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Energía de un oscilador armónico
De Wikillerato
| Línea 8: | Línea 8: | ||
<math> W = - FA </math> | <math> W = - FA </math> | ||
| - | La fuerza es variable, y varía entre los valores <math>-k A</math> y <math>0</math>. Esta variación es lineal y , en consecuencia podremos sustituirla en la ecuación por su valor medio, que será la semisuma de los valores máximo <math> – k A</math> y mínimo, <math>0</math>. | + | La fuerza es variable, y varía entre los valores <math> -k A</math> y <math> 0 </math>. Esta variación es lineal y , en consecuencia podremos sustituirla en la ecuación por su valor medio, que será la semisuma de los valores máximo <math> – k A</math> y mínimo, <math> 0 </math>. |
| - | <math>F = frac{- kA +0}{2} | + | <math> F = \frac{- kA +0}{2} = \frac {-k A}{2} </math> |
La energía máxima del resorte será: | La energía máxima del resorte será: | ||
| Línea 21: | Línea 21: | ||
La energía asociada al movimiento es la energía cinética, y será, al pasar por la posición de equilibrio, igual a la energía potencial máxima, tendremos | La energía asociada al movimiento es la energía cinética, y será, al pasar por la posición de equilibrio, igual a la energía potencial máxima, tendremos | ||
| - | <math> | + | <math> E_c_max = \frac{1}{2} m v_max^2 = \frac{1}{2} k A^2</math> |
Pero el oscilador, en su movimiento, pasará por una posición x en la cual llevará una velocidad v, y la ecuación de la energía del movimiento nos quedará | Pero el oscilador, en su movimiento, pasará por una posición x en la cual llevará una velocidad v, y la ecuación de la energía del movimiento nos quedará | ||
| - | <math> \ frac{1}{2} | + | <math> \frac{1}{2} k A^2 \eqslantless \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} m v^2<math> |
Es decir, la energía total se conserva y es igual, en cada instante, a la suma de la energía potencial y de la energía cinética | Es decir, la energía total se conserva y es igual, en cada instante, a la suma de la energía potencial y de la energía cinética | ||
| Línea 31: | Línea 31: | ||
En todo caso, no debemos olvidar nunca que siempre ha de cumplirse la segunda ley de Newton | En todo caso, no debemos olvidar nunca que siempre ha de cumplirse la segunda ley de Newton | ||
| - | <math>F = - k x = m a</math> | + | <math> F = - k x = m a</math> |
De donde obtenemos que <math> a = \ - frac{k}{m}\ x</math> | De donde obtenemos que <math> a = \ - frac{k}{m}\ x</math> | ||
Es decir, la aceleración es proporcional a la distancia a la posición de equilibrio pero con sentido opuesto. | Es decir, la aceleración es proporcional a la distancia a la posición de equilibrio pero con sentido opuesto. | ||
Revisión de 11:09 17 sep 2007
Cuando deformamos el resorte una longitud 
con respecto a la posición de equilibrio, la fuerza recuperadora del resorte será 
. Cuando el resorte está en equilibrio, la fuerza recuperadora suplementaria es cero.
La energía que es capaz de desarrollar el resorte es:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Donde 
es el ángulo formado por 
e 
, que en nuestro caso, dado que la y la deformación tienen siempre sentidos opuestos, el ángulo es 
, y como 
. Como por otra parte el valor máximo de es , la ecuación de la energía del oscilador será:
La fuerza es variable, y varía entre los valores 
y 
. Esta variación es lineal y , en consecuencia podremos sustituirla en la ecuación por su valor medio, que será la semisuma de los valores máximo [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] y mínimo, .
La energía máxima del resorte será:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Es decir, la energía sólo depende de la constante de elasticidad del resorte y de la distancia a la posición de equilibrio. Y es, en los extremos, una energía potencial elástica.
Cuando estiramos el resorte una longitud A y soltamos, el resorte comienza a moverse, desde una velocidad cero, en los extremos, puesto que pasa de 
a 
y viceversa, a un valor máximo cuando el resorte pasa por la posición de equilibrio.
La energía asociada al movimiento es la energía cinética, y será, al pasar por la posición de equilibrio, igual a la energía potencial máxima, tendremos
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Pero el oscilador, en su movimiento, pasará por una posición x en la cual llevará una velocidad v, y la ecuación de la energía del movimiento nos quedará
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
De donde obtenemos que [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Es decir, la aceleración es proporcional a la distancia a la posición de equilibrio pero con sentido opuesto.
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