafe vamos a ver otro procedimiento para calcular el rango de una matriz | | En este epígrafe vamos a ver otro procedimiento para calcular el rango de una matriz |
| | mediante determinantes. | | mediante determinantes. |
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Línea 22: |
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| | [[Category:Matemáticas]] | | [[Category:Matemáticas]] |
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| - | %% }}}
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En este epígrafe vamos a ver otro procedimiento para calcular el rango de una matriz
mediante determinantes.
Si el rango de una matriz es k, entonces todos los menores de orden superior a k son
nulos.
Navegación
al determinante de orden k que está formado por los elementos que pertenecen a k
filas y a k columnas de la matriz
