Ondas estacionarias sobre una cuerda

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Definición

Llamamos onda estacionaria al fenómeno vibratorio de un punto del medio resultante de la superposición de dos ondas progresivas, de igual frecuencia, igual amplitud, pero que se propagan en sentidos opuestos.

Una onda estacionaria ideal es aquella cuya vibración se efectúa sin pérdida ni ganancia de energía, sea por fricción o por emisión radiante, sin que haya propagación de la fase.

Ese estado límite, ideal y conservativo, no se puede encontrar en estado puro salvo en condiciones muy particulares. Como ya veremos, los electrones en un átomo se encuentran en estados estacionarios en el estado de energía fundamental de un átomo.

La realidad, nos permite a menudo observar sistemas casi-estacionarios, que se forman en determinados medios limitados. Sus puntos mantienen siempre el mismo estado de vibración, es decir, no hay propagación de fase, pero su energía se degrada por fricción o por emisión de energía.

Percepción de las ondas estacionarias

Si percibimos el sonido de una cuerda de guitarra, hay pérdida de energía por amortiguamiento y radiación. En efecto, las ondas casi-estacionarias que se forman en la cuerda, ceden energía por medio del puente a la caja, la cual irradia energía mediante una onda sonora.

En la cuerda, observamos también que los puntos donde la vibración tiene amplitud máxima permanecen fijos, así como aquellos en los que la amplitud es cero.

Veremos como casi todas las ondas estacionarias o casi-estacionarias, se encuentran asociados a fenómenos de resonancia.

Las ondas estacionarias se producen en medios limitados (acotados). Como ejemplos podemos poner, la cuerda de una guitarra cerrada por los extremos (clavija y puente), al igual que las de un violín, un tambor, etc un tubo semiabierto como la trompeta, la flauta o el órgano.

Estudio analítico

Cuando estudiamos como se refleja un pulso en una cuerda al encontrar un extremo fijo, observamos que se reflejaba con la misma velocidad y amplitud, pero con un cambio de signo de la elongación.

Consideremos una cuerda de longitud L, sujeta por un extremo, sometida a una tensión - si no se ejerce tensión sobre la cuerda no habrá velocidad de propagación de las ondas- en tanto que en el otro extremo la sometemos a un movimiento vibratorio (Experiencia de la cuerda de Melde)

El tren de ondas se refleja en el extremo fijo y se superpone al tren incidente pero con sentido opuesto. Ambos trenes de onda se superponen.

Consideremos una cuerda de longitud L, sujeta por un extremo, sometida a una tensión - si no se ejerce tensión sobre la cuerda no habrá propagación de las ondas- en tanto que en el otro extremo la sometemos a un movimiento vibratorio (Experiencia de Melde)

La segunda figura nos indica cómo veremos la cuerda si la iluminamos con un estroboscopio cuya frecuencia f´ sea 4f, siendo f la frecuencia del vibrador.

Estudiemos en primer lugar, un caso general en el que dos ondas sinusoidales, de la misma pulsación y la misma amplitud, se propagan en la misma dirección y sentido opuesto.

Si consideramos que la recta soporte de las velocidades de propagación fuese el eje x´Ox, una de las ondas se propaga en el sentido creciente de las x y la otra, necesariamente, en el sentido de x decreciente.

Hay puntos del medio en los cuales las ondas se encontrarán en oposición de fase. La superposición de las ondas en esos puntos daría una vibración nula. Los llamaremos nodos de vibración , o simplemente, nodos.

Escojamos como origen de abcisas uno de esos puntos y un origen de tiempos de tiempos de modo que la ecuación de la elongación $y_1$ , cuando la onda 1 este sola, quede

$y_1 =A sen (\omega t + \frac{\pi}{2}\) = A cos\omega t$

Es decir, para t= 0 $y_1 = A$

$y_2 = - A cos\omega t$ con lo cual para t = 0 $y_2 = - A$

En ese caso la ecuación de la elongación del punto O será la superposición de las elongaciones de las dos ondas y nos da una elongación y = 0, será un nodo de vibración.

En un punto M, de abcisa x, encontraremos que la ecuación de los dos frentes de ondas sería:

1 $y_1 = A cos(\omega t â�� k x)$

2 $y_2 = -A \cos [\omega t â�� k (- x)]$ $y_2 = - A cos (\omega t + k x)$

Con lo cual la elongación del punto M sería:

$y = y_1 + y_2 = A \[cos(\omega t â�� k x) - cos (\omega t + k x)]$

$y = - A 2 sen ( \frac{\omega t â�� k x + \omega t + k x}{2} ) sen ( \frac{\omega t â�� k x - \omega t - k x}{2} )$

$y = - A 2 sen /omega t sen (-k x)$

pero $â�� sen (-kx) = sen kx$ , entonces

$y = 2A sen k x sen \omega t$

ecuación de un movimiento armónico simple. Todos los puntos de la cuerda estarán vibrando, salvo los nodos, sin que haya un desplazamiento de la fase.

La amplitud resultante, a, será

$a = 2A sen k x$

En la figura se representan dos ondas, 1 y 2, que se propagan en sentido opuesto y en el instante inicial, t = 0. En ese instante, las dos ondas están en oposición de fase en el punto 0, donde se produce un nodo.

Como resultado de la superposición de las ondas 1 y 2 se obtiene la onda estacionaria 3, cuya amplitud es 2A.

C. Nodos y Vientres

Nodos

Se llaman así a los puntos en los que la amplitud es cero. Se caracterizan por sen kx = 0, lo cual se cumple cuando $kx = n\pi$ .

$\frac{2 \pi}{\lambda}\ x = n\pi$ , de donde,

$x = n \frac{\lambda}{2}$ con n perteneciente a N.

Los sucesivos nodos de vibración se encontrarán a 0, $\lambda/2$ , $\lambda$ , $3\lambda/2$ ,…

Los nodos de vibración son equidistantes, dos nodos consecutivos distan una semilongitud de onda.

Vientres

Son los puntos del medio donde la amplitud es máxima, es decir, $2Asen kx = \pm 1$

Entonces: $\frac{2\pi}{\lambda}\x = (2n + 1)\frac{\pi}{2}$

Con lo cual $x = (2n + 1)\frac{\lambda}{4}$

Los sucesivos vientres se encontrarán a $\frac{\lambda}{4}$ , $\frac{3\lambda}{4}$ , $\frac{5\lambda}{4}$ , $\frac{7\lambda}{4}$ ….

Los vientres son equidistantes, dos vientres consecutivos distan una semilongitud de onda.

Consecuencia: La distancia entre un nodo y un vientre consecutivo es un cuarto de longitud de onda.

Fase

Podremos decir que una amplitud considerada habitualmente como positiva nos vendrá dada por la expresión:

$2 A \sen (2\pi \frac{x}{lambda}\)$

La longitud total de la cuerda, L, debe contener un número entero de husos, teniendo en cuenta que cada uso tiene una longitud igual a $\frac {\lambda}{2}$ nos queda $L =n \frac {\lambda}{2}$

Los puntos del medio que vibran entre dos nodos consecutivos pertenecen al mismo huso tienen igualdad de fase, vibran en fase, se levantan todos a la vez, pasan al mismo tiempo por la posición de equilibrio y bajan todos juntos. En tanto que los puntos que pertenecen a los dos husos vecinos vibran igualmente en fase, pero en oposición de fase con relación a los puntos del huso vecino.

Con lo cual, todos los puntos que se encuentran entre dos nodos consecutivos tienen la misma fase, $+\frac{\pi}{2}\<math> o <math> -\frac{\pi}{2}$