Ley fundamental de la Dinámica

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 15:10 18 jun 2008

Tabla de contenidos

1 Fuerza y cantidad de movimiento
2 Relación fundamental de la dinámica
3 Aceleración del centro de inercia. Teorema del Centro de Inercia
4 Unidades
- 4.1 Relación causa-efecto
5 Caso particular. Sólido sometido a la acción de una fuerza constante

Fuerza y cantidad de movimiento

Cuando un sistema, cuya masa supondremos concentrada en su centro de inercia, es sometido a la acción de fuerzas exteriores que no se compensan entre sí , su vector velocidad varía. Si el cuerpo se encontraba en reposo se pondrá en movimiento, y si se encontraba en movimiento se modifica su vector velocidad.

Se llama fuerza a una acción mecánica que conlleva una variación de la cantidad de movimiento del sistema.

Relación fundamental de la dinámica

Si en un instante t muy próximo a $t + \Delta t$ , un móvil es sometido a la acción de una fuerza $f$ en ese instante $t$ , la variación de la cantidad de movimiento $dp$ tiene la misma dirección y sentido que $f$ . Dado que $dt$ es un escalar y siempre positivo, el vector $\frac{dp}{dt}$ tiene, además de la misma dirección y sentido, el mismo módulo que $f$ . Podemos pues decir que la fuerza aplicada f es igual a la variación temporal del vector cantidad de movimiento.

$\vec f = \frac {d \vec p} {dt}$

Si el sólido es sometido a la acción de diversas fuerzas cuya suma vectorial es $\sum f$ podremos escribir igualmente

$\sum \vec f \ = \frac {d \vec p} {dt}$

Esta afirmación que no demostramos en este momento es, sin embargo, verificada en numerosos fenómenos. Newton la utilizó para interpretar con éxito las leyes de Kepler referidas al movimiento de los planetas del sistema solar. Esta ley tiene pues el carácter de un postulado conocido como la ley fundamental de la dinámica, bien entendido de la mecanica newtoniana.

En un sistema referencial galileano, la suma vectorial de las fuerzas aplicadas a un sólidoes igual a la derivada con respecto al tiempo del vector cantdad de movimiento del ese sólido.

Aceleración del centro de inercia. Teorema del Centro de Inercia

Si sustituímos $p$ por su valor $p = M v_G$ y calculamos su derivada, dado que la masa $M$ es una constante y la aceleración es la derivada de la velocidad con relación al tiempo, tenemos:

$\sum \vec f \ = \frac {d \vec p} {dt} \ = \frac {d (M \overrightarrow {v_G})}{dt} \ = M \frac {d \overrightarrow {v_G}} {dt} \$

$\sum \vec f \ = M \frac {d \overrightarrow {v_G} } {dt} \ = \ M \overrightarrow {a_G} \$

$\vec F \ = M \overrightarrow {a_G} \$

Teorema del centro de inercia: En un sistema referencial galileano, la suma vectorial de las fuerzas aplicadas a un sólido es igual al producto de su masa por el vector aceleración de su centro de inercia.

Atención

Al hallar la suma vectorial de las fuerzas aplicadas sobre el sólido no debemos olvidar nunca el pso P del mismo.

Para obtener el vector aceleración del centro de inercia del sólido, consideramos que toda la masa del sólido se encuentra concentrada en ese punto y aplicamos sobre el mismo el conjunto de fuerzas que se ejercen sobre el sólido. Hablamos de un cuerpo puntual

Unidades

La conocida fórmula $\vec F \ = m \vec a \$ o más propiamente escrita

$\vec F \ = M \vec a_G\$ en el SI debemos expresar las magnitudes en las siguientes unidades $F$ en Newtons, $M$ o $m$ en $kg$ y $a$ en $m s^{-2}$ o en $N kg{-1}$ .

D este modo podemos definir el Newton como la intensidad de una fuerza que aplicada de un modo continuo sobre un sólido cuya masa es de 1 kg,le comunica una aceleración de $1 m s^{-2}$

Relación causa-efecto

Efectivamente, son las fuerzas aplicadas las que provocan el movimiento del centro de masas o centro de inercia de un sólido, es decir son la causa y su efecto se presenta bajo la forma de una aceleración del centro de inercia G. Pero esta aceleración se encuentra <<modulada>> por la masa del sólido, es decir, por un efecto de la inercia.

Para una fuerza F feterminada, la aceleración a que adquiere el centro de inercia es tanto más pequeña cuanto mayor sea la masa M. Diremos que la aceleración adquirida por el sólido es tanto menor cuanto mayor sea la inercia del sólido, es decir, su masa.

Podemos pues presentarlo de la forma siguiente

Caso particular. Sólido sometido a la acción de una fuerza constante

Sabemos que $\frac {d \vec p} {dt}= \lim_{t \to 0} \delta \frac{ \delta \vec_p} {\delta t}$ Sin embargo si $\delta t$ no es infinitamente pequeño sino solamente pequeño podemos esctibir con poco error

$\frac {d \vec p} {dt} = \frac{\delta \vec p} {\delta t}$ siendo

$\delta \vec p$ la variación de la cantidad de movimiento en el tiempo $\delta t$ . Por lo tanto:

$\frac {\delta \vec p}{\delta t} = \vec F$

$\delta \vec p = \vec F \delta t$

Si hacemos la hipótesis de que $F$ mantiene el módulo, dirección y sentido entre dos instantes $t_1$ y $t_2$ en los cuales las velocidades del centro de inercia del sólido son $v_1$ y $v_2$ La relación vectorial puede escribirse como si los vectores fueran escalares.