Triángulos

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Tabla de contenidos

1 Características generales
2 Teoremas relativos a los triángulos rectángulos
3 Teorema relativo al triángulo equilátero
4 Teoremas relativos a todos los triángulos
- 4.1 Teorema de Menelao
- 4.2 Teorema de Ceva
5 Propiedad relativa al perímetro de los triángulos

Características generales

Un triángulo $ABC$ es una figura plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos, determinando los segmentos $AB, AC \ y \ BC,$ que son los lados del triángulo. Para que tres segmentos formen un triángulo $ABC$ es necesario que cada uno de ellos sea menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

Nomenclatura de los triángulos

Los triángulos se nombran por sus vértices, $A, B$ y $C$ . El lado opuesto a cada vértice se llama como él, en minúscula: el vértice $A$ es opuesto al lado a, el $B$ al $b$ y el $C$ al $c$ . Los ángulos pueden llamarse como el vértice: $\hat{A}$ , con la letra griega $\alpha$ o indicando ordenadamente $B\hat{A}C$ , donde $A$ es el vértice.

Los triángulos que tienen los tres lados iguales se llaman equiláteros. Esto implica que tengan tres ángulos iguales y tres ejes de simetría.

Los triángulos que tienen dos lados iguales se llaman isósceles. En este caso los lados iguales se llaman lados y el lado desigual se llama base. Los ángulos que tienen a la base como lado son iguales. Los triángulos isósceles sólo tienen un eje de simetría.

Los triángulos que no tienen lados iguales se llaman escalenos, sus ángulos son desiguales y no tienen ningún eje de simetría.

Los triángulos que tienen los ángulos agudos se llaman acutángulos.

Los triángulos que tienen un ángulo recto de llaman rectángulos. Los lados del ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

Los triángulos que tienen un ángulo obtuso se llaman obtusángulos.

Recordamos que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de $180^\circ$ .

Concepto de identidad, igualdad y semejanza entre figuras

Dos figuras son idénticas cuando son iguales y ocupan el mismo lugar. El signo de identidad es $\equiv$ . En nuestro ejemplo $ABC \equiv \ MNP$ . Dos figuras son iguales cuando tienen los lados iguales y los ángulos correspondientes iguales. El signo de igualdad es $\ = \$ .

En nuestro ejemplo $ABC = MNP \$ .

Dos figuras son semejantes cuando tienen los lados directamente proporcionales y los ángulos correspondientes iguales. En nuestro ejemplo $ABC\$ y $MNP\$ son triángulos semejantes.

Concepto de equivalencia entre figuras

Dos figuras son equivalentes cuando tienen la misma superficie, aunque su forma sea distinta.

Teoremas relativos a los triángulos rectángulos

El teorema de Euclides

El teorema de Euclides tiene dos enunciados que conocemos con los nombres de teorema del cateto y teorema de la altura. Teorema del cateto:”El cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella”. Esto quiere decir que: AB = √ (BH•BC), lo que implica que: AB2 = BH • BC Teorema de la altura: “La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional de las proyecciones de los catetos sobre ella”. Esto quiere decir que: AH = √ (BH•HC), lo que implica que: AH2 = BH • HC Vamos a demostrarlo.

El teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras: “El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. Esto quiere decir que: BC2 = AB2 +AC2.

Demostraciones gráficas de los teoremas de Euclides y Pitágoras

Vamos a demostrar en primer lugar el teorema de Euclides referente al cateto. Consideramos un triángulo ABC rectángulo en A. Dibujamos el cuadrado ABDE como se ve en la figura. Dibujamos la altura correspondiente a A, siendo su pie el punto H. Construimos el rectángulo BHIJ, siendo BJ = BC. Se trata de demostrar que el cuadrado ABDE y el rectángulo BHIJ son equivalentes, es decir: AB2 = BH • BC, como indica el teorema.

Prolongamos los lados DE, BJ y HI como indica la figura y obtenemos el paralelogramo ABFG.

BF=BC porque ABC=BDF, pues los dos triángulos tienen un lado y dos ángulos iguales: AB=BD; el ángulo ABC=DBF y los ángulos en A y en D rectos. Recordamos que cuando se trazan perpendiculares a un ángulo se obtienen ángulos iguales o suplementarios.

Comprobamos que ABDE es equivalente a ABFG, porque los dos son paralelogramos con la misma base, AB y la misma altura, AE.

Por otra parte el rectángulo AHIJ es equivalente ABFG, porque los dos son paralelogramos con la misma base, BJ=BF y la misma altura, BH. Por lo tanto, el cuadrado ABDE es equivalente al rectángulo BHIJ, como queríamos demostrar.

Demostramos a continuación el Teorema de Pitágoras. En el triángulo ABC de la figura debemos demostrar que BC2 = AB2 +AC2.

Aplicamos el teorema del cateto. Recordamos su demostración y vemos que el cuadrado de lado AB es equivalente, es decir, es de la misma superficie que el rectángulo BFEH. Por el mismo teorema, el cuadrado de lado AC es equivalente al rectángulo HEDC. Como la suma de dichos rectángulos es igual al cuadrado de lado igual a la hipotenusa, el teorema queda demostrado.

El teorema de Pitágoras se puede demostrar también haciendo equiparticiones de los cuadrados, es decir, dibujándolos y dividiéndolos en partes iguales entre sí. Hay muchos modos de hacerlo. En la figura vemos uno de ellos. Las partes iguales están rayadas del mismo modo.

Vamos a demostrar finalmente el teorema de Euclides referente a la altura. Consideramos un triángulo ABC rectángulo en A. Dibujamos el cuadrado ABDE como se ve en la figura. Dibujamos la altura correspondiente a A, siendo su pie el punto H. Se trata de demostrar que AH2 = BH • HC, como indica el teorema. Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABH. Dibujamos los cuadrados de lados AB, BH y AH. Se cumplirá que AB2=AH2+BH2, luego: AB2-BH2 =AH2. Por el teorema del cateto sabemos que el cuadrado de lado AB es equivalente al rectángulo de lados BH y BJ en el que BJ=BC. Si restamos de dicho rectángulo el cuadrado de lado BH el teorema queda demostrado, pues GJ=HC. En la figura vemos que las dos figuras equivalentes están rayadas.

Teorema relativo al triángulo equilátero

Teorema de Viviani:”En un triángulo equilátero la suma de las distancias desde un punto interior P a los lados del triángulo es igual a la altura del triángulo”.

Si el punto P fuera exterior la relación se cumple siempre que se consideren negativas una o dos distancias. Vamos a hacer una demostración gráfica de este teorema, trazando paralelas a los lados del equilátero por el punto P. Definimos así tres equiláteros, como vemos en la figura. Recordando que en los paralelogramos los lados opuestos son iguales, es fácil comprobar que la suma de los lados de estos triángulos es igual al lado de ABC. Por lo tanto, la suma de sus alturas será igual a la altura de ABC.

Teoremas relativos a todos los triángulos

Estos dos teoremas pueden generalizarse a todos los polígonos.

Teorema de Menelao

“Si ABC es un triángulo y DEF una recta que corta sus tres lados en D, E y F, se verifica que: BD/DC • CE/EA • AF/FB=-1”.

La razón es negativa porque uno de los tres puntos de intersección estará siempre en el exterior del triángulo y su distancia al vértice se considerará negativa. En nuestro ejemplo será negativo DC.

Vamos a demostrarlo. Trazamos por A una paralela a BC. Prolongamos la recta y hallamos el punto X. Se forman dos pares de triángulos semejantes: XFA y FBD; AXE y CDE. Fijándonos en estos triángulos tenemos que: AX/BD = AF/FB y AX/-DC = EA/CE, luego AX= AF/FB • BD , por la otra igualdad: AX= EA/CE • (-DC); luego: AF/FB • BD = EA/CE • (-DC), lo que implica que: AF/FB • BD/DC • CE/EA = -1, como afirma el teorema.

Teorema de Ceva

“La condición necesaria y suficiente para que sean concurrentes tres rectas trazadas desde los vértices A, B y C de un triángulo a los puntos A’, B’ y C’ de los respectivos lados opuestos es que: BA’/A’C • CB’/B’A • AC’/C’B = 1”.

Este teorema está íntimamente ligado al de Menelao. Para demostrarlo se consideran los triángulos ACA’ y ABA’ cortados respectivamente por BB’ y CC’. Este teorema se utiliza para demostrar que las alturas, las medianas y las bisectrices de todo triángulo son concurrentes. Toda recta que pasa por el vértice de un triángulo toma el nombre de ceviana de este teorema

Propiedad relativa al perímetro de los triángulos

Sea el triángulo ABC. Si llevamos las magnitudes AB y AC sobre la prolongación de BC, trazando los arcos de centro B y radio AB y centro C y radio AC, como indica la figura, obtenemos un triángulo AA’A” que tiene como lado A’A” el perímetro del triángulo, ángulo en A’= β/2 y ángulo en A” = γ/2 , siendo β y γ los ángulos en B y en C del triángulo. Esta propiedad es interesante cuando se debe resolver un problema cuyos datos sean o bien el perímetro o bien la suma de dos de los lados de un triángulo

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