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Concavidad y convexidad
De Wikillerato
| Línea 188: | Línea 188: | ||
porque | porque | ||
<math> | <math> | ||
| - | \mathrm{f}^{\prime \prime} \, = \, 6x | + | \mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x \, \right) \, = \, 6x |
</math> | </math> | ||
cambia de signo en | cambia de signo en | ||
| Línea 203: | Línea 203: | ||
entonces | entonces | ||
<math> | <math> | ||
| - | \mathrm{f}{\prime \prime} | + | \mathrm{f}^{\prime \prime} |
</math> | </math> | ||
es negativa ( | es negativa ( | ||
| Línea 209: | Línea 209: | ||
\mathrm{f} | \mathrm{f} | ||
</math> | </math> | ||
| - | es concava ) y si | + | es concava ) y si |
<math> | <math> | ||
x > 0 | x > 0 | ||
| Línea 215: | Línea 215: | ||
entonces | entonces | ||
<math> | <math> | ||
| - | \mathrm{f}{\prime \prime} | + | \mathrm{f}^{\prime \prime} |
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es positiva ( | es positiva ( | ||
Revisión de 12:40 15 ene 2007
Tabla de contenidos |
Convexidad
Si la derivada segunda de
en
es positiva, entonces
es creciente en
y
es convexa en
.
Concava
Si la derivada segunda de
en
es negativa, entonces
es decreciente en
y
es concava en
.
Puntos de inflexión
Un punto de inflexion es un punto donde la función pasa de ser concava a convexa o viceversa.
La función cuya grafica se muestra en la figura de abajo tiene un punto de inflexión en el origen de coordenadas ( intersección de los ejes X e Y ).
Si
es un punto de inflexión de
, entonces
,
pero lo reciproco no es cierto en general:
no implica que
sea un punto de inflexión de
.
Ejemplo
La derivada segunda de la función
se anula en
pero
no tiene un punto de inflexión en el punto de abcisa
.
es covexa en todo su dominio ( R ).
Ejemplo
La derivada segunda de la función
se anula en
.
tiene un punto de inflexión en el punto de abcisa
porque
cambia de signo en
:
si
entonces
es negativa (
es concava ) y si
entonces
es positiva (
es convexa ).
