Algunos problemas de proporcionalidad directa

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Revisión de 15:14 27 ene 2009

Problema I

Dados los segmentos a y a·b, definir b, siendo la unidad el centímetro.

Realizamos una división gráficamente: $\frac{a \cdot b}{a}=b$

Dibujamos un haz de rectas. En una de ellas situamos a·b y en la otra a y la unidad, como se ve en la figura.

Trazamos la recta que une los extremos de a·b y de a y su paralela por el otro extremo del segmento unidad.

Obtenemos así b.

Problema II

Dados los segmentos a+b y a·b, definir a y b, siendo la unidad el centímetro.

A partir del segmento producto calculamos la media proporcional de a y b, aplicando el teorema de la altura.

Aplicamos a continuación el teorema de la altura al segmento suma utilizando la media proporcional hallada.

Obtenemos las magnitudes a y b. Realmente hay dos soluciones pues cada segmento puede ser el menor o el mayor de los obtenidos.

Problema III

Dados los puntos alineados A,B y D Hallar el punto C que cumpla: (ABCD)=2/3.

Dibujamos una recta a partir de B y situamos sobre ella los segmentos BX=2 y BY=3, considerando una unidad arbitraria.

Trazamos la recta CY y la paralela a BY desde A. Estas rectas se cortan en Z.

AZ=n. La recta XZ se corta con la recta dada en el punto C buscado.

Para comprobar:

$\frac{BY}{n} = \frac{3}{n} = \frac{BC}{AC}$ , por otra parte,

$\frac{BX}{n} = \frac{2}{n} = \frac{BD}{AD}$ , luego:

$\frac{2}{3} = \frac{BD}{AD} : \frac{BC}{AC} = \frac{BD}{AD} \cdot \frac{AC}{BC} = (ABCD)$

Problema IV

Dados los puntos alineados A,B y D Hallar el punto C que cumpla:

$(ABCD) = - \frac {3}{4}$

Dibujamos una recta a partir de A y situamos sobre ella los segmentos AX=4 y AY=3, considerando una unidad arbitraria y haciendo que AX y AY indiquen sentidos contrarios.

Trazamos la recta DX y la paralela a AX desde B. Estas rectas se cortan en Z.

BZ=n.

La recta YZ se corta con la recta dada en el punto C buscado.

Para comprobar:

$\frac{AX}{n} = \frac{4}{n} = \frac{AD}{BD}$ , por otra parte,

$\frac{AY}{n} = \frac{3}{n} = \frac{CA}{BC} = \frac{-AC}{BC}$ , luego:

$\frac{-3}{4} = \frac{AC}{BC} : \frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC} \cdot \frac{BD}{AD} = (ABCD)$

Problema V

Dibujar una figura semejante a la dada cuyos lados estén en relación 3/4con los lados de la misma. Por uno de los vértices trazamos una recta en la que dibujamos cuatro unidades iguales y las numeramos.

Trazamos la recta 4A y su paralela por el punto A'.

A' es el vértice de la figura semejante pues 0A’/0A = ¾.

Dibujamos diagonales de la figura dada y trazamos ordenadamente paralelas a sus lados, a partir de A'.

Problema VI

Dados los puntos alineados A,B y D Hallar el punto C que cumpla:

(ABCD) = - 1

Trazamos por A una recta. Sobre ella situamos dos puntos X e Y, tal que AX = AY, teniendo en cuenta que los sentidos de AX y AY sean contrarios.

Dibujamos la recta CX y trazamos una paralela a AX por B. Estas rectas se cortan en Z.

BZ = n

Se cumple que:

$\frac{AX}{n} = \frac{AC}{BC}$